2021課標版理數(shù)高考總復習專題8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（講解練）理科數(shù)學教學講練

1、8.4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)高考理數(shù)考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點清單考向基礎(chǔ)1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面垂直,記作l.類別文字語言圖形語言符號語言判定如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直(即線線垂直線面垂直)l如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面b(2)直線與平面垂直的判定和性質(zhì)性質(zhì)如果一條直線和一個平面垂直,則這條直線垂直于平面內(nèi)任意一條直線(即線面垂直線線垂直)ab垂直于同一個平面的兩條直線平行ab2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜

2、線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0的角.(2)最小角定理:平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成角中最小的角.(3)線面角的取值范圍:090.常用結(jié)論(1)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.考向突破考向一證明空間直線與平面垂直例1在如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=1,BC=,AB=,側(cè)棱AA1=1,點D,M分別為A1B,B1C1的中點.(1)求證:CD平面A1BM;(2)

3、求三棱錐M-A1BC的體積. 解析(1)證明:AC=1,BC=,AB=,滿足AC2+BC2=AB2,ACBC.三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,CC1BC,又ACCC1=C,BC平面ACC1A1.A1C平面ACC1A1,BCA1C.三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,AA1AC,A1C=,又BC=,D為A1B的中點,CDA1B,且CD=1.連接MD,如圖.易求A1M=BM=CM=,又點D為A1B的中點,MDA1B,且MD=.又CM=,CM2=CD2+MD2,CDMD.又A1B平面A1BM,MD平面A1BM,A1BMD=D,CD平面A1BM.(2)由(1)知CD平面A1BM,A1B=2,M

4、D=,A1BMD,=CD=1=.考向二證明空間兩直線垂直例2(2019河南安陽3月檢測,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)CDAE;(2)PD平面ABE. 證明(1)因為PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因為ACCD,PAAC=A,所以CD平面PAC.又AE平面PAC,所以CDAE.(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=PA.因為E是PC的中點,所以AEPC.由(1)知,AECD,且PCCD=C,所以AE平面PCD.又PD平面PCD,所以AEPD.因為PA平面ABCD

5、,AB平面ABCD,所以PAAB.又ABAD,PAAD=A,所以AB平面PAD,又PD平面PAD,所以ABPD.又AEAB=A,所以PD平面ABE.考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考向基礎(chǔ)1.二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.如果記棱為l,那么兩個面分別為、的二面角記作-l-.在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,則兩射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.類別文字語言圖形語言符號語言判定兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直AOB是二面角-l-的平面角

6、,且AOB=90,則如果一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面互相垂直(即線面垂直面面垂直)2.面面垂直的判定和性質(zhì)性質(zhì)如果兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面l如果兩個相交平面同時垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面l【知識拓展】垂直問題的轉(zhuǎn)化方向圖在垂直關(guān)系中,線面垂直是核心,已知線面垂直,既可為證明線線垂直提供依據(jù),又可為利用判定定理證明面面垂直做好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.考向突破考向一證明平面與平面垂直例1(2018

7、安徽淮北一中模擬,18)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA平面ABCD,E,F分別是AB,PD的中點,且PA=AD.(1)求證:AF平面PEC;(2)求證:平面PEC平面PCD.證明(1)取PC的中點G,連接FG、EG,F為PD的中點,G為PC的中點,FG為CDP的中位線,FGCD,FG=CD.四邊形ABCD為矩形,E為AB的中點,AECD,AE=CD.FG=AE,FGAE,四邊形AEGF是平行四邊形,AFEG,又EG平面PEC,AF平面PEC,AF平面PEC.(2)PA=AD,F為PD的中點,AFPD,PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD,又CDAD,ADPA=A,CD平面P

8、AD,AF平面PAD,CDAF,又PDCD=D,AF平面PCD,由(1)知EGAF,EG平面PCD,又EG平面PEC,平面PEC平面PCD.考向二垂直關(guān)系中的存在性問題例2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是DAB=60且邊長為a的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G為AD的中點.(1)求證:BG平面PAD;(2)求證:ADPB;(3)若E為BC邊的中點,能否在棱PC上找到一點F,使平面DEF平面ABCD?并證明你的結(jié)論.解析(1)證明:在菱形ABCD中,DAB=60,G為AD的中點,所以BGAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所

9、以BG平面PAD.(2)證明:如圖,連接PG,因為PAD為正三角形,G為AD的中點,所以PGAD.由(1)知 BGAD,又PGBG=G,所以AD平面PGB.因為PB平面PGB,所以ADPB.(3)當F為PC的中點時,滿足平面DEF平面ABCD.證明:取PC的中點F,連接DE、EF、DF.在PBC中,FEPB,在菱形ABCD中,GBDE.又FE平面DEF,DE平面DEF,EFDE=E,PB平面PGB,GB平面PGB,PBGB=B,所以平面DEF平面PGB.因為BG平面PAD,PG平面PAD,所以BGPG.又因為PGAD,ADBG=G,所以PG平面ABCD.又PG平面PGB,所以平面PGB平面AB

10、CD,所以平面DEF平面ABCD.方法1證明直線與平面垂直的方法(1)利用線面垂直的判定定理:ab,ac,bc=M,b,ca.(2)利用平行線垂直平面的傳遞性:ab,ab.(3)利用面面垂直的性質(zhì)定理:,=l,al,aa.(4)利用面面平行的性質(zhì):,aa.(5)利用面面垂直的性質(zhì):=l,l.方法技巧例1S是RtABC所在平面外一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD平面SAC.解題導引 證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,在RtABC中,D、E分別為AC、AB的中點,DEBC,DEAB.SA=SB,SAB為等腰三角

11、形,SEAB.又SEDE=E,AB平面SDE.又SD平面SDE,ABSD.在SAC中,SA=SC,D為AC的中點,SDAC.又ACAB=A,SD平面ABC.(2)由于AB=BC,則BDAC,由(1)可知,SD平面ABC,又BD平面ABC,SDBD,又SDAC=D,BD平面SAC.方法2證明平面與平面垂直的方法1.利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,計算平面角為90);2.利用面面垂直的判定定理:a,a.利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法:先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在圖中存在,則可通過線面垂直來證明面面垂直;若這樣的直線在圖中不存在,則可通過作輔助線來

12、解決.作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明,不能隨意添加.證明兩個平面垂直,通常是通過證明線線垂直線面垂直面面垂直來實現(xiàn)的,因此,在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.例2(2018河南洛陽一模,19)如圖,在四棱錐E-ABCD中,EAD為等邊三角形,底面ABCD為等腰梯形,滿足ABCD,AD=DC=AB,且AEBD.(1)證明:平面EBD平面EAD;(2)若EAD的面積為,求點C到平面EBD的距離. 解題導引 解析(1)證明:如圖,取AB的中點M,連接DM,由題意可知四邊形BCDM為平行四邊形,DM=CB=AD=AB,(1分)即點D在以線段AB為直徑的圓上,BDAD,(3分)又AEBD,且AEAD=A,BD平面EAD.(4分)BD平面EBD,平面EBD平面EAD.(6分)(2)BD平面EAD,且BD平面ABCD,平面ABCD平面EAD.(7分)等邊EAD的面積為,AD=AE