2023年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案

1、PAGE PAGE 82023年福建省高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試時(shí)間：5月10日上午8：3011：00一、選擇題每題6分，共36分1.集合的子集有 A4個(gè) B8個(gè) C16個(gè) D32個(gè)【答案】 C 【解答】由，知，結(jié)合，得。的子集有個(gè)。2假設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 A1 B CD【答案】 D 【解答】在直線(xiàn)：取點(diǎn)，那么關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上。又直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)。過(guò)和兩點(diǎn)，其方程為。與坐標(biāo)軸交于和兩點(diǎn)，與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為。3給出以下四個(gè)判斷：1假設(shè)，為異面直線(xiàn)，那么過(guò)空間任意一點(diǎn)，總可以找到直線(xiàn)與，都相交。2對(duì)平面，和直線(xiàn)，假設(shè)，

2、那么。3對(duì)平面，和直線(xiàn)，假設(shè)，那么。4對(duì)直線(xiàn)，和平面，假設(shè)，且過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么。其中正確的判斷有 A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】 B 【解答】3、4正確；1、2不正確。對(duì)于1，設(shè)，過(guò)和的平面為，那么當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)，且不在直線(xiàn)上時(shí)，找不到直線(xiàn)同時(shí)與，都相交。4如圖，正方體，為中點(diǎn)，那么二面角的正切值為 A1 B C D第4題第4題 圖【解答】如圖，作于，作于，連結(jié)。由為正方體，知，。又。因此，。為面角的平面角。設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，那么，。第4題答題圖第4題答題圖圖5為等腰直角三角形，為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足條件：，那么線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為 A B2CD4【答案】B【解答】以所在直線(xiàn)為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立

3、平面直角坐標(biāo)系。那么、。設(shè)，由，知。，即，化簡(jiǎn)，得。時(shí)，有最小值2。此時(shí)，。6記，那么，的大小關(guān)系為 A B C D必要時(shí)，可以利用函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)【答案】 A 【解答】，。設(shè)，由在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，得，于是。，即，于是，。又顯然，。于是，。二、填空題每題6分，共36分7為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，那么?！敬鸢浮?【解答】依題意，有，。由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得。，得，。8直線(xiàn)：的傾斜角為，假設(shè)，那么的取值范圍為?！敬鸢浮?【解答】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得。的取值范圍為。9如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，那么與平面所成角的正弦值為。第9題第9題 圖【解答】如圖，作于，那么

4、就是與平面所成的角。，。設(shè)，那么。又，。第9題答題圖第9題答題圖或求出外接圓半徑后，再求解。10函數(shù)的最小值為?！敬鸢浮?【解答】由，知，或。的定義域?yàn)?。和在上都是減函數(shù)，在上都是增函數(shù)。在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。的最小值是與中較小者。，。的最小值是。11函數(shù)，且在區(qū)間上的最小值為，那么在區(qū)間上的最大值為?！敬鸢浮?10【解答】設(shè)，那么在上為增函數(shù)。時(shí)，在上為增函數(shù)。，。時(shí)，在上為增函數(shù)。，。12假設(shè)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足條件：，那么的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹坑蓷l件知，因此，。由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，那么。設(shè)，代入，消并整理，得。由的判別式，得或。由知，。又時(shí)，化為，得，此時(shí)，符合。的最小值為。因此，的最小

5、值為。三、解答題第13、14、15、16題每題16分，第17題14分，總分值78分13在中，點(diǎn)，且它的內(nèi)切圓的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【答案】易知直線(xiàn)于圓相切，直線(xiàn)、的斜率存在。設(shè)直線(xiàn)的方程為，即。由直線(xiàn)與圓相切，知，解得。 直線(xiàn)的方程為。 8分設(shè)直線(xiàn)的方程為，即。由直線(xiàn)與圓相切，知，解得。直線(xiàn)的方程為。 12分由，解得。 點(diǎn)的坐標(biāo)為。 16分14，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立。1求證：；2假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)滿(mǎn)足條件的，恒成立，求的最小值?！敬鸢浮? 對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立， 對(duì)任意實(shí)數(shù)，即恒成立。，即。 4分，。 8分2由以及1知，。恒成立，等價(jià)于恒成立。 12分設(shè)，那么。由，知的取值范圍為。，的最小值為。

6、 16分15如圖，、分別是的中線(xiàn)和高線(xiàn)，、是外接圓的切線(xiàn)，點(diǎn)是與圓的交點(diǎn)。1求證：；2求證：平分。【答案】1由為圓切線(xiàn)，知。、是圓的切線(xiàn)，為中點(diǎn)，、三點(diǎn)共線(xiàn)，且。第15題 圖，第15題 圖。 4分，為中點(diǎn)，。于是，。又。第15題答題圖。 第15題答題圖2延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連結(jié)，。由，知.，。 12分又為中點(diǎn)，。，。平分。 16分2或解：連結(jié)、。由，知。又由切割線(xiàn)定理知，第15題答題第15題答題圖、四點(diǎn)共圓。 12分。又于，因此，。平分。 16分16正整數(shù)，為的三邊長(zhǎng)，且，求的最小值。其中表示的小數(shù)局部，即表示不超過(guò)的最大整數(shù)?！敬鸢浮坑?，知即，被15除的余數(shù)相同。 4分，。由2與15互質(zhì)知， 8分經(jīng)驗(yàn)算，可知滿(mǎn)足的最小正整數(shù)。，都是4的倍數(shù)。 12分設(shè)，為正整數(shù)，且。，構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)，。經(jīng)驗(yàn)證，5，可以為三角形的三邊長(zhǎng)。的最小值為27。此時(shí)，。 16分17集合。集合是的子集，且在的任意三個(gè)元素中，總可以找到兩個(gè)元素和，使得是的整數(shù)倍。求的最大值。其中表示集合的元素的個(gè)數(shù)。【答案】首先集合符合要求。此時(shí)，。5分設(shè)，滿(mǎn)足：在的任意三個(gè)元素