平面體系幾何組成分析技巧

1、平面體系幾何組成分析技巧2 要：平面體系幾何組成分析是結(jié)構(gòu)力學課程中非常重要的一部分內(nèi)容，能幫助人們了解結(jié)構(gòu)的組成，選擇合 理的結(jié)構(gòu)形式。本文提出的平面體系幾何組成分析技巧，思路清晰，邏輯性強，輔以例題具體說明，對學習者掌握這部分 內(nèi)容具有指導意義。關鍵詞：平面體系；幾何組成分析；皎接三角形平面桿件幾何組成分析不僅可以判別體系是幾 何不變還是幾何可變的，還可以區(qū)分體系是靜定結(jié)構(gòu) 還是超靜定結(jié)構(gòu)，是結(jié)構(gòu)力學這門課程非常重要的一 部分內(nèi)容。幾何組合分析圍繞著二元體規(guī)則、兩剛片 規(guī)則和三剛片規(guī)則囚展開。目前,很多學者已經(jīng)對幾何 組成分析的技巧進行了總結(jié)和歸納，即拆去基礎、拆 除二元體、剛片等效代換等

2、僅%61。這些技巧在很大程度 上減少了幾何組成分析的步驟，但是運用完上述技巧 后如何入手題目，目前還沒有系統(tǒng)性的相關技巧的總 結(jié)。針對這個盲點，針對幾何體系中X接三角形的數(shù) 量（X接三角形是指桿件以三剛片規(guī)則聯(lián)系在一起的 形式），總結(jié)了相關分析技巧。1平面體系幾何組成分析思路1.1常規(guī)體系對于常規(guī)體系，平面體系幾何組成分析思路如圖圖1平面體系幾何組成分析思路Fig.l Analysis ideas of geometric composition of plane system 在平面體系幾何組成分析思路中，找到X接三角 形后，根據(jù)X接三角形數(shù)量的不同將平面幾何體系分 為體系中有不少于3個X接

3、三角形、2個X接三角形、 l個X接三角形和無X接三角形四種類），現(xiàn)對這四 種類型的解題思路做詳細闡述。（1）不少于3個較接三角形當體系中有不少于3個X接三角形時，可以采用 二元體規(guī)則，通過在先選出的X接三角形的基礎上增 加二元體的方式合并三角形，使得最終體系中剛片數(shù) 目不超過3,然后按相應三剛片規(guī)則或兩剛片規(guī)則對 體系進行幾何組成分析（2）2個較接三角形先將兩個餃接三角形分別作為兩剛片，按三剛片 規(guī)則或兩剛片規(guī)則進行分析$如果無法順利進行分 析，則只將兩個X接三角形中的一個X接三角形作為 剛片,另一個X接三角形不是整體作為剛片，而是將 構(gòu)成其的桿件作為連接剛片的鏈桿來使用。兩個XL 三角形應選

4、擇與基礎只有一根鏈桿相連的X接三角 形作為剛片，這是該步驟的關鍵點。（3）1個較接三角形一般來說，在這種情況下X接三角形必為一個剛 片，再選擇與X接三角連接少的桿件作為其他剛片， 然后按相應三剛片規(guī)則或兩剛片規(guī)則進行分析$（4）無較接三角形當體系中無X接三角形時，可先選擇某根桿件 （盡量不選與基礎有兩根鏈桿相連的桿件）作為剛片， 再選擇與剛片連接少的桿件作為第二、三個剛片，然 后按相應的二剛片規(guī)則或三剛片規(guī)則進行分析$ 1.2復雜體系對于復雜體系，往往其幾何組成無法用基本規(guī)則 （兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則）分析得出結(jié)論，需要采用 特殊技巧進行分析$復雜題）可以先從體系的計算自由度數(shù)！入 手,計算自

5、由度數(shù)!的計算結(jié)果可以分為！0、！=0 和！0三類$當！0時，體系為幾何可變；當W=0和 !0時，需要對體系進一步判別。復雜體系的類型繁多，針對計算自由度數(shù)W=0 且體系外部多余的約束數(shù)與體系內(nèi)部缺少的必要約 束數(shù)相等的題）的解題思路進行闡述$對于這類體 系，首先考慮用零載法進行分析，若計算過程繁瑣復 雜，計算量大，不好分析，則可以對該類型復雜體系以 零載法的思路為基礎（即在零荷載的情況下，若體系 的所有反力和內(nèi)力都等于零，那么體系幾何不變且無 多余約束）按下述思路進行分析$如圖2所示體系外 部有一個多余的約束 ，且體系 內(nèi)部缺少一個必要的約 束$將外部多余約束去掉并代以相應的多余未知力 X,

