二次函數(shù)的知識梳理

1、關于二次函數(shù)知識梳理第1頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四1.定義：一般地，如果 （ 、 、 是常數(shù)， ），那么 叫做 的二次函數(shù).2.二次函數(shù) 用配方法可化成： 的形式.其中:第2頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四3.拋物線的三要素： 開口方向、對稱軸、頂點. 的符號決定拋物線的開口方向：當 時，開口向上；當 時，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于 軸（或重合）的直線記作 特別地， 軸記作直線 .第3頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線

2、的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.第4頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法： 頂點是:對稱軸是直線:第5頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點為 ，對稱軸是直線 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.第6頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四6.拋物

3、線 中， 、 、 的作用（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣. 開口向上開口向下越大開口越小，反之越大第7頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 （2） 的符號： 和 共同決定拋物線對稱軸的位置 由于拋物線 的對稱軸是直線 故： 時，對稱軸為 軸 （即 、 同號）時，對稱軸在 軸左側(cè)； （即 、 異號）時，對稱軸在 軸右側(cè). （左同右異）第8頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四（3） 的符號：由拋物線與 軸的交點位置確定:當 時， ，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： 經(jīng)過坐標原點 與 軸交于正半軸與 軸交于負半軸 第9頁，共19頁，20

4、22年，5月20日，18點1分，星期四7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：（1）一般式： .已知圖象上三點或三對 、 的值，通常選擇一般式.（2）頂點式： .已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式（3）交點式: 已知圖象與 軸的交點坐標 、 ，通常選用交點式：第10頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四8.直線與拋物線的交點（1） 軸與拋物線 的交點為（2）與 軸平行的直線 與拋物線 有且只有一個交點（3）拋物線 與 軸的兩個交點的橫坐標 、 ，是對應一元二次方程 的兩個實數(shù)根.拋物線與 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點 0 拋物線與 軸相交

5、； 有一個交點（頂點在軸上） 0 拋物線與 軸相切； 沒有交點 0 拋物線與 軸相離.第11頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四（4）平行于 軸的直線 與拋物線的交點同上面（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，縱坐標為 ，則橫坐標是 的兩個實數(shù)根（5）一次函數(shù) 的圖象 與二次函數(shù) 的圖象 的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時 與 有兩個交點; 方程組只有一組解時 與 只有一個交點；方程組無解時 與 沒有交點.第12頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四（6）拋物線與 軸兩交點之間的距離：若拋物

6、線 與 軸兩交點為 、 由于 、 是方程 的兩個根，故 ，第13頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 ，向上平移 個單位向左（右）平移 個單位拋物線 與 , 的形狀和大小都相同，變動的只是位置。（以 為基準說明） ，向下平移 個單位 ，向右平移 個單位 ，向左平移 個單位向上（下）平移 個單位第14頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四拋物線的平移、翻折與旋轉(zhuǎn)的變換拋物線在變換中，開口大小未變，只是位置或開口方向發(fā)生改變確定變換前后頂點坐標及開口方向關 鍵關于 軸對稱關于 軸對稱第15頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四如圖，將拋物線 沿 軸翻轉(zhuǎn)到虛線的位置，那么所得到的拋物線的解析式為第16頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四在平面直角坐標系中，先將拋物線 關于 軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關于 軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（ ）A BC D2009年天津中考試題第10題第17頁，共19頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四圖 像二次函數(shù)性 質(zhì)應 用000=000=00開口方向頂點坐標對稱軸增減性