向量在幾何中的應(yīng)用

1、向量在幾何中的應(yīng)用向量是數(shù)學(xué)研究的一種重要工具，向量的方法是使用向量的代數(shù)方法去解決立體幾何問(wèn)題的一種便捷的方法，立體幾何中的證明問(wèn)題，空間距離問(wèn)題、空間角問(wèn)題，常遇到添輔助線困難， 計(jì)算量大的問(wèn)題， 若能合理靈活應(yīng)用向量法，則在很大程度上避免高強(qiáng)度的思維、高難度的推理，使立體幾何問(wèn)題變得思路順暢，問(wèn)題迎刃而解。下面我們來(lái)看向量在幾何中的應(yīng)用。一、證明平行、垂直問(wèn)題平面的法向量，若，則平面以此作為理論依據(jù)，來(lái)證明平行、垂直問(wèn)題。例：在單位立方體 ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn) E 是 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 A1B1 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 是 CD 上的動(dòng)點(diǎn)。求證： D1EC1F。試確定點(diǎn)G 的位

2、置，使得D1E平面 AB1G。試確定點(diǎn)G 的位置，使得C1F/平面 AB1G。解：以 D 為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立如圖1 所示的坐標(biāo)系。設(shè) DG=y則： A（ 1，0，0） B1（ 1， 1， 1）C1=（ 0， 1， 1）E（， 1，0） F（1，1） D1（ 0，0，1） G（ 0，y，0）由（也可選擇基向量來(lái)證明）由 D1EAB1要使 D1E平面 AB1G,只須 D1E AG，由故，當(dāng) G 為 CD 的中點(diǎn)時(shí)， D1E平面 AB1G。由、可知，D1EC1F， D1E平面 AB1G,且 C1F平面 AB1G， C1F/面 AB1G故： G 為 CD的中點(diǎn)， C1F/平面 AB1G。二、求空間角

3、的問(wèn)題異面直線所成的角：異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的向量所成角問(wèn)題，但要注意角的范圍，異面直線所成的角的范圍： O，而向量的夾角的范圍： O由，求異面直線所成的角。直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角 圖 2（或夾角的補(bǔ)角的余角圖 3）。二面角： 轉(zhuǎn)化兩平面的法向量的夾角圖 4 或夾角的補(bǔ)角圖 5注：有時(shí)可判斷是銳二面角還是鈍二面角。例：如圖 ABCD是直角梯形， ABC=90，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1， AD=。求異面直線SB與 CD 所成的角。求 SC與平面 SAB所成的角。求面 SCD與面 SAB所成的二面角。解：以 A 為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系

4、，如圖6 所示則： A（ O， O， O） B（1， 0， 0）C（1， 1， 0）D（ 0， 0） S（ 0， 0，1）則：是平面SAB的法向量 面SAB設(shè)面 SCD的法向量則：取 則 x0=-1量是三、求空間距離問(wèn)題1、異面直線的距離：如圖7，設(shè) a、 b 是異面直線，向a、 b 的公垂線的方向向量，點(diǎn)A、 B 分別是直線a、 b上任一點(diǎn)，則異面直線a、 b 的距離d=|AB|?cos|=2、點(diǎn)到平面的距離： 如圖 8，設(shè)點(diǎn) P 是平面外任意一點(diǎn)，是平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)P 到平面的距離例：如圖，ABCD是直角梯形， ABC=90，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1， AD=。求異面直線SD與 AC 的距離。求 A 到平面 SCD的距離。解：以 A 為坐標(biāo)系原點(diǎn)，如圖9 所示，建立坐標(biāo)系則 A（ 0，0， 0） B（ 1， 0，0）C（1， 1， 0）D（ 0， 0） S（ 0， 0，1）令： =（ x0 y0 z0）由由取 z0=1 則 x0=-2 y0=2異面直線SD與 AC 的距離令由取 z0=1,則 x0=-1 y0=2是平面SCD的法向量A 到平面 SCD的距離向量在立體幾何中的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了解決問(wèn)題的能力，貫徹了新課程標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)踐了新