6、同時在體系內(nèi)增加必要的桿件AC,形成的新體系 為幾何不變且無多余約束的體系（即靜定結(jié)構(gòu)），如圖 3所示。比較圖2和圖3的受力狀態(tài)，消除兩者受力狀 態(tài)的差別，即新體系中桿件AC的內(nèi)力應為零，這樣就 將求解原體系在零荷載狀態(tài)下的約束力和桿件內(nèi)力 轉(zhuǎn)換為求解新體系在外荷載為X作用下的約束力和 桿件內(nèi)力$桿件AC的內(nèi)力是包含未知力X的表達 式，因此要求桿件AC的內(nèi)力應先計算未知力X$不論 未知力X是否為零，原體系都處于零荷載狀態(tài)$若未 知力X為零，則新體系（即靜定結(jié)構(gòu)）在零荷載狀態(tài) 下，那么所有反力和桿件的內(nèi)力都為零，故原體系幾 何不變且無多余約束；若未知力X不為零，則新體系 （即靜定結(jié)構(gòu)）在非零荷載

7、狀態(tài)下，那么支座反力和桿 件內(nèi)力不一定為零，故原體系幾何可變$圖2原體系Fig.2 Original system圖3圖2原體系Fig.2 Original system圖3新體系*+,.3 New system（1）在體系內(nèi)部增加必要的桿件，同時將體系外 部多余的約束去掉并代以相應的未知力（X1，*，X#）， 使體系成為幾何不變且無多余約束的新體系（即靜定 結(jié)構(gòu)）$（2）消除新體系受力狀態(tài)與原體系受力狀態(tài)的差 別，列出相應的方程：$1 =C11 X1 +%12 X2%1#X# =0$2=%21 X1 +%22 X2%2#X# =0$ =% . X, +% , X, +% X =0$#11#2

8、2#將方程用矩陣的形式表示為:%#1%#1%22%#2%1#%2#%#式中：當X%1#%2#%#式中：當X=1時關桿件的內(nèi)力。（4）方程為線（齊次方程，故有以下結(jié)論：若方程的系數(shù)行列式為零，則未知量（X1，X2,X#）有非零解，即原體系幾何可變；若方程的系數(shù)行列式不為零，則未知量(Xi,X, ,X)只有零解，即原體系幾何不變，且無多余約束。2例題分析例1分析圖4中體系的幾何組成。平面幾何體系由17根桿件構(gòu)成,共有ABH、 AGH、EJF、JGF和ACID5個X接三角形選出X 接三角形ABH,然后在ABH上加上二元體AGH, 根據(jù)二元體規(guī)則，兩個X接三角形ABH和AGH 就形成大剛片I ABHG

9、。選出X接三角形EJF,在 AEJF上加上二元體JGF,兩個X接三角形EJF和 JGF形成大剛片 GJEF% X接三角形CID為剛片 a,如圖5所示。i、兩剛片由xg連接；i、a兩剛 片分別由鏈桿BC和鏈桿hi相連,交于無窮遠；、a 兩剛片分別由鏈桿DE和鏈桿IJ相連,交于無窮遠；因 為鏈桿BC、鏈桿HI、鏈桿DE、鏈桿IJ不都相互平行口, 符合三剛片規(guī)則，體系為幾何不變且無多余約束。圖4例1示例圖圖4例1示例Fig.4 The system of example 1 Fig.5 Selection method of rigid plate in example 1例2分析圖6中體系的幾何組

10、成。該體系基礎可以拆去，無二元體，有BCE和 AFG兩個X接三角形選擇X接三角形BCE作為 剛片I、X接三角形AFG作為剛片 ,再選擇與剛 片I和剛片均不相連的桿件HD作為剛片a,如圖 7所示剛片I和剛片由鏈桿AB和鏈桿FE相連， 交于X A；剛片I和剛片皿由鏈桿EH和鏈桿CD相 連，交于無窮遠；剛片和剛片a由鏈桿FD和鏈桿 GH相連，交于X D。鏈桿EH和鏈桿CD不與X A和 X D的連線平行071,滿足三剛片規(guī)則，則體系幾何不變 且無多余約束圖6例2示例Fig.6 The system of example 2 Fig.7 Selection method of rigidplate in

11、 example 2例題3分析圖8中體系的幾何組成該體系基礎不能拆去，無二元體，有BDE和 CDF兩個X接三角形。解法一：選則X接三角形BDE作為剛片I、X 接三角形CDF作為剛片、基礎作為剛片a,如圖9 所示,則剛片I和剛片交于x d,剛片I和剛片a 交于X E,剛片和剛片a只有一根鏈桿FG相連，但 是體系中鏈桿AB、鏈桿AC和鏈桿AH都沒有用到, 因此將兩個X接三角形BDE和CDF都作為剛片 無法順利進行分析。解法?：選則兩個X接三角形中的一個作為剛 片，選擇與基礎只有一根鏈桿相連的CDF作為I剛 片,基礎作為剛片,選擇與剛片I和剛片均不相 連的桿件AB為a剛片，如圖10所示 I剛片和剛

