蘇教版數(shù)學(xué)高一《對(duì)稱變換》同步教案

1、對(duì)稱變換對(duì)稱變換都有哪些內(nèi)容？【答】 對(duì)稱變換主要有y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;若f(x)=f(x),則函數(shù)自身的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.y=f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若f(x)=f(x),則函數(shù)自身的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.y=f1(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.y=f1(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.y=f(2ax)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；若f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax)則函數(shù)自身的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.y=2bf(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=b對(duì)稱.

2、y=2bf(2ax)與y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.案例1證明函數(shù)y= (a1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.本題考查對(duì)函數(shù)圖象本身關(guān)于直線對(duì)稱的理解.【分析】 利用函數(shù)解析式與它的反函數(shù)的解析式若為同一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，也可利用函數(shù)圖象上任意點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在已知函數(shù)的圖象上，則函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.【證法一】 a1,y= (1) y由y= 得x(ay1)=y1,x=y=(a1)的反函數(shù)是y=y=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.【證法二】 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是這個(gè)函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，則x且y=易知點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(y,x)由得y(ax1)=x1即

3、x(ay1)=y1如果ay1=0,則y=,代入得=.解得a=1,與已知矛盾.于是ay10,由得x=這說明點(diǎn)P(y,x)也在已知函數(shù)的圖象上.因此，這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成對(duì)稱圖形.【評(píng)注】 要分清函數(shù)本身關(guān)于直線y=x對(duì)稱與兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的區(qū)別.1.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖23，則下列函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖象中，不正確的是( )A.y=|f(x)|B.y=f(|x|)C.y=f(x)圖23D. y = f ( x ) 【解析】 y=f(|x|)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱. 【答案】 B8.設(shè)函數(shù)y=2x的圖象為C，某函數(shù)的圖象C與C關(guān)于直線x=2對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是( )A.y

4、=2x B.y=22xC.y=24x D.y=2x4【解析】 y=f(x)的圖象與y=f(4x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，設(shè)f(x)=2x,則f(4x)=24x.【答案】 C10.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是R，且f(x1)=f(1x),那么f(x)的圖象有對(duì)稱軸( )A.直線x=0 B.直線x=1C.直線y=0 D.直線y=1【解析】 設(shè)x1=t,則f(t)=f(t)，函數(shù)為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱. 【答案】 A12.已知函數(shù)f(x)=(x2),那么函數(shù)f(x1)的圖象關(guān)于直線y=x成對(duì)稱圖形的函數(shù)是( )A.y=(x1) B.y=(x1)C.y=(x1) D.y=(x0)【解析】 f(x1)

5、=y=1 (x1)x=1,即上式的反函數(shù)是y=(x1). 【答案】 B13.函數(shù)y=的圖象關(guān)于點(diǎn)_對(duì)稱.【解析】 y=1,y=的圖象是由y=的圖象先右移1個(gè)單位，再下移1個(gè)單位而得到，故對(duì)稱點(diǎn)為(1，1). 【答案】 (1，1)16.定義在R上的函數(shù)y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的圖象重合，它們的值域?yàn)開.【解析】 函數(shù)y=f(x)與y=f(x)的圖象重合，說明函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；y=f(x)與y=f(x)圖象重合，說明y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；y=f(x)與y=f(x)的圖象重合，說明y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.即若y=f(x)上任一點(diǎn)(x,

6、y),則也有點(diǎn)(x,y)、(x,y)、(x,y);根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于任一xR,只能有惟一的y與之對(duì)應(yīng)，從而y=y,即y=0，故函數(shù)的值域?yàn)?.17.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，則下列命題中y=f(x)為偶函數(shù)，則y=f(x2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.y=f(x2)為偶函數(shù)，則y=f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱.若f(x2)=f(2x),則y=f(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱.y=f(x2)和y=f(2x)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱.其中正確命題序號(hào)有_(填上所有正確命題序號(hào)).【解析】 y=f(x)是偶函數(shù)，而f(x2)是將f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位得到的，則對(duì)稱軸左移2個(gè)單位為x=2,所以f(x2)圖象關(guān)

7、于直線x=2對(duì)稱.y=f(x2)為偶函數(shù)，則f(x2)=f(2x),所以y=f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.令x2=t,則2x=t,得f(t)=f(t),y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將f(x)與f(x)的圖象分別向右平移2個(gè)單位，分別得到f(x2)與f(2x)的圖象，對(duì)稱軸右移2個(gè)單位為直線x=2. 【答案】 18.若函數(shù)y=f(x)=的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求a,b應(yīng)滿足的條件.【解】 由y=f(x)= (x),得2xyby=2ax12(ya)x=by1,x=y=f(x)的反函數(shù)是f1(x)= (xa)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)反函數(shù)就是它本身.=，比較系數(shù)得b=2a.即為a,b所滿足的條件.20.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x2)=f(x),又當(dāng)1x1時(shí)，f(x)=x3.(1)證明直線x=1是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸；(2)當(dāng)x1,5時(shí)，求f(x)的解析式.【解】 (1)設(shè)(x0,y0)是f(x)的圖象上任意一點(diǎn)，它關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)為(x1,y1),則y0=