二次函數(shù)的綜合問題

1、二次函數(shù)的綜合問題例1。如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C（1）點B的坐標為_，點C的坐標為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由圖1例2。2014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)ya(x

2、22mx3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a0，m0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C(0,3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD/AB，聯(lián)結(jié)AD過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由圖1練習(xí)1、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連結(jié)BC，以BC

3、為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為(m, 0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由圖1 練習(xí)2、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C（1）求點A、B的坐標；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于AC

4、B的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E(4, 0)，M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式圖1 練習(xí)3（2015蘇州）如圖，已知二次函數(shù)（其中0m1）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線l設(shè)P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度數(shù)為 ；（2）求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在坐標軸上是否存在點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與PAC相似，且線段PQ的長度最?。咳绻嬖?，求出所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由練習(xí)4（2016蘇州）如

5、圖，直線與軸、軸分別相交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過點B (1)求該地物線的函數(shù)表達式； (2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM設(shè)點M的橫坐標為，ABM的面積為S求S與的函數(shù)表達式，并求出S的最大值； (3)在(2)的條件下，當S取得最大值時，動點M相應(yīng)的位置記為點. 寫出點的坐標； 將直線繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線，當直線與直線重合時停止旋轉(zhuǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與線段交于點C設(shè)點B、到直線的距離分別為、，當最大時，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即BAC的度數(shù)）練習(xí)5（2017蘇州）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于 A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC點D

6、在函數(shù)圖象上，CDx軸，且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點（1）求b、c的值；（2）如圖，連接BE，線段OC上的點F關(guān)于直線l的對稱點F恰好在線段BE上，求點F的坐標；（3）如圖，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N試問：拋物線上是否存在點Q，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長度最?。咳绻嬖?，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由參考答案：例1。思路點撥1第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標軸的距離相等2聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個三角形兩兩

7、相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上滿分解答（1）B的坐標為(b, 0)，點C的坐標為(0, )（2）如圖2，過點P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點P的坐標為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP所以S四邊形PCOBSPCOSPBO2b解得所以點P的坐標為()圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA1如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOA當，即時，BQAQOA所以解得所以符合題意的點Q為()如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點Q，那么OQC90。因此OCQQOA當時，BQAQOA此時OQB9

8、0所以C、Q、B三點共線因此，即解得此時Q(1,4)圖4 圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB4OC矛盾例2。思路點撥1不算不知道，一算真奇妙通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標后，點D的坐標也可以寫出來點E的縱坐標為定值是算出來的2在計算的過程中，第（1）題的結(jié)論及

9、其變形反復(fù)用到3注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G滿分解答（1）將C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(xiàn)(m, 4)，對稱軸為直線xm所以點D的坐標為(2m,3)設(shè)點E的坐標為(x, a(xm)(x3如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1結(jié)合，于是得到x4m當x4m時，ya(xm)(x3m)5am25所以點E的坐

10、標為(所以圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3那么過點F作AD的平行線與x軸的負半軸的交點，就是符合條件的點G證明如下：作FFx軸于F，那么因此所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形此時GF4m所以GO3m，點G的坐標為(考點伸展第（3）題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊此時因此所以此時 練習(xí)1、思路點撥1第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQDC列方程2第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個準確的示意圖，先得到結(jié)論3第（3）題BDQ為直角三角形要

11、分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形滿分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直線DB的解析式為由點P的坐標為(m, 0)，可得，所以MQ當MQDC8時，四邊形CQMD是平行四邊形解方程，得m4，或m0（舍去）此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形圖2 圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(2,0)，(6,4)考點伸展：第（3）題可以這樣解：設(shè)點Q的坐標為如圖3，當DBQ90時， 所以解得x6此時Q(6,4)如圖4，當BDQ90時， 所以解得x2此時

12、Q(2,0)圖3 圖4練習(xí)2、思路點撥1根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個2當直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合AMB90的點M有2個；當直線l與圓相切時，符合AMB90的點M只有1個3靈活應(yīng)用相似比解題比較簡便滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標為A(4, 0)、B(2, 0)對稱軸是直線x1（2）ACD與ACB有公共的底邊AC，當ACD的面積等于ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H由BD/AC，得DBGCAO所

