羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法

1、羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法定理的證明證明：因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間la,b 1上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M和m表示，現(xiàn)在分兩種情況討論：若M二m,則函數(shù)f (x)在閉區(qū)間la,b 1上必為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。若M .m，貝U因為f(a)二 f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在a,b內(nèi)某點處取得，從而是f(x)的極值點，由條件f(x)在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)得，f(x)在處可導(dǎo)，故由費馬定理推知：f(J=O。羅爾中值定理類問題的證明羅爾中值定理在微分學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們就對羅爾中值定理 的應(yīng)用作深入的研究，歸納出證題技巧。形如“在a,b內(nèi)至少存在一點，使t)=k ”

2、的命題的證法。當(dāng)k =0時，一般這種情況下，我們只需驗證f (x)滿足羅爾定理的條件，根據(jù) 羅爾定理來證明命題。在證明過程中，我們要注意區(qū)間的選取，有時候所需驗證的 條件并不是顯而易見的。例1設(shè)f (x)在閉區(qū)間0,11上連續(xù)，開區(qū)間0,1內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=3 f(x)dx。123證明：=三 |： 0,1,使 f( J = 0分析：由于所需驗證的羅爾中值定理的條件并不是顯而易見的，而且這個問題 涉及到定積分，所以我們考慮運用積分中值定理的知識，嘗試在0,1中找到一個區(qū) 間0,，在0,中運用羅爾中值定理去證明。證：因為 f(0) =3 f (x)dx =3(1-Z)f( ) = f( ),-,1

3、3,3顯然f(x)在閉區(qū)間0,上連續(xù)，在開區(qū)間0,內(nèi)可導(dǎo)根據(jù)羅爾定理，“三0,1,使f( J =0當(dāng)k =0時，若所證明的等式中不出現(xiàn)端點值，則將結(jié)論化為：f,(J-k=0的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)，我們就可以運用(1)中的方法證明命題。我們在構(gòu)造輔助 函數(shù)時，可用觀察法、積分法、遞推法，常數(shù)k法等等。例2設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b 1上連續(xù)，在開區(qū)間a,b內(nèi)可導(dǎo)，證明：在a,b內(nèi) 至少存在一點，使 2* (b) -f (a)J (ba)f ()證：要證明 2f(b) f(a)l-(b )f() TOC o 1-5 h z 2 a2只需證 2f(b) f(a)】一(b a)f() = 0

4、22故令g(x) =x(f (b) - f (a) - (b- a) f (x),則g(x)在閉區(qū)間a,b】上連續(xù),在開區(qū) 222間a,b內(nèi)可導(dǎo)，且g(a) =g(b)故，三 i： a,b，使得 g.() = 2 (f(b)- f(a) -(b2-a2)f( ) = 0即：2f(b) - f(a)L(b -a)f()22應(yīng)用羅爾定理來討論方程的根：解決這類問題首先要構(gòu)造一個函數(shù)，使該函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)是結(jié)論中的函數(shù)。例3證明方程4ax33bx2 2cA (a b c)在0,1內(nèi)至少有一實根。分析：若令f (x)二4ax3 3bx2 2cx-(a b c)，貝U f (0)， f的符號不易判別，所 以

5、不適合運用介值定理，因此我們采用羅爾中值定理來證明。證：令 f (x)二 ax4 bx3 cx2 - (a b c)x，貝 U f (x)在 0,1 】上連續(xù)，在 0,1 內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)= f(i) = 0。由羅爾中值定理可知：V三(0,1,使f() =0。即 4ax 3bx 2cx - (a b c) = 0所以方程4ax3 - 3bx2 2cA (a b c)在0,1內(nèi)至少有一實根例4若f(x)可導(dǎo)，試證明在f(x)的兩個零點之間，一定有f(x) - f.(x) =0的零點。分析：要證f(x)f.(x)=0存在零點，我們需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)F(x)，使得F.(x) = f(x)f.(x

6、)，將問題轉(zhuǎn)換為F.(x)的零點存在問題。證：令 F(x) =exf (x)，設(shè) X1，X2為 f (x)的兩個零點，即 f (%) = 0，f(X2) = 0O 則有F(xJ = F(X2)二 0o假設(shè)為：X2,有F(x)在“1 X1上連續(xù)，在X1X內(nèi)可導(dǎo)。由羅爾中值定理可得，“三(X1,X2,使F.( J =0,即e f ( ) e f.( ) =0，又因為e -0,故 f( ) f. J =0O所以，在f(x)的兩個零點之間，一定有f(x) f.(xA0的零點。廣義的羅爾中值定理羅爾中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是證明拉格朗日中值定理和 柯西中值定理的基礎(chǔ)。下面我們對廣義的羅爾

