涂黃油吐司面包落地問(wèn)題的力學(xué)分析

1、涂黃油吐司面包落地問(wèn)題的力學(xué)分析摘要：對(duì)一個(gè)有趣的墨菲定律經(jīng)典現(xiàn)象進(jìn)行了分析，為什么人們常說(shuō)涂有黃油的吐司面包落地時(shí)總是有黃 油的一面著地？涂黃油的吐司面包從桌面上沿一定角度自由掉落是典型的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題.以生活中最常見(jiàn)的切片長(zhǎng)方 體吐司面包為例，從剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角度建立物理模型，分析了它何時(shí)會(huì)從桌面上掉落，以及掉落至地面過(guò)程中的運(yùn)動(dòng) 情況，得到了涂黃油吐司面包落地時(shí)的翻轉(zhuǎn)角公式.推出吐司面包落地時(shí)黃油面著地與否，與面包的長(zhǎng)度、面包與桌面的初始傾角、下落高度等有關(guān).關(guān)鍵詞：墨菲定律 轉(zhuǎn)動(dòng) 吐司面包著名的墨菲定律指出：如果有兩種或兩種以 上的選擇，而其中一種將導(dǎo)致災(zāi)難，則必定有人會(huì)作 出這種選擇.（If

2、there are two or more ways to do something，and one of those ways can result in a catastrophe，then someone will do it.）在生活中常常能看到這種觀點(diǎn)：如果一片涂黃 油的吐司面包從桌上掉落，一定是涂黃油面著地 因?yàn)檫@是最壞的結(jié)果.那么這個(gè)十分契合墨菲 定律的現(xiàn)象為何會(huì)時(shí)常發(fā)生呢？這到底是偶然概率 問(wèn)題，還是必然的物理現(xiàn)象呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，前人已經(jīng)有過(guò)一些研究，例如文 獻(xiàn)用牛頓方程法和拉格朗日方程法對(duì)涂黃油吐 司面包落地的過(guò)程建立了物理模型，并對(duì)涂黃油面 包翻轉(zhuǎn)角在不同條件下的角度做出

3、了討論，文獻(xiàn)2 則是從力學(xué)原理的角度，運(yùn)用“降落傘效應(yīng)*對(duì)此問(wèn) 題做出了定性分析!.現(xiàn)從一全新視角，將形狀和大小相對(duì)穩(wěn)定的吐 司面包看作剛體，并運(yùn)用動(dòng)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)對(duì)此進(jìn) 行分析.1 涂黃油吐司面包落地前的情景模擬如圖1所示，給出涂黃油吐司面包從桌邊滑落 前的示意圖，涂黃油的一面在上.為簡(jiǎn)化分析，假設(shè) 黃油在吐司面包上涂抹均勻.涂抹上的薄層黃油的 質(zhì)量（約3 g）遠(yuǎn)小于吐司面包片的質(zhì)量（約35 g），它 對(duì)黃油吐司面包片整體的質(zhì)心位置、慣性大小及其 后的轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程影響可以忽略:.圖1 涂黃油吐司面包從桌邊滑落示意圖假設(shè)吐司面包與黃油涂層的總質(zhì)量為況，長(zhǎng)度 為L(zhǎng)，面包與桌面的夾角為們面包的質(zhì)心離開(kāi)

4、桌邊 的一小段距離為廣，面包的質(zhì)心速度v可分解為平行 于面包平面的速度v（以速率標(biāo)示）與垂直于面包 平面的速度Vn（以速率標(biāo)示），面包繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為3,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為le.下面分析涂黃油吐司面 包片從桌面掉落的條件.分析面包掉落前的受力，繞面包與桌面接觸點(diǎn) 轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩來(lái)自于重力g,摩擦力f和支持力Fn 對(duì)繞過(guò)接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)貢獻(xiàn)，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得/ 2 , L2dM r 0 = gr eos (12/4L .12 I 1 了 2g ysm ( = 2( + 寸 e3(%)其中，涂黃油吐司面包繞其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為L(zhǎng)22，速度(=(+(n，同時(shí)脫離桌面處的垂直于(1)面包平面的速度與角速度間有L

