韋達(dá)定理應(yīng)用探討(含答案)

1、第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)韋達(dá)定理應(yīng)用探討韋達(dá)定理說(shuō)的是：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）有二實(shí)數(shù)根x,x,則12bcx+x=,x-x=。12a12a這兩個(gè)式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a,b,c的關(guān)系。其逆命bc題：如果x，x滿(mǎn)足x+x=-一，x-x=，那么x，x是一元二次方程1212a12a12ax2+bx+c=0（a豐0）的兩個(gè)根也成立。韋達(dá)定理的應(yīng)用有一個(gè)重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式A=b24ac0。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考中有著廣泛的應(yīng)用?？梢詫⑵鋺?yīng)用歸納為：不解方程求方程的兩根和

2、與兩根積；求對(duì)稱(chēng)代數(shù)式的值；構(gòu)造一元二次方程；求方程中待定系數(shù)的值；在平面幾何中的應(yīng)用；在二次函數(shù)中的應(yīng)用。一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一元二次方程，可以直接根據(jù)韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積。典型例題：例1：（2012山東煙臺(tái)3分）下列一元二次方程兩實(shí)數(shù)根和為-4的是【】A.x2+2x-4=0B.X2-4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=0【答案】D?！究键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。例2：（2012廣西來(lái)賓3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為1,那么它的另一個(gè)實(shí)數(shù)根是【】A.2B.0C.1D.2【答案】A?！究键c(diǎn)】一元二次方

3、程根與系數(shù)的關(guān)系。【分析】設(shè)方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為x,則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x+1=1,解得x=2。故選A。二、求對(duì)稱(chēng)代數(shù)式的值：應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱(chēng)式的值。所謂對(duì)稱(chēng)式，即若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變（f（X,y）=f（y,x），則稱(chēng)這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱(chēng)式，如x2+y2，+等。擴(kuò)展后，可以視xy中x與-y對(duì)稱(chēng)。xy典型例題：例1：（2012山東萊蕪3分）已知m、n是方程x2+2/2x+l=0的兩根，則代數(shù)式m2+n2+3mn的值為【】A9B3C3D5【答案】C?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值。m2+n2+3mn=”

4、(m+n)2【分析】Tm、n是方程x2+2：2x+1=0的兩根，.:m+m2+n2+3mn=”(m+n)2+mn=逅/+1=J8+1=T9=3。故選Co例2：（2012江蘇南通3分）設(shè)m、n是一元二次方程x23x7=0的兩個(gè)根，則m2+4m+n=.【答案】4?！究键c(diǎn)】求代數(shù)式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥縏m、n是一元二次方程x2+3x7=0的兩個(gè)根，:m2+3m7=0，即m2+3m=7；m+n=3。:m2+4m+n=（m2+3m）+（m+n）=73=4。例3：（2012湖北鄂州3分）設(shè)X、x2是一元二次方程x2+5x3=0的兩個(gè)實(shí)根，且2x（x；+6x23）+a

5、=4，則a=.答案】10?！究键c(diǎn)】一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥縏X【分析】TX、x2是兀二次方程X2+5x3=0的兩個(gè)實(shí)根，：.22+5%23=0，X1X2=3。又/2x1(x2+6x2-3)+a=4，即2x1(x2+5x2-3+x2)+a=4，即2x(0+x)+a=4。12.：2乂占2+a=4，即2(3)+a=4，解得a=10o練習(xí)題：1.（2012山東日照4分）已知1.（2012山東日照4分）已知X、x2是方程2x2+14x16=0的兩實(shí)數(shù)根,那么冬+乂x1x2的值為一2（2011江蘇蘇州3分）已知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式（a-b）（a+b

6、-2）+ab的值等于.三、構(gòu)造一元二次方程：如果我們知道問(wèn)題中某兩個(gè)字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一元二次方程。擴(kuò)展后字母可為代數(shù)式。典型例題：例1：（2012湖北隨州4分）設(shè)a2+2a-1=0,b4-2b2-1=0，且1ab2主0,則ab2+b2一3a+1）5I吉點(diǎn)】弋達(dá)辻:理的應(yīng)江，求代數(shù)式的泄“111曰匸一上一1111曰匸一上一1一得-1-3.ill.h1-川：-_II呂i十-I-I,一-丄吋甘一元圧方程宀+航-：_11的兩桐”a1斗J1caJ由韋達(dá)走理掲-|b5-2.-b2In5-l-l-3i-32點(diǎn)誹】施越旳關(guān)就芒班造一兒一主萬(wàn)汪/+茲-：-3刊出主達(dá)走建家術(shù)

