基于流體渦量擾動(dòng)波的波動(dòng)函數(shù)分析

1、基于流體渦量擾動(dòng)波的波動(dòng)函數(shù)分析摘要：闡述渦量、自旋的物理屬性的比較，以類(lèi)比方式理解量子波動(dòng)函數(shù)為描述渦量或自旋在空間的擾 動(dòng)波；從流體力學(xué)出發(fā)，討論渦量的擾動(dòng)波動(dòng)現(xiàn)象；以流體角度，解釋薛定諤方程和狄拉克方程形式的 波動(dòng)方程的現(xiàn)象與意義。關(guān)鍵詞：渦量，自旋，波動(dòng)方程。Analysis of Wave Function Based on the Disturbance Wave of Fluid VorticityAbstract In this paper, the physical properties of vorticity and spin are compared, and the

2、quantum wave function is understood by analogy to describe the disturbance wave of vorticity or spin in space; the disturbance wave phenomenon of vorticity is discussed from the perspective of fluid mechanics; the phenomenon and significance of wave equation in the form of Schrodinger equation and D

3、irac equation are explained from the perspective of fluid. Index Terms vorticity, spin, wave equation.動(dòng)波函數(shù)如果以能量守恒歸一化，就可能具有概率 幅函數(shù)的意義。2流體渦量波動(dòng)方程動(dòng)波函數(shù)如果以能量守恒歸一化，就可能具有概率 幅函數(shù)的意義。2流體渦量波動(dòng)方程考慮不可壓縮粘性牛頓流體的渦量方程，不考 慮外力(或質(zhì)量力無(wú)旋)情況下有式(2)。5 /5t=VX(uXQ)+vV2Q(2)其中v為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)。對(duì)于不可壓縮流體， 又有式(3)。 X (uX Q) = (Q V)u-(uV) Q式(3)代

4、入式(2)得到式(4)。d Q/dt= ( Q ) u-(uV) Q + v V2 Q(3)以不可壓縮流體為例，設(shè)3維流場(chǎng)中某位置的流 體矢量速度為u,其渦量是流速的旋度Q=VXu， Q是軸矢量，可分為3個(gè)方向分量，按照右手螺旋定 則，每個(gè)分量有“ + ”、-”兩個(gè)方向；在流體渦 量場(chǎng)中認(rèn)為渦量是某位置上的一個(gè)速度環(huán)量強(qiáng)度， 可以用一個(gè)小渦管給予形象標(biāo)記；此外，如果某位 置上有一小剛體旋轉(zhuǎn)，小剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)能量可以表達(dá) 為式(1)。(3)4)一個(gè)自由粒子在空間運(yùn)動(dòng)，從粒子參考系上 可以認(rèn)為是空間向粒子運(yùn)動(dòng)。假設(shè)(1)：空間如流體一樣掠過(guò)粒子，會(huì)在 粒子附近激起擾動(dòng)波，以波動(dòng)函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式描 述如

5、式(5)。4)一個(gè)自由粒子在空間運(yùn)動(dòng)，從粒子參考系上 可以認(rèn)為是空間向粒子運(yùn)動(dòng)。假設(shè)(1)：空間如流體一樣掠過(guò)粒子，會(huì)在 粒子附近激起擾動(dòng)波，以波動(dòng)函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式描 述如式(5)。W=&et+i(k5(5)式中，&為振幅，i為虛數(shù)單位，k為波矢，3 為圓頻率，a為擾動(dòng)幅隨時(shí)間增長(zhǎng)指數(shù)，當(dāng)a0時(shí) 擾動(dòng)是增長(zhǎng)的，當(dāng)a 0時(shí)擾動(dòng)是衰減的，a =0時(shí) 擾動(dòng)穩(wěn)定。假設(shè)(2)：擾動(dòng)波是線(xiàn)性的，并忽略速度u的 擾動(dòng)項(xiàng)，可以從方程式(4)中分離出沃量的擾動(dòng)其中，Ek表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)能量，I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 見(jiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)能量與渦量的平方存在線(xiàn)性關(guān)系。渦量的上述性質(zhì)與粒子自旋量具有相似性： 子自旋本質(zhì)具有內(nèi)稟角動(dòng)量性質(zhì)，也是

