新高考版數(shù)學(xué)高中總復(fù)習(xí)專題8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)(講解練)教學(xué)講練

1、8.4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面垂直,記作l.(2)直線與平面垂直的判定和性質(zhì)考點(diǎn)清單類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直(即線線垂直線面垂直)l如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面 b性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,則這條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線(即線面垂直線線垂直)ab垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行ab2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和

2、它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0的角.(2)線面角的取值范圍:090.常用結(jié)論(1)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.直線l和平面的位置關(guān)系l或lll和斜交(直線l與平面所成的角)的取值范圍=0=90090考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.如果記棱為l,那么兩個(gè)面分別為、的二面角記作-l-.在二面角的棱上任

3、取一點(diǎn),以該點(diǎn)為垂足,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,則兩射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直AOB是二面角-l-的平面角,且AOB=90,則如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直(即線面垂直面面垂直)2.面面垂直的判定和性質(zhì)性質(zhì)如果兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面l如果兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面l知識(shí)拓展垂直問題的轉(zhuǎn)化方向圖在垂直關(guān)系中,線面垂直是核心,已知線面垂直,既可為證明線線垂直提供依據(jù),又可為利用判定定

4、理證明面面垂直做好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),一般需作輔助線,基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線,從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.考法一證明直線與平面垂直的方法知能拓展例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).求證:(1)CDAE;(2)PD平面ABE. 解題導(dǎo)引(1)結(jié)合已知條件分析可知,欲證CDAE,只需證CD平面PAC.(2)欲證PD平面ABE,只需證PD垂直于平面ABE內(nèi)的兩條交線即可,結(jié)合條件分別證明PDAE,PDAB.證明(1)因?yàn)镻A平面ABCD,CD平面AB

5、CD,所以PACD.因?yàn)锳CCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由AB=BC,ABC=60,可得ABC是等邊三角形,所以AB=AC,所以AC=PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AEPC.由(1)知,AECD,又PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因?yàn)镻A平面ABCD,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又AEAB=A,所以PD平面ABE.方法總結(jié)證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的傳遞性(ab,ab);面

6、面平行的性質(zhì)(a,a);面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線線垂直需借助線面垂直的性質(zhì).因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.考法二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)問題例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,O為AB的中點(diǎn),平面POC平面ABCD,ADBC,ABBC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求證:平面PAB平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值. 解題導(dǎo)引(1)要證平面PAB平面ABCD,需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線,證其與另一個(gè)平面垂直,結(jié)合已知,考慮證PO平面ABCD(PO平面PAB),而POAB易證,關(guān)鍵證POCD;再由已

7、知平面POC平面ABCD,考慮兩平面垂直的性質(zhì).若用性質(zhì),需找出其交線OC,再找出與OC垂直的直線CD,此時(shí)CD平面POC,證得CDOP,OP平面ABCD即證.(2)尋找特殊點(diǎn)作出二面角O-PD-C的平面角,作出與PD垂直的平面是關(guān)鍵,取OD的中點(diǎn)F,過F作FGPD于G,連接CG,CF,易證PD平面CFG,則CGF即為二面角O-PD-C的平面角,求解直角三角形即得余弦值;當(dāng)然本問也可用向量法求解.解析(1)證明:PA=PB,O為AB的中點(diǎn),AB=2,POAB,AO=BO=1.過點(diǎn)C作CEAB交AD于E,ADBC,ABBC,四邊形ABCE是矩形,AE=BC=2,CE=AB=2,又AD=3,DE=

8、1,CD=,ADBC,ABBC,ADAB,在RtBOC中,由勾股定理得OC=.在RtAOD中,由勾股定理得OD=,顯然OD2=OC2+CD2=10,CDOC,平面POC平面ABCD,平面POC平面ABCD=OC,CD平面POC,又PO平面POC,CDPO,易知AB與CD相交,PO平面ABCD,PO平面PAB,平面PAB平面ABCD.(2)解法一:取OD的中點(diǎn)F,過F作FGPD于G,連接CG,CF.OC=CD=,CFOD.PO平面ABCD,CFPO,又ODPO=O,CF平面POD,CFPD,又FGPD,CFFG=F,PD平面CFG,PDCG,CGF為二面角O-PD-C的平面角.OP=,OD=,POD=90,PD=,又DF=OD=,FG=DFsinPDO=,又CF=,CG=,cosCGF=.故二面角O-PD-C的余弦值為.解法二:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,),D(-1,3,0),C(1,2,0),=(0,0,),=(-1,3,0),=(-1,-2,),=(-2,1,0).設(shè)平面OPD的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量為n2=(x2,y2,z2).由可得取y1=1,得x1=3,即n1=(3,1,0).由可得取x2=,得y2=2,z2=5,即n2=(,2,5),cos=,故二面角O-PD-C的余弦值為.方法