7、：雜點(diǎn)壬糕4-10吏f：成丄1_-i=r：旨牯口J1釧址與牛：-也把1.V百作77阻八+-1=門(mén)幣內(nèi)浪盤(pán)未如.例2：（2012四川內(nèi)江12分）如果方程x2+px+q二0的兩個(gè)根是x,x，那么12x+x二-p,x.x二q,請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：已知關(guān)于x的方程1212x2+mx+n二0,（n豐0）,求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù);已知a、b、c滿(mǎn)足a+b+c二0,abc二16求正數(shù)c的最小值?！敬鸢浮拷猓涸O(shè)關(guān)于x的方程x2+mx+n-O(n豐0)的兩根為x1,x2則有:11xx12x+x=_m,x.x=n，且由已知所求方程的兩根為一，xx1212121111x

8、xxxn121211x+1111xxxxn1212+=T2=xxxxn1212所求方程為x所求方程為x2-m1x+nn=0，即nx2+mx+1=0(n豐0)。16(2)Va+b+c=0,abc=16且c0.a+b=-c,ab=-c16a、b是一元二次方程x2(c)x+=0(c0)的兩個(gè)根,c代簡(jiǎn)，得cx2+c2x+16=0(c0)。又此方程必有實(shí)數(shù)根，.此方程的0，即C2-4-c160,c(S3-43)0。又c0c3-430。c4。正數(shù)c的最小值為4。例3：(2012四川宜賓8分)某市政府為落實(shí)“保障性住房政策，2011年已投入3億元資金用于保障性住房建設(shè)，并規(guī)劃投入資金逐年增加，到2013年

9、底，將累計(jì)投入10.5億元資金用于保障性住房建設(shè)求到2013年底，這兩年中投入資金的平均年增長(zhǎng)率(只需列出方程)；設(shè)(1)中方程的兩根分別為X,x2，且mx”-4m2XX2+mx22的值為12，求m的值.【答案】解：(1)設(shè)到2013年底，這兩年中投入資金的平均年增長(zhǎng)率為X，根據(jù)題意得：3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5。(2)由(1)得，x2+3x-0.5=0，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=-3，x1x2=-0.5。又mx2-4m2xx2+mx22=12即m(x+x2)2-2xx2-4m2xx2=12，即m9+1-4m2(-0.5)=12，即m2+5m-6=0，解得，m

10、=-6或m=1?！究键c(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。例4：(2012貴州黔西南14分)問(wèn)題：已知方程x2+x-1=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍。/y、2y解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以x=2，x=2代入已知方程，得+1=0第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)化簡(jiǎn)，得：y2+2y-4=0故所求方程為y2+2y-4=0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱(chēng)為“換根法”。請(qǐng)閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)(1)已知方程x2+x-2=0，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反

11、數(shù)，則所求方程為：(2)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)元二次方程，使它的根分別是已知方程的倒數(shù)。答案】解：(1)y2y2=0。11(2)設(shè)所求方程的根為y，則y=(xO)，于是x=(2)設(shè)所求方程的根為y，xy把x=把x=-代入方程ax2+bx+C=0y，得a-+bc=0，y去分母，得a+by+cy2=0。若c=0，有ax2+bx=0，可得有一個(gè)解為x=0，與已知不符，不符合題意。cOo所求方程為cy2+by+a=0(cO)?！究键c(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用?！痉治觥?1)設(shè)所求方程的根為尹，則尸一x所以x=尹。把x=y代入已知方程，得y2y2=