6、軸矢量， 有渦量的軸矢量屬性。再考慮到量子力學(xué)概率幅波函數(shù)W在空間上也 存在3個(gè)方向分量，W同樣具有 + ”、-”之分， 其屬性與軸矢量Q相似，并且W與其共軛函數(shù)W*的 乘積WW*為概率密度函數(shù)，從能量守恒定律出發(fā)可 知，WW*具有遵守能量守恒的意義，WW*與Q2都 具有能量屬性。猜測(cè)渦量、自旋只是在不同的物理 現(xiàn)象背后具有同一種本質(zhì)屬性，而量子波動(dòng)函數(shù)可 以理解為描述了渦量或自旋在空間的擾動(dòng)波，該擾77)8)方程為式(6)。dw/dt = (V)u-(uV) +v V2(6)式(6)中u, W是3維的。假設(shè)(3):擾動(dòng)波W可以由3個(gè)正交方向的擾 動(dòng)線(xiàn)性合成為式(7)W=g eat+i(kx-

7、ot)= 011 + 022+033=i (ciWi)定義擾動(dòng)的3個(gè)分量為式(8)。W . g e a t+i (kixi-wt)得到式(9)。W = i(0iWi)=i(0igeat+i(kixi-ot)(9)其中0i為常系數(shù)。由于假設(shè)擾動(dòng)波各分量具有 正交性：即i尹j時(shí)(。叭)/(。Xj) =0,代入方程式 (6)式(9)得式(10)。5 w/5t=ioi (5 Wi)/5t) = Sioi(a-io) Wi = (a-is)wW = ici Wi = ii(ciki Wi)= ikw(uV) w =uj5/5xj ( i (ci Wi)= iSi(0iUikiWi) = iSi(uiki

8、 W) =i (uk) WV2W= (52/5x12+52/5x22+52/5x32) W= -k2w(10)(10)式代入方程(6)得到式(11)。(a-io) w = ( wV)u-i (uk) W-vk2W(11)假設(shè)(4) : ( wV)u是由于空間速度梯度 。*/欲：引起的。在很接近粒子的周?chē)臻g，認(rèn)為流 速梯度伽/欲,應(yīng)該是存在的且不可忽略的，但是從 遠(yuǎn)離粒子的距離上看，認(rèn)為空間的流速梯度已經(jīng)很 小了(流速梯度應(yīng)該是近鄰粒子周?chē)囊环N局域效 應(yīng)，類(lèi)似于流體力學(xué)中的邊界層效應(yīng)，遠(yuǎn)離邊界層 的地方近似于流速梯度趨于零)，所以從遠(yuǎn)離邊界 層的位置來(lái)看就忽略該項(xiàng)內(nèi)容?；诩僭O(shè)(4)，簡(jiǎn)化方

9、程式(11),得式 (12)。(a-io)w=-i(uk)W-vk2W(12)得到粘性系數(shù)為式(13)。v =- a /k2+i/k2 o - (uk) (13)對(duì)于(13)式中的虛數(shù)部分，可以理解為它只 作用于波動(dòng)函數(shù)的相位變化；只有實(shí)部數(shù)值在空間 起到運(yùn)動(dòng)粘性作用。利用 2W=-k2W，可得-1/k2V2w=W，對(duì)波 動(dòng)函數(shù)求時(shí)間偏導(dǎo)得式(14)。5 w/5t= (a-io)w=a w-io w=a w+io /k2V2 W或者：dw/dt=(a+io/k2V2) W(14)3引入德布羅意波當(dāng)考慮擾動(dòng)波是德布羅意波時(shí)，得到波動(dòng)的波 矢、圓頻率對(duì)應(yīng)了自由粒子的動(dòng)量、能量：p = kh 和E=

10、oh,代入方程式(14)得到式(15)。d w/5t= ( a +iEh/p2 V2) W(15)代入v的表達(dá)式(13)中得到式(16)。v =- ( a h2)/p2+ih (E/p2-1/m)( 16)假設(shè)(5):假設(shè)擾動(dòng)波的隨時(shí)間增長(zhǎng)指數(shù)a =0，分兩種情況。在非相對(duì)論情況下，自由粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng) 能為= (1/2)mu2，動(dòng)量的分量為p=mu = kh代入方 程(15)，并在方程兩邊同時(shí)乘以因子ih,得到式(17)。ihdw/dt=ih(i h/2m V2) w =-h2/ (2m) V2 W(17)在相對(duì)論情況下，自由粒子能量為 = (m02c4+c2p2)1/2,其中的m是粒子靜質(zhì)量，

