蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4知識必備3.3幾個三角恒等式

1、3.3 幾個三角恒等式知識梳理一、萬能代換公式：sin=;cos=;tan=.二、關(guān)于和差化積、積化和差公式的推導(dǎo)1.積化和差公式推導(dǎo)課本僅推了第一個，下面給出公式的全部推導(dǎo)過程：由于sin(+)=sincos+cossin;sin(-)=sincos-cossin;cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin.+,得sincos=sin(+)+sin(-);-,得cossin=sin(+)-sin(-);+,得coscos=cos(+)+cos(-);-,得sinsin=-cos(+)-cos(-).2.和差化積公式的推導(dǎo)在積化和差公式中，如果“從右往左

2、”看就是和差化積.令+=,-=,則=,=,代入第一個積化和差公式，可得sin+sin=2sincos.同理,可得sin-sin=2cossin,cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin.知識導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，可以以一般的數(shù)學(xué)(代數(shù))變換思想為指導(dǎo)，加強對三角函數(shù)式特點的觀察，注意體會三角恒等變換的特殊性.關(guān)于和差化積、積化和差,萬能代換公式這三組公式要了解它們的推導(dǎo)過程，體會其中用到的換元與方程的思想.課本上雖然不要求記憶，但如果能記住且會用，在解某些題目時將會少繞彎路，起到事半功倍的效果.半角公式雖然不要求記憶，但要熟悉公式的推導(dǎo)和使用，在解題過程中能熟練地進行變形

3、，應(yīng)用它們可以起到降冪或升冪的重要作用.疑難突破1.代數(shù)式變換與三角變換有何異同？剖析：三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)系，推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程比較集中地反映了這種聯(lián)系，從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想.從數(shù)學(xué)變換的角度看，三角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點.相同之處在于它們都是運用一定的數(shù)學(xué)工具對相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學(xué)運算，對其結(jié)構(gòu)形式進行變換.由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上，而且還表現(xiàn)在角及其函數(shù)類型上，因此三角恒等變換常常需要先考慮式子中各個角之間的關(guān)系，然后以這種關(guān)系為依據(jù)來選擇適當(dāng)?shù)娜枪竭M行變換，這是三角恒等變換的

4、主要特點.2.如何確定半角的正弦、余弦、正切的無理式前的符號?剖析：(1)若給出角是某一象限角時，可根據(jù)下表決定符號：sincostan第一象限一、三象限+、-+、-+第二象限一、三象限+、-+、-+第三象限二、四象限+、-、+-第四象限二、四象限+、-、+-(2)若給出的范圍時，可先求出的范圍，再根據(jù)的范圍確定符號.(3)若沒有給出決定符號的條件時，則要保留正,負兩個符號.3.半角公式的推導(dǎo)和使用.tan還可以用sin、cos的有理表達式給出嗎？半角僅僅是2與之間的關(guān)系嗎？剖析：(1)半角公式雖然不要求記憶，但要熟悉公式的推導(dǎo)和使用，在解題過程中能熟練地進行變形，特別是sin2=與cos2=.應(yīng)用它們可以起到降冪或升冪的重要作用，在三角函數(shù)的化簡、求值、證明過程中有著舉足輕重的地位.(2)課本中半角公式給出了無理表達式：sin=,cos=,tan=.其中tan還可以用sin、cos的有理表達式給出：tan=,推導(dǎo)如下：tan=或tan=,即tan=.這兩個公式將tan表示成了sin、cos的有理表達式.使用它們在一些計算或化簡過程中可避免開方和對根號前符號的判斷，非常方便，如計算tan可直接化為-1，但應(yīng)注意到tan=的適用范圍是k(kZ,而tan=與tan=的適用范圍