10.3極坐標下二重積分的計算

1、第 3 節(jié)極坐標系下二重積分的計算 第10章 3.1 利用極坐標計算二重積分在極坐標系下, 除包含邊界點的小區(qū)域外, 小區(qū)域的面積分劃區(qū)域 D 為在極坐標變換有計算公式下, 證明(1)和射線用同心圓 = 常數(shù) = 常數(shù) ,所以因此, 在極坐標下面積元素(當很小時)在利用上述公式計算二重積分時,要將積分域 D 用極坐進而確定關(guān)于極坐標的二次積分的積分限.標表示, 設(shè)則特別, 當例 3.3 其中解 的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角由于故坐標計算.例 3.1, 例 3.2計算在極坐標系下p158利用例 3.3 可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式證明 設(shè)則由于因此另一方

2、面, 利用例 3.3 的結(jié)果有故 (1) 式變?yōu)榱钌鲜絻啥粟呌谕粯O限因此一方面(1)例 3.4或求雙紐線所圍圖形的面積.雙紐線的方程為解由對稱性, 第一象限部分 D1面積的 4 倍.所以由于所圍圖形的面積是其在補充例 被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解 由對稱性,求球體圓柱面準線的方程為該部分在 x O y 平面上的該體積等于其在第一卦象部分體積的 4 倍.投影區(qū)域為所以3.2* 二重積分的換元法回顧定積分的換元法:設(shè)函數(shù)在函數(shù)并且則函數(shù)組設(shè) 是 uOv 平面上的有界閉區(qū)域 ,可以看成是 到 xOy 平面區(qū)域 的變換.則區(qū)間 上連續(xù),上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),定理 3.1變換把 uOv 平

3、面上的區(qū)域的區(qū)域設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域 上連續(xù),并且滿足(1