11、代入方程(15),并利用V2W=-k2w,最后在方程兩邊同 時(shí)乘以因子ih,得到式(18)。ihd w/5t = -c (m02c2+p2)1/2/k2V2 W=-c (m02c2+p2)1/2(1/k2) V2 W= c(m02c2+p2)1/2w(18)而方程(16)則改寫(xiě)為式(19)。v =ih/m(c2/u2-1)(19)可見(jiàn)，光子以光速c運(yùn)動(dòng)時(shí)，其粘性系數(shù)為 零。方程(18)可以采用狄拉克的辦法，引入狄拉 克矩陣a i。令E = c (m02c2+p2)1/2= c(p12+p22+p32+m。2 c2)1/2= c(a 81+ a 2p2+ a 3p3+ a 4mc)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后可以

12、得到與狄拉克方程形式一致的 波動(dòng)方程為式(20)。ihd w/5t= ihc ( a V) + a 4m0c2 W= ihc(a1d/dx1+a2d/dx2+ a 會(huì)/dx3) + a 4m0c2 W(20)雖然薛定諤方程(文中方程(17)與狄拉克 方程(文章方程(20)均可以從波動(dòng)函數(shù)(文中 方程(5)及其線(xiàn)性性質(zhì)、德布羅意波、狹義相 對(duì)論中直接推導(dǎo)出來(lái)，而本文從不可壓縮流體渦量 方程出發(fā)，引入了多個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)后可以得到類(lèi)似的 波動(dòng)方程，目的是引入渦量的擾動(dòng)這一物理背景， 并認(rèn)為薛定諤方程和狄拉克方程可能是空間渦量擾 動(dòng)波動(dòng)的一個(gè)簡(jiǎn)化描述。4對(duì)波函數(shù)的定性描述假設(shè)自由粒子在x-y平面上沿著x正

13、方向以速度 u運(yùn)動(dòng)，當(dāng)在空間激起旋量波動(dòng)W時(shí)，例如只考慮z 方向的旋量波動(dòng)會(huì)在x-y平面上傳播，相當(dāng)于x-y平 面上建立起了一個(gè)隨時(shí)間波動(dòng)的渦量場(chǎng)，某位置處 的渦量大小由W的波動(dòng)方程決定（主要是頻率、波 矢，以及相位），則仿照流體N-S方程可知粒子會(huì) 受到一個(gè)與速度u方向垂直的偏向力uXw,該效果 與帶電粒子穿過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)而受到洛倫茲力類(lèi)似。由 于渦量場(chǎng)的波動(dòng)（圓頻率為3= E/h，波矢為k = p/h），粒子實(shí)際在沿程上受到了周期變化（包括 值大小和正反方向）的偏向力（即uXw是周期變 化的），在足夠長(zhǎng)的距離上可以認(rèn)為偏向力的總效 果被抵消了。如果粒子要經(jīng)過(guò)雙縫裝置，則由于在雙縫的 后方出現(xiàn)了波動(dòng)干涉效應(yīng)，自由粒子在穿行過(guò)程中 會(huì)穿越這些雙波干涉空間，直至最后被探測(cè)器記錄 到一次能量轉(zhuǎn)換事件（產(chǎn)生電流之類(lèi)）。特別是粒 子到達(dá)終點(diǎn)最后時(shí)刻的一小段時(shí)間內(nèi)，雙縫干涉效 應(yīng)使得粒子向波動(dòng)幅增強(qiáng)的地方稍微偏轉(zhuǎn)（當(dāng)波動(dòng) 幅值與粒子旋量方向一致時(shí)），這意味著粒子在波 動(dòng)的最后半個(gè)周期（T/2）或半個(gè)波長(zhǎng)X/2內(nèi)發(fā)生 的偏轉(zhuǎn)才是最有效的。當(dāng)多個(gè)自由粒子穿越這樣的 空間時(shí)，便在探測(cè)板上出現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)意義的干涉條 紋。雖然粒子的偏向力是uXw,與w有關(guān)，但是 記錄粒