5、(n =53對(duì)于式(1)進(jìn)行計(jì)算，乘以23并代入初始條件 3 =0,( =0,有3 / L2、# (r2 + #2 ) 23)3 = J 2greos從而得到gLsin ( = 3洸 + v#(9)得到6grsin (# arctan2#+9 L)(7)離開(kāi)桌面前，根據(jù)平行軸定理，面包繞接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為涂黃油吐司面包離開(kāi)桌面時(shí)的夾角與面包和桌 面間的摩擦系數(shù)有關(guān)$97%,與面包長(zhǎng)度L和面包質(zhì) 心距離桌邊距離廣有關(guān).2 涂黃油吐司面包翻轉(zhuǎn)過(guò)程分析若取極限情況，不考慮面包從桌面滑落時(shí)摩擦 力所做的功則在脫離桌面時(shí)，其勢(shì)能之差將完全轉(zhuǎn) 變成質(zhì)心的動(dòng)能和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能12 5 = 5e + (2

6、) = 3L2此刻的角動(dòng)量為T 1 r 2 1 r 2 2vn 2L53 一 7L 3 一 37L l = 3 V n 比較式(12)和式(13)可得1vn = Veot (將式(14)代入式(9)得到13)14)(15)2gL sin (n=6 3cot2(在脫離桌面后的自由下落過(guò)程中，面包的角動(dòng) 量守恒，其繞質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)的角速度不變,恰為#時(shí) 刻脫離桌面時(shí)的角速度假設(shè)桌面高h(yuǎn),下落時(shí)間在 不考慮空氣阻力時(shí)為,2 (hL-#可近似取下落時(shí)間當(dāng)人處于一個(gè)舒適的用餐姿勢(shì)時(shí)$一即人體 直立、兩手掌平放在桌面上不必彎或屈肘關(guān)節(jié)時(shí),餐 桌具有的高度約為h; = 780 mm3 ,8.常見(jiàn)吐司面包 片的規(guī)

7、格為 100 mm A 95 mm A 13 mm,即 L = 100 mm.涂黃油吐司面包離開(kāi)桌面時(shí),夾角(的初 始值由式(7)給出，為簡(jiǎn)化處理，取其區(qū)間為($ ,蕓),h的取值范圍選取最適高度h; = 780 mm的 50% 150%即0.39 m ,1.17 m.運(yùn)用 Matlab 軟件可畫出總翻轉(zhuǎn)角度,隨h和(的三維變化圖.2h則面包落到地面時(shí)的空中翻轉(zhuǎn)角為!h總翻轉(zhuǎn)角度，為8hsin (+工)3 +cot2()L由式(16)可以看出，涂黃油吐司面包從桌面掉 落至地上過(guò)程中，總翻轉(zhuǎn)角度與桌高h(yuǎn),面包片長(zhǎng)度 L和涂黃油吐司面包與桌面的夾角(有關(guān).而在其翻 轉(zhuǎn)時(shí),顯然涂黃油面著地的條件是總翻轉(zhuǎn)角度，處(16)于區(qū)間! ,7).2 2廠圖2 總翻轉(zhuǎn)角度,三維變化圖從圖中可知，翻轉(zhuǎn)角，取值區(qū)間對(duì)應(yīng)為(7)和(9 :) (2 2 )和(2 2 3公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用將 L =100 mm 和 h =780 mm 代入式(16),可 得到不同初始下滑角(對(duì)應(yīng)的總翻轉(zhuǎn)角度，.表1 總翻轉(zhuǎn)角度，(/ rad0.1750.3490.5240.6980.8731.0471. 2211.396rad2.6192.8352.6872.4822.2822.0941. 9151.741使用的特定的餐桌規(guī)格及吐司面包片規(guī)格有關(guān)