7、定理進(jìn)行討論。廣義的羅爾定理 有多 種形式，它們的特點就是把定理條件中可微性概念拓寬，然后得到廣義的羅爾中值 表達(dá)式。廣義的羅爾定理有多種形式。形式1：若函數(shù)f(X )在a,:：內(nèi)可導(dǎo)，且lim f(x) lim f (x)，則在a,：:內(nèi)ja十 。心至少存在一點c,使fc) = 0。證：若f(x)三入，則結(jié)論顯然成立。若f (x) = A，不妨設(shè) x0- (a，:)，使 f由 xm+f(x2xx)=A(xj : A,知：對客 0= A f%)，mX a 勺, 6 cx0 a，當(dāng) xaX, (a,a + 6)時，有f(x) - A f(x。) - A，則 f(x) f(x。)。又 f(x)在

8、a、，X 1 上連續(xù)，故必存在最小值 m，&。la r,X 1,使 f(c) =m。又當(dāng) x X，x - (a,a ,)時，都有f(x) _ f(x) _ m = f (c)，貝 U f (c)二 m 也是 f(x)在-：，：上的最小值。0故由費馬定理知，f(c)=0 例5設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間0, 上可導(dǎo)，且有0 _ f (x) x，證明0，1 + x證：令 F(x) x)L又因為 lim,所以 lim f(x)=0。證：令 F(x) x)L又因為 lim,所以 lim f(x)=0。：Xlim.F(x) lim (f (x)x1x而 lim F (x) = lim (f (x)xx )=0

9、,所以 lim F(xA lim F(x)，故 F(x)在 0,可xx j0 x)=0，2X導(dǎo)。由廣義的羅爾中值定理，-i0, 即+2)21 2，使 F(x) =0，形式2:若函數(shù)f (x)在-：:,b內(nèi)可導(dǎo)，且lim f (x) = lim f (x)，則在:,bI皿Ab內(nèi)至少存在一點c,使f(c) = 0。證明方法與形式1類似。1 1 例6求證函數(shù)f(x)在-：,-1內(nèi)至少存在一點c，使得f4 證：顯然函數(shù)f(x)= x獨開區(qū)間：i-匚片-1內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)im f(x)=0, lim f(x) =0。則由形式2可知，在-：，-1內(nèi)至少存在一點c，使f(c)=0 x 4 而 f(x)=(12

10、)2Jx因為 0 (x)i 一，所以 f(0lxmDf (x)(12)2Jx因為 0 (x)i 一，所以 f(0lxmDf (x) = 。 +xxx xx形式3:若函數(shù)f (x)在a, b內(nèi)可導(dǎo)，且lim . f (x) lim_f(x)=A(A為有限數(shù),x axb或二),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點c，使f(c)=0證：若A為有限數(shù)，當(dāng)f(x)二 A,顯然結(jié)論成立。若 f(x) = A,必 x。a,b,使 f(x )= A。不妨設(shè) f (x。) A,R,使得 A一f(X0)。而 lim f(x)=lim f(x)=A，由局部保號性，必 X.(a,a*),x_+ x _使 f(X) ；: :;

11、:f(x)，X2(b-. ,b)，使,&2,XO 連續(xù)。由介值定理，TGW兇,Xo, c2X2,XO, f(x)在 q,c1f(X2) ； :,: ；： f(x)。利用羅爾中值定理，十 C,C2i二 ia,b，使 因為f (x)在(a,b)可導(dǎo)，所以f (x)在X1, x0使 f (G ) = f (C2)七。得 f (c) = 0O若 A=; d，由 lim f (x) = lim f (x), f (xo) = A,知 a,b，使得f(x) : A X1 (a,a J，使 f(xj 人，則有 f (x) : A : f (xj-% (b-、2,b)，使 fg A,則有 f (x) : :

12、A : : f(X2)。再由 f (x)在(a,b)連續(xù)，C2 X0,X2,有f(G)二 f) = A,在匕心利用羅爾中值定理，有f(c)=0。例7求證函數(shù)f(x)二 1(X-1)(X-3)在1,3內(nèi)至少存在一點c，使f (c) = 0o使 f(c) = 0使 f(c) = 0lim f (x) = lim f (x)，則在X X :lim F (t) lim f (x) = A， t” 0XR21證：顯然函數(shù)f (x)-在1,3內(nèi)可導(dǎo)，且有l(wèi)im f (x)=-:，(x-1)(x-3)i1lim f(x)-。則由形式3可知，在1,3內(nèi)至少存在一點c， x)3 -吊J / E 1(T2冊，故有?=0而 f (x)=(x-1)(x-3) cd +oC形式4:若函數(shù)f (x)在-:;:內(nèi)可導(dǎo)，且i- “內(nèi)至少存在一點c，使f (c) = 0證：令十a(chǎn)nt)，由題設(shè)知：lilim F(t) =xlim rf(x)二 A，且 F.(t)二 f.(tant) sech 存在由形式 3 可知，于】-一，)，使 F =f (tant) sec21 = 0，而 sec21 = 0， 2 2 故 f(c)