江蘇科技大學(xué)-大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念(基礎(chǔ)版)

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念(基礎(chǔ)版) 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念（基礎(chǔ)版） 目錄 第一章函數(shù)與極限 第一節(jié)函數(shù) 其次節(jié)數(shù)列的極限 第三節(jié)函數(shù)的極限 第四節(jié)無窮小與無窮大 第五節(jié)極限四則運(yùn)算法則 第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限 第七節(jié)無窮小的對比 第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與休止點(diǎn) 第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 其次章導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念 其次節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則 第三節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù) 第五節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)辯化率 第六節(jié)函數(shù)的微分 第三章

2、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié)中值定理 其次節(jié)洛必達(dá)法則 第三節(jié)泰勒公式 第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定法 第五節(jié)函數(shù)的極值與最值 第六節(jié)曲線的凹凸與拐點(diǎn) 第七節(jié)曲率 第八節(jié)方程的近似解 第四章不定積分 第一節(jié)不定積分的概念及其性質(zhì) 其次節(jié)不定積分的換元積分 第三節(jié)不定積分的分部積分法 第四節(jié)幾種特別類型函數(shù)的積分 （版權(quán)所有，翻印必究）第 1 頁共85 頁 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念（基礎(chǔ)版） 第五章定積分 第一節(jié)定積分概念與性質(zhì) 其次節(jié)微積分基本定理 第三節(jié)定積分換元積分法與分部積分法 第四節(jié)廣義積分 第六章定積分的應(yīng)用 第一節(jié)定積分的元素法 第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

3、 其次節(jié)偏導(dǎo)數(shù) 第三節(jié)全微分 第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 第六節(jié)微分法在幾何上的應(yīng)用 第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度 第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法 第八章重積分 第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì) 其次節(jié)二重積分的計(jì)算 第三節(jié)二重積分的應(yīng)用 第四節(jié)三重積分的概念及其計(jì)算法 第五節(jié)利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 第九章微分方程 第一節(jié)微分方程的基本概念 其次節(jié)可分開變量的微分方程 第三節(jié)齊次方程 第四節(jié)一階線性微分方程 第五節(jié)全微分方程 第六節(jié)可降階的高階微分方程 第七節(jié)高階線性微分方程 第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程 （版權(quán)所有，翻印必究）第 2 頁共85 頁 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高

4、等數(shù)學(xué)概念（基礎(chǔ)版） （版權(quán)所有，翻印必究） 第 3 頁 共 85 頁 第一章 函數(shù)與極限 第一節(jié) 函 數(shù) 教學(xué)目的：本節(jié)主要是復(fù)習(xí)高中階段學(xué)過的集合以及函數(shù)的概念、性質(zhì)；介紹鄰域、 分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念。 教學(xué)重點(diǎn)：分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)； 一、 集合、常量與變量 (一) 集合 1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。尋常用大寫字母A 、B 、C 等來表示，組成集合的各個(gè)事物稱為該集合的元素。若事物a 是集合M 的一個(gè)元素，就記a M （讀a 屬于M ）；若事物a 不是集合M 的一個(gè)元素，就記a ?M 或a M （讀a 不屬于M ）；集合有時(shí)也簡稱為集。 注意：（1）對

5、于一個(gè)給定的集合，要具有確定性的特征，即對于任何一個(gè)事物或元素，能夠判斷 它屬于或不屬于給定的集合，二者必居其一. （2）對于一個(gè)給定的集合，其中的元素應(yīng)是互異的，完全一致的元素，不管數(shù)量多少， 在一個(gè)集合里只算作一個(gè)元素，就是說，同一個(gè)元素在同一個(gè)集合里不能重復(fù)出現(xiàn). （3）若一集合只有有限個(gè)元素，就稱為有限集；否則稱為無限集 2. 集合的表示法 表示集合的方法，常見的有列舉法和描述法兩種. 列舉法：按任意順序列出集合的所有元素，并用花括號(hào) 括起來，這種方法稱為列舉法. 3.全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實(shí)數(shù)的集合記為R 。 以后不特別說明的狀況下考慮

6、的集合均為數(shù)集。 4.集合間的基本關(guān)系：若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若有A x ，必有B x ，就稱A 為B 的子集，記為B A ?,或A B ?(讀B 包含A)。 顯然：R Q Z N ?. 若B A ?,同時(shí)A B ?,就稱A 、B 相等,記為A=B 。 5.不含任何元素的集稱為空集,記為,如：R x x x =+,012=,12:-=x x =,空集是任 何集合的子集,即A ?。 (二) 區(qū)間與鄰域 1. 區(qū)間 設(shè)a 和b 都是實(shí)數(shù)，且ab, 數(shù)集 x | axb 稱為開區(qū)間，記作(a,b)，即 (a , b)=x | axb. a 和 b 稱為開區(qū)間( a , b ) 的端點(diǎn)

7、，這里a ?( a ,b ) ， b ?( a ,b ). 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念（基礎(chǔ)版） （版權(quán)所有，翻印必究） 第 4 頁 共 85 頁 數(shù)集 x |a b x 稱為閉區(qū)間，記作a,b，即 a, b = x| a b x . a 和 b 稱為閉區(qū)間 a ,b 的端點(diǎn)，這里a a , b ， b a , b . 類似地可以說明： a,b )= x | a xb , ( a ,b =x |ax b , a,b )和( a ,b都稱為半開區(qū)間. 以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.數(shù)b-a 稱為這些區(qū)間的長度.從數(shù)軸上看，這些有限區(qū)間是長度為有限的線段.閉區(qū)間a,b與開區(qū)間（a,b ）在數(shù)軸上表

