控制工程第五章-系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、第五章第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性基本要求 1.2.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)的必要條件和充要條件，學(xué)會(huì)應(yīng)用代數(shù)判3.掌握Nyquist判據(jù)。 4.掌握Bode判據(jù)。5.理解系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性概念，能夠在Nyquist圖和Bode圖上加以應(yīng)用。本章重點(diǎn) 1.代數(shù)判劇、Nyquist判劇和Bode系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性；相位裕度和幅值裕度在Nyquist圖和Bode圖上的表示法。本 章 難 點(diǎn) Nyquist系統(tǒng)穩(wěn)定的定義和條件1.幾個(gè)例子o od o ob db deMa單擺倒立擺小球的穩(wěn)定2.系統(tǒng)穩(wěn)定的定義若系統(tǒng)零輸入響應(yīng)隨時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于零(回到平衡 位置),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，若系統(tǒng)的零輸入響

2、應(yīng)發(fā)散，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.穩(wěn)定性條件對(duì)于線性微分方程(an panpn1 ap )xo(t) xi (t)n閉環(huán)傳遞函數(shù)為:nG (s) G(s)1B1G(s)H(s)1est特征方程為:1 G(s)H (s) 0其自由響應(yīng)，即線性齊次方程的通解為: xon(t) (t) Aeii10穩(wěn)定的條件：lim x (t) 0ot o系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：若系統(tǒng)的全部特征根（傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)） 全部具有負(fù)實(shí)部（位于s左半平面），則系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)胡爾維茨(Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)n1、系統(tǒng)的特征方程:1 G(s)H (s) ansnsn-1 a sa0102、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：1012

3、3(1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正。a n 1an an .0ai 0(i=0,1,2,n) (2)各項(xiàng)系數(shù)組成的胡爾維茨n式中各階子行列式都大于零。nn2an aa0an1n aa0a0aa.0.0.0i 0 (i=0,1,2,n)nn00n 203、特例：0n2:0;a00122 aa012.a 01.a1n3:0,a -a a0;腳腳03212 13 0標(biāo)標(biāo)n4: 0,a 0,a 0,a 0,a a a -a a 2 -a 2a 0;遞遞43213 2 14 130增減勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)11G(s)H(s) asn asn-1 a sa02、勞斯表：snsn-1nanan-2ana

4、nan-2an-4an-6an-1an-3an-5an-7b1b2b3n-1an110sn-2 ac b1an5 an1b32bsn-3cca112b3 1an11c b1an7 an1b43b130sd10ss s n sn -1 sn-sn -3s1s0anaan-2aan-4aan-6an -1n -3n -5n-7b1c1bc2b32de113、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：各項(xiàng)系數(shù)均為正，ai0 (i=0,1,2,n)。4、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件是：特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列第一列元素符號(hào)一致，則系統(tǒng) 穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號(hào)改變次數(shù)就是特征方程中所包含的右根數(shù)目。例設(shè)單位反饋控

5、制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的范圍。G(s) Ks(s 1)(s 2)解：其單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Xo (s) G(s)K特征方程式為: 勞斯陣列為:s3 3s2s31s232s 2KXi (s)1 G(s)s3 3s2 2s Ks16 K3s0KK 0由勞斯穩(wěn)定條件得6 K 00 K 63穩(wěn)定性的幾何判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1.特征方程與開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)GK (s) G(s)H(s) G(s)( ( s)Xo ( s)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB (s) 1 G(s)H (s)+B(s)-H (s)G (s)特征方程為F(s)1+B(s)-H (s)G

6、(s)特征函數(shù)的極點(diǎn)開環(huán)的極點(diǎn)特征函數(shù)的零點(diǎn)閉環(huán)的極點(diǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：GB (s)全部極點(diǎn)均須具有負(fù)實(shí)部，等價(jià)于F(s) 函數(shù)的全部零點(diǎn)均須具有負(fù)實(shí)部。2.幅角原理Im( F (s10Re當(dāng)從變化時(shí)，特征函數(shù)F(j)的軌跡將繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)N=P-Z圈。因Im( F (s10Re(1)P:開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。(2)Z:閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。(3)N0:逆時(shí)針包圍。N0:逆時(shí)針包圍；N0dB的范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性相對(duì)180o線。 0Re(正穿越次數(shù)-負(fù)穿越次數(shù))=時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。p2L( )線，圖中b點(diǎn)(相角增加)。線，圖中a點(diǎn)(相角減少)。向上。向下。0dBcbdBcba0-900-1800

7、-2700GH正半次穿越負(fù)半次穿越系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性1Im g1Im gKg0Rec)c1.相位裕量幅值交界頻率c：開環(huán)頻率特性的幅值cc等于1Gj)Hjcc。也稱為幅值穿越頻率、開環(huán)剪切頻率。相位裕量 ：c處，使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附BBKg(dB)0cc0d )(180 ) )180cc0d-180幅值裕量Kg率相位交界頻率og：開環(huán)頻率特性的相位等于-180 時(shí)的頻率，即G(j)H(j)=-180o ,也稱為相位穿越頻率。幅值裕量Kg：在相位交界頻率g處開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)。G( jg G( jg )H( jg )1或k(dB) 20lg11ImK1ImKgg0Rec)cKg(dB)G( j )H ( j G( j )H ( j )ggj )H (j gg-1800gg相位裕量和幅值裕量在奈氏圖、Bode圖中的表示KgKgImg0Rekg0kg0dB-1800Kg(dB)Kg(dB) cKg(dB)gImR0ImR