12、0。(2)根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為再表示出x,代入原方程，整理即得出所求的方程。練習(xí)題：(2004遼寧沈陽(yáng)2分)請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1，兩實(shí)數(shù)根之和為3的一元二次方程：.(2002浙江杭州10分)已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p、q,p+q(p+1)=5且滿(mǎn)足關(guān)系式，試求這個(gè)一元二次方程.p2q+pq2=6四、求方程中待定系數(shù)的值：已知方程兩根滿(mǎn)足某種關(guān)系，則可以利用韋達(dá)定理確定方程中待定字母系數(shù)的值。典型例題：例1：(2012內(nèi)蒙古包頭3分)關(guān)于x的一元二次方程X2-mx+5(m-5)=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為X,x2，且2X+x2=7,則m的值是【】A.2B.6

13、C.2或6D.7【答案】B?？键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解不等式和一元二次方程【分析】T方程x2-mx+5(m-5)=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，又V2x1+x2=7,A又V2x1+x2=7,Ax1=7moX1-X2=5(m-5)0將x將x1=7程x2-mx+5(m-5)=0，得(7-m)2-m(7-m)+5(m-5)=0。解得m=2解得m=2或m=6。*.*m5，.:m=6。故選Bo例2：(2012山東威海3分)若關(guān)于x的方程X2+(a-1)x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，則a=TOC o 1-5 h z.【答案】一1?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，倒數(shù)?！痉治觥筷P(guān)于x的方程X2+(a-l)x

14、+a2=0的兩根互為倒數(shù)，.設(shè)兩根為x和丄。xf11x+=1-a1則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X。由x=a2得12xx=a2、xa=土1o1但當(dāng)a=1時(shí)，x+=1-a無(wú)意義。.a=l。x例3：(2012湖北孝感12分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若X、x2是原方程的兩根，且IXx2l=2i.；2，求m的值和此時(shí)方程的兩根.【答案】解：(1)證明：由關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得=(m+3)24(m+1)=(m+1)2+4，無(wú)論m取何值，(m+1)2+4恒大于0，.原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)

15、數(shù)根。x2是原方程的兩根,.*.xx2是原方程的兩根,.*.x1+x2=(m+3),Xx2=m+1。.(x1x2)2=8,即(X+x2)24XX2=8。.(m+3)24(m+1)=8,即m22m3=0。解得：m1=3,m2=1。當(dāng)m=3時(shí)，原方程化為：x22=0,解得：X=：2,x2=v2。當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x2+4x+2=0,解得：X=2+U2,x2=2:2?？键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。例4：(2012湖南懷化10分)已知X,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.是否存在實(shí)數(shù)a使-X+XX2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明

16、理由；求使+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.【答案】解：(1)成立。JX,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,a2a由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1x2=,X+x2=-12a-612a-6T一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.=4a24(a6)a0，且a-6主0,解得，a0,且a豐6。由X由X1+X1X2=4+X2得X1X2=4+X1+X2aa-62aa-6解得，a=240,且a6主0。存在實(shí)數(shù)a,使-X+二4+x2成立，a的值是24。2)J(X2)J(X1+1)(X2+1)=X1X2+X1+X2+1=aa-6丄+1=亠a-6a-6.當(dāng)(X+

17、1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)時(shí)，a60,且a6是6的約數(shù)。a6=6,a6=3,a6=2,a6=1.a=12,9,8,7。使(X+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值有12,9,8,7?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式,解分式方程練習(xí)題：1.(2011湖北孝感10分)已知關(guān)于x的方程X22(k-1)x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X,x2，(1)求k的取值范圍；(2)若|x+x|=x-x1，求k的值。1212五、在平面幾何中的應(yīng)用：在平面幾何中，兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應(yīng)用，可以與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合命題。典型例題：例1：

18、(2003江蘇鎮(zhèn)江6分)已知，如圖，RtABC中，ZACB=9Oo,AB=5，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程X2-(m+5)x+6m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。求m的值及AC、BC的長(zhǎng)(BCAC)在線段BC的延長(zhǎng)線上是否存在點(diǎn)D,使得以D、A、C為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮拷猓?1)設(shè)方程X2(m+5)x+6m=0的兩個(gè)根分別是X、x2o.x1+x2=m+5,Xx2=6m。X2+x2=(x+x)2xx=(m+5)22-6m。121212.RtAABC中，ZACB=90。，AB=5，x2+x2=AB2。12(m+5)22-6m=5，.:m2-m=