12、片由鏈桿FG和DE相連，交于虛X J； 剛片和a剛 片由鏈桿AH和BE相連,交于虛X K； I剛片和a剛 片由鏈桿AC和BD相連,交于X C；虛X J、虛X K、 X C不在同一直線上,滿足三剛片規(guī)則，體系幾何不 變且無多余約束。Fig.8 The system of example 3圖9例3解法一剛片選取方法Fig.9 Selection method of rigid plate in the first solution of example 3圖10例3解法二剛片選取方法Fig.10 Selection method of rigid plate in the second solu

13、tion of example 3 例題4分析圖11中體系的幾何組成。平面幾何體系中有一個X接三角形！EFG?；A 不能拆去，基礎與桿件CD由X C和鏈桿DH連接，滿 足兩剛片規(guī)則，桿件CD和基礎看成一個剛片；桿件 CD和基礎形成的剛片與桿件AC由X C和鏈桿AJ 連接，滿足兩剛片規(guī)則，桿件AC、桿件CD和基礎看成 一個剛片；在桿件AC、桿件CD和基礎形成的這個剛 片上加上二元體ABD，則基礎與桿件AB、桿件BD、桿 件CD、桿件CA形成一個大剛片#因此，桿件AB、桿 件BD、桿件CD、桿件CA和基礎構(gòu)成了 I剛片,X接 AEFG作為剛片，如圖12所示。兩剛片由鏈桿CF、 EB、GD相連，三鏈

14、桿交于點M,所以體系為幾何可變 體系)2=*21 (1 +*22 )2=*21 (1 +*22 (2二。圖11例4示例Fig.11 The system of example 4圖12例4剛片選取方法 Fig.12 Selection method of rigid plate in example 4平面幾何體系中沒有二元體，沒有X接三角形, 選擇桿件AD作為I剛片，選擇與桿件AD不相連的 桿件BE作為剛片,再選擇與桿件AD、桿件BE都 不相連的桿件CF作為皿剛片，如圖14所示# I剛片 和剛片由鏈桿AB和鏈桿DE相連，交于無窮遠； 剛片和a剛片由鏈桿BC和鏈桿EF相連，交于無窮 遠；I剛片

15、和a剛片由鏈桿AF和鏈桿CD相連，交于 G#因為鏈桿AB、鏈桿DE、鏈桿BC、鏈桿EF平行，但圖14例5剛片選取方法長度不都相等吐所以體系幾何瞬變#圖13圖14例5剛片選取方法長度不都相等吐所以體系幾何瞬變#Fig.13 The system of example 5 Fig.14 Selection method of rigid plate in example 5例6分析圖15中體系的幾何組成，除斜桿外其 他桿件等長#本題中平面幾何體系是一個復雜的幾何體系，運 用幾何組成分析基本規(guī)則(兩剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則) 無法分析幾何組成#因此，先求解其計算自由度數(shù)!=2-($+&)=2xl4-(2

16、3+5)=0(1)法一：因為!=0,所以考慮用零載法進行分析，在 零荷載的情況下，計算體系的支座反力與內(nèi)力，通過 體系中的零桿，容易分析出體系中的所有反力和內(nèi)力 都為零。故該體系幾何不變且無多余約束。法二:將原體系外部多余約束去掉并代以相應的 未知力X1、(2,在原體系內(nèi)部增加必要的桿件1和桿 件2,形成的新體系如圖16所示#列方程：)1 =*11 (1+*12 (2=042*11 *12 _55*21 *222642*11 *12 _55*21 *222655=上。22=5 則Fig. 15 The system of example 6 Fig. 16 New system of exam

17、ple 6 例7分析圖17中體系的幾何組成# 該體系運用幾何組成分析基本規(guī)則(兩剛片規(guī) 則、三剛片規(guī)則)無法分析幾何組成。其計算自由度數(shù)!=2#-(%+)=2xll_(18(4)=0,運用零載法進行分析時 計算繁瑣且計算量大$觀察發(fā)現(xiàn)體系外部有一個多余約束，體系內(nèi)部缺 少一根必要桿件，故將外部多余約束去掉代以未知力 Xi,在體系內(nèi)部增加一根必要桿件桿1,得到新體系如 圖18所示。消除原體系與新體系受力狀態(tài)的差別，有 方程：)i=CiiXi=0$ *ii為新體系中當Xi= 1時桿件1的 內(nèi)力，先對M結(jié)點運用結(jié)點法求出桿件HM的內(nèi)力， 再將桿件AB、桿件BJ、桿件1、桿件HM截開，運用截 面法求出桿1的內(nèi)力*11=0$因為*11=0!0,所以方 程成立的條件只能為(1=0,故原體系幾何不變且無多 余約束$的難點和意見，對平面體系幾何組成分析思路進行總 結(jié)和歸納，將體系分成常