8、示出來，分別如圖1-7（a ）與(b).此外還有無限區(qū)間，引進(jìn)記號(hào)+（讀作正無窮大）及-（讀作負(fù)無窮大），則可類似地表示下面的無限區(qū)間: a ，+)= x | a x， (- ,b )= x | xb， 全體實(shí)數(shù)的集合也可記作（-，+），它也是無限區(qū)間. 2.鄰域. 設(shè)是任一正數(shù)，a 為某一實(shí)數(shù)，把數(shù)集 x| |x-a | 稱為點(diǎn)a 的鄰域，記作 U （a, ） ，即 U(a, )= x| |x-a | 點(diǎn)a 稱為這鄰域的中心，稱為這鄰域的半徑. 由于a-x U(a, ）= x| a-x 由于| x-a |表示點(diǎn)x 與點(diǎn)a 間的距離，所以U(a, ）表示：與點(diǎn)a 距離小于的一切點(diǎn)x 的全體.

9、有時(shí)用到的鄰域需要把鄰域中心去掉.點(diǎn)a 的鄰域去掉中心a 后，稱為點(diǎn)a 的去心的鄰域，記作U(a , ），即 U(a , ）= x | 0|x-a |. 這里0|x-a|就表示x a. (三)常量與變量 在自然科學(xué)中，我們會(huì)遇到各種不同的量，然而在觀測這些量時(shí)，發(fā)現(xiàn)有著十分不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量。 注1：常量與變量是相對而言的，同一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或在一年中觀測某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變

10、量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c 等字母表示，變量用x,y,u,t 等字母表示，常量a 為一定值，在數(shù)軸上可用定點(diǎn)表示，變量x 代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動(dòng)點(diǎn)表示，如：),(b a x 表示x 可代表),(b a 中的任一個(gè)數(shù)。 江蘇科技大學(xué)大學(xué)高等數(shù)學(xué)概念（基礎(chǔ)版） （版權(quán)所有，翻印必究） 第 5 頁 共 85 頁 二、 函數(shù)的概念 定義：設(shè)x 和y 為兩個(gè)變量，D 為一個(gè)給定的數(shù)集，假如對每一個(gè)D x ，依照一定的法則f 變量y 總有確定的數(shù)值與之對應(yīng)，就稱y 為x 的函數(shù)，記為)(x f y =.數(shù)集D 稱為該函數(shù)的定義域，x 叫做自變量，y 叫做因變量。 當(dāng)x 取

11、數(shù)值D x 0時(shí)，依法則f 的對應(yīng)值稱為函數(shù))(x f y =在0 x x =時(shí)的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集合),(D x x f y y W =稱為函數(shù))(x f y =的值域。 關(guān)于函數(shù)定義的幾點(diǎn)說明： （1）我們這里所講的函數(shù)是指單值函數(shù)，也就是說，對于每一個(gè)x 值只能對應(yīng)變量y 的一個(gè)值. （2）符號(hào)“f 的意義： 符號(hào)“f 表示自變量x 與函數(shù)y 的某種對應(yīng)關(guān)系.例如y=f(x)=5x 2+3x-1，它的對應(yīng)關(guān)系f是自變量的平方乘以5加上自變量的3倍減去1，我們不妨簡化為y=f( )=5( )2+3( )-1。如x=3時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值是 f(3)=5?32+3?3-1. 同樣當(dāng)x=a

12、 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值是 f(a)=5a 2+3a-1. 表示函數(shù)對應(yīng)法則的符號(hào)也往往用“g 、“F 等表示，這時(shí)函數(shù)就記作y=g(x)、 y=F(x)等. （3）確定函數(shù)的兩個(gè)要素定義域和對應(yīng)法則 函數(shù)概念反映著自變量和因變量之間的依靠關(guān)系.它涉及到定義域、對應(yīng)法則和值域.很明顯，只要定義域和對應(yīng)法則確定了，值域也就隨之確定.因此，定義域和對應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素，只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都一致，那么，這兩個(gè)函數(shù)就一致；假如定義域或?qū)?yīng)法則有一個(gè)不一致，那么這兩個(gè)函數(shù)就不一致. 例如：函數(shù) f(x)=x x 與g(x)=1，由于f(x)的定義域?yàn)椋?，0） (0,+），而g(x)的定義域?yàn)椋?，+），所以f(x)與g(x)是不同的函數(shù). （4）函數(shù)定義域的求法 對于由實(shí)際問題得到的函數(shù)，其定義域應(yīng)當(dāng)由問題的具體條件來確定.如例1函數(shù)S=r 2中，自變量r 是圓的半徑，故此函數(shù)的定義域就是 (0,+）.例2中，自變量Q 表示銷售的臺(tái)數(shù)，故此函數(shù)的定義域是全體自然數(shù). 若函數(shù)由公式給出時(shí)，不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，這時(shí)函數(shù)的定義域就是使式子有意義的