19、O.m=O或m=2。當(dāng)m=0時(shí)，原方程的解分別為x1=0,x2=5，但三角形的邊長(zhǎng)不能為0,所以m=0舍去;當(dāng)m=2時(shí)，原方程為X27x+12=0，其解為x1=3,x2=4,所以?xún)芍苯沁匒C=3,BC=4。.m=2，AC=3，BC=4。(2)存在。已知AC=3,BC=4,AB=5,欲使以AD1C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，22.BC=CD=4。綜上所述，在線段BC的延長(zhǎng)線上是存在點(diǎn)D,使得以D、A、C為頂點(diǎn)9的三角形與ABC相似，CD的長(zhǎng)為-或4。4【考點(diǎn)】相似三角形的判定，根與系數(shù)的的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。練習(xí)題：1.(2006四川廣安8分)已知：ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)

20、是關(guān)于x的一元二次方程x2(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5.試問(wèn)：k取何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？2.(2002江蘇無(wú)錫9分)已知：如圖，00的半徑為r，CE切0O于C,且與弦AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，CD丄AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程X23(r2)x+r2-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求：(1)AC、BC的長(zhǎng)；(2)CD的長(zhǎng).七、在二次函數(shù)中的應(yīng)用：一元二次方程ax2+bx+c(a0)可以看作二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)當(dāng)y=0時(shí)的情形，因此若干二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)的綜合問(wèn)題都可以用韋達(dá)

21、定理解題。典型例題：例1：(2012天津市3分)若關(guān)于x的一元二次方程(x2)(x3)=m有實(shí)數(shù)根x1?x2，1且x1x2，有下列結(jié)論：x1=2，x2=3:m-；二次函數(shù)y=(xx1)(xx2)+m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)和(3,0).其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】(A)0(B)1(C)2(D)3第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)1答案】化匕考點(diǎn)】拋物線與鬣軸痢交點(diǎn)，一元二次為程的解，一元二黴有程根的判別武和根與系數(shù)的黃系分析】；一元二撫方程買(mǎi)皺恨分別対旳、-=2,也T,只有在心0時(shí)才能成立，故詰論e諸溟.一7L二次看程(2!2)眩一了)=m化共骰形式察；沖一弼+6=-(,丁右程有

22、兩牛不相等的實(shí)數(shù)根衍、.A=b2-4ac=(-5)2-4(67如+1二山醉得：iYlA-故結(jié)論正確.無(wú)二汰肓程諄一5簽+6血=1實(shí)馭隈分別淘叱趣.囂+迤=5,酉筆=占一Ilin-二7災(zāi)函數(shù)尸戈交1丈一駒+m=Ji?Xi十卻】x+瑪蕊十ni=5敦十6tn+msi35s+6k2)(s3)令嚴(yán)口,即(衛(wèi)一力(K3)-0；解得匚滬2或3兒拋物統(tǒng)與盜軸閨玄點(diǎn)矢00)或(久g故結(jié)論正確.竦上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)；.故選C.cX兀2=2a把它稱(chēng)為例2：(2012甘肅蘭州10分)若X、x2是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c(a0)的兩個(gè)根,則方程的兩個(gè)根X、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：cX兀2=2a把它

23、稱(chēng)為a元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x,0),B(x2，0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB=|X=|XX2|=。參考以上定理和結(jié)論,解答下列問(wèn)題：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(x,0),B(x2,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然ABC等腰三角形.(1)當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，求b24ac的值；(2)當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，求b24ac的值.【答案】解：(1)當(dāng)AABC為直角三角形時(shí),第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)過(guò)C作CE丄AB于E,則A

24、B=2CE。拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，4624ac0,則Ib24acl=b24ac。|a|aO,AB=“b2-4ac訃-4ac|a|又TCE=4ac-b2b24ac4a4ab2-4acb2-4ac24a.沖一4心匕嚴(yán)，即b2一4ac=C2-4ac)*/b24ac0,Ab24ac=4。(2)當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，由(1)可知CE=AB,2.b2-4acV3Jb2一4ac4a2a4ab24ac0，b24ac=12。【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)。【分析】(1)當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，由于AC=BC,所以AABC為等腰直角三角b24ac形，過(guò)C作C