13、以所以，點D的坐標為因為AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐標為圖2 圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了聯(lián)結(jié)GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A所以點M1的坐標為(4, 6)，過M1、E的直線l為根據(jù)對稱性，直線l還可以是考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所

14、以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過點C3解：（1）45 理由如下：令x=0，則y=-m，C點坐標為（0，-m）令y=0，則，解得，0m1，點A在點B的左側(cè)，B點坐標為（m，0）OB=OC=mBOC90，BOC是等腰直角三角形，OBC45（2）解法一：如圖 = 1 * GB3 ，作PDy軸，垂足為D，設(shè)l與x軸交于點E，由題意得，拋物線的對稱軸為 設(shè)點P坐標為（，n）PA= PC， PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2 解得P點的坐標為 解法二：連接PB由題意得，拋物線的對稱軸為 P在對稱軸l上，PA=PBPA=PC，PB=PCBOC是等腰直角三角形，且

15、OB=OC，P在BC的垂直平分線上 P點即為對稱軸與直線的交點P點的坐標為 （3）解法一：存在點Q滿足題意P點的坐標為，PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2=AC2=，PA2+ PC2=AC2APC90 PAC是等腰直角三角形以Q、B、C為頂點的三角形與PAC相似，QBC是等腰直角三角形 由題意知滿足條件的點Q的坐標為（-m，0）或（0，m） = 1 * GB3 如圖 = 1 * GB3 ，當Q點的坐標為（-m，0）時，若PQ與x軸垂直，則，解得，PQ=若PQ與x軸不垂直，則0m1，當時，取得最小值，PQ取得最小值，當，即Q點的坐標為（，0）時， PQ的長度最小 = 2 * G

16、B3 如圖 = 2 * GB3 ，當Q點的坐標為（0，m）時，若PQ與y軸垂直，則，解得，PQ=若PQ與y軸不垂直，則0m1，當時，取得最小值，PQ取得最小值，當，即Q點的坐標為（0，）時， PQ的長度最小 綜上：當Q點坐標為（，0）或（0，）時，PQ的長度最小解法二： 如圖 = 1 * GB3 ，由（2）知P為ABC的外接圓的圓心APC 與ABC對應(yīng)同一條弧，且ABC45，APC2ABC90 下面解題步驟同解法一4解：（1）令x=0代入y=3x+3，y=3，B（0，3），把B（0，3）代入y=ax22ax+a+4，3=a+4，a=1，二次函數(shù)解析式為：y=x2+2x+3；（2）令y=0代入y

17、=x2+2x+3，0=x2+2x+3，x=1或3，拋物線與x軸的交點橫坐標為1和3，M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，0m3，過點M作MEy軸于點E，交AB于點D，由題意知：M的坐標為（m，m2+2m+3），D的縱坐標為：m2+2m+3，把y=m2+2m+3代入y=3x+3，x=，D的坐標為（，m2+2m+3），DM=m=，S=DMBE+DMOE=DM（BE+OE）=DMOB=3=（m）2+0m3，當m=時，S有最大值，最大值為；（3）由（2）可知：M的坐標為（，）；過點M作直線l1l，過點B作BFl1于點F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時只要求出BF的最大值即可，BFM=90，點F在以BM為

18、直徑的圓上，設(shè)直線AM與該圓相交于點H，點C在線段BM上，F(xiàn)在優(yōu)弧上，當F與M重合時，BF可取得最大值，此時BMl1，A（1，0），B（0，3），M（，），由勾股定理可求得：AB=，MB=，MA=，過點M作MGAB于點G，設(shè)BG=x，由勾股定理可得：MB2BG2=MA2AG2，（x）2=x2，x=，cosMBG=，l1l，BCA=90，BAC=455解：（1）CDx軸，CD=2，拋物線對稱軸為x=1OB=OC，C（0，c），B點的坐標為（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）設(shè)點F的坐標為（0，m）對稱軸為直線x=1，點F關(guān)于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）由（1）可知拋物線解析式為y=x22x3=（x1）24，E（1，4），直線BE經(jīng)過點B（3，0），E（1，4），利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達式為y=2x6點F在BE上，m=226=2，即點F的坐標為（0，2）；（3）存在點Q滿足題意設(shè)點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足為R，SPQN=SAPM，QR=1點Q在直線PN的左側(cè)時，Q點的坐標為（n1，n24n），R點的坐標為（n，n24n），N點的坐標為（