25、E丄AB于E,則AB=2CE.根據(jù)本題定理和結(jié)論，得到AB=，根4ac一b2據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到CE=4ac，列方程，解可求出b24ac的值。4a(2)當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，解直角AACE,得CE=AB,據(jù)此列出方程，解方2程即可求出b24ac的值。例3：(2012廣東梅州10分(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q0)的兩根為X、x2；求證：X+x2=-p,Xx2=q.(2)已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(-1,-1),設(shè)線段AB的長(zhǎng)為，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值，并求出最小值.【答案】證明；H-l,b-p.=卜p2-.hr：.x1+K2=-=-

26、p,簽.區(qū)2=_=q-!d解：抿：-1，-1代入y=/+j共+q得p-1=即q=f-工設(shè)拋恂出三尸品甘求處一與冥軸交于凸、R的坐際今別問(wèn)C：.fl)、厲3心”日=卜：1-宅|，-.#=1:遼-宅2=:竺+臨：2-4-4q=p2-4+8=(p-2)+4”當(dāng)N時(shí)，拒的農(nóng)小值是札【考點(diǎn)1-元二次力程根的劌別式和艱系馥肉艾氐地恂紅匚盂軻的交點(diǎn)，吐線上點(diǎn).的坐際打程的犬環(huán)二號(hào)匪裁的最值，【分柄】門(mén))根據(jù)元二吹方理恨口系紋的艾系可直按訂睜【教材中沒(méi)育元二吹方程唱與系數(shù)的關(guān)買(mǎi)可元根據(jù)求帳Z式徉山邇、迤的值，匡求丄兩根Bt不匚2不E日R可】(2)把點(diǎn)：-1=-1)代入拋拗華射髀訴二I，再臼4紐-電冋得護(hù)蓋于卩

27、的座數(shù)天系式，應(yīng)用詼函魏的最館原埋那可博出結(jié)論例4(2012湖北黃石10分)已知拋物線C1的函數(shù)解析式為y二ax2+bx-3a(b0，請(qǐng)證明：x+2,并說(shuō)明x為何1x1值時(shí)才會(huì)有X+2x若拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C2，設(shè)A(m,y)，21B(n,y)2是C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿(mǎn)足：ZAOB900，m0，n0,x+1一2=G-x一一)0 x：Xx+-2。x當(dāng)I=0時(shí)，即當(dāng)x=1時(shí),Vx(3)由平移的性質(zhì)，得C2的解析式為：y=x2。A(m,m2),B(n,n2)。/AOB為直角三角形，.OA2+OB2=AB2。.m2m4n2n4=(mn)2(m2n2)2,化簡(jiǎn)得：

28、mn=1。尸一OA-OB=-m2+m4-n2+n4,mn=1,4AOB22(m+)2mAOB=2V2+m2+n2=2+m2(m+)2m.SJAOB的最小值為1,此時(shí)m=1,A(1,1)。直線oa的一次函數(shù)解析式為y=x?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題,曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),不等式的知識(shí)?！痉治觥?1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即要先求出拋物線的解析式,即確定待定系數(shù)a、b的值已知拋物線圖象與y軸交點(diǎn)，可確定解析式中的常數(shù)項(xiàng)(由此得到a的值)；然后從方程入手求b的值，題目給出了兩根差的絕對(duì)值，將其進(jìn)行適當(dāng)變形(轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即

29、可求出b的值。1將x+配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負(fù)性即可得證。x結(jié)合(1)的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出AAOB的面積表達(dá)式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)可確定AOAB的最小面積值以及此時(shí)m的值，從而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式。第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)第-第-6-頁(yè)共8頁(yè)別解：由題意可求拋物線C2的解析式為：y=x2。A(m,m2),B(n,n2)。過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D,則S=S-S-S梯形ACDBAAOCABOD11二一(m2+n2)(m-n)m-m2n-n222由BODQOO

30、AC得BD=由BODQOOAC得BD=OD，即巴=芒OCACmm2mn二-1。.112-2=10S=mn(m-2-2=1022Saaob的最小值為1,此時(shí)m=l,A(l,l)o直線OA的一次函數(shù)解析式為y=x。例6：(廣東廣州14分)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,1)，且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范圍；(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P,記APCD的面積為耳，PAB的面積為S2,當(dāng)0VaVI時(shí)，求證：S-S2為常數(shù)，并求出該常數(shù).【答

31、案】解：(1)把C(0,1)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c得：1=0+0+c，解得：c=1。c的值是1。(2)由(1)二次函數(shù)為y=ax2+bx+1，把A(1,0)代入得：0=a+b+1,b=1a。二次函數(shù)為y=ax2+bx+1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，兀一次方程ax2+bx+1=0根的判別式A0,(-1aP-4a=a22a+1=(a1P0,a主1且a0oa的取值范圍是a主1且a0。(3)證明：.0VaV1,:.B在A的右邊，設(shè)A(1,0),B(x,0),bax2+(-1-a)x+1=0TOC o 1-5 h z1+a1由根與系數(shù)的關(guān)系得：1+xb=，:xb=。baba11a.AB=1-aa把y=1

32、代入二次函數(shù)得：ax2+(-1-a)x+1=1解得：x1=0,乂2=錯(cuò)誤！未找到引用源。，CD=錯(cuò)誤！未找到引用源。過(guò)P作MN丄CD于M,交x軸于N,則MN丄x軸,、：CDAB,：tCPDsA、：CDAB,：tCPDsABPA。.PNAB=，即PM=_a_1-pm1aa1+a1-a解得，PM=。.：PN=：。1+1+a11-a1-a-=1。22a2：S-S2=CDPM-AB-PN=12222a即不論a為何值，SS2的值都是常數(shù)。這個(gè)常數(shù)是1?？键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，解一元一次方程，解二元一次方程組，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判

33、定和性質(zhì)。【分析】(1)把C(0,1)代入拋物線即可求出c。(2)把A(1,0)代入得到0=a+b+1,推出b=一1一a,求出方程ax2+bx+1=0的的值即可。(3)設(shè)A(1,0),B(xb,0),由根與系數(shù)的關(guān)系求出AB錯(cuò)誤！未找到引b用源。，把y=1代入拋物線得到方程ax2+(-l-a)x+1=1，求出方程的解，進(jìn)一步求出CD過(guò)P作MN丄CD于M,交x軸于N,根據(jù)CPDsABPA,求出PN、PM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求出s1S2的值即可。例7：(2011黑龍江大慶8分)已知二次函數(shù)y=ax2-bx+b(a0,b0)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不大于一號(hào).求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍

34、；（2）若該二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值.【答案】解：y=ax2-bx+b（a，b0）圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（尋駕嚴(yán)）4abb2由已知得k.該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是不小于3。(2)設(shè)A(x,0),B(x,0)(x6。a由于當(dāng)b6時(shí)，隨著b的增大，臚2）24也隨著增大aaa.當(dāng)=6時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度的最小值為2/3。a【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)和x軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，韋達(dá)定理。【分析】（1）先求出y=ax2bx+b（a0,b0）的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)題意得出3,2a即可得出該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。（2）設(shè)A（x,0）,B（x,0）（x

35、x），1212則x，x是方程ax2bx+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，根據(jù)AB=|xx|求出線段AB長(zhǎng)1221度的最小值。例8：（2012湖南長(zhǎng)沙10分）如圖半徑分別為m，n（OVmVn）的兩圓OO1和0O2相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，1），兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，0O與x軸，y軸分別切于點(diǎn)M點(diǎn)N，OO2與x軸，y軸分別切于點(diǎn)人，點(diǎn)H.（1）求兩圓的圓心O1，O2所在直線的解析式；（2）求兩圓的圓心O,O2之間的距離d；（3）令四邊形poqo2的面積為齊，四邊形rmo、o2的面積為S2試探究：是否存在條經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)、開(kāi)口向下，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為的拋物線？若存在，請(qǐng)求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1）由題意可知O（m，m），O2（n，n）,第-6-頁(yè)共8頁(yè)設(shè)過(guò)點(diǎn)O1,O2的直線解析式為尸kx+b,則有:mk+b=mnk+b=nk=lmk+b=mnk+b=n(OVmVn),解得彳。b=0兩圓的圓心O1,O2所在直線的解析式為：尸x。由相交兩圓的性質(zhì)，可知P、Q點(diǎn)關(guān)于OO2對(duì)稱(chēng).：P(4,1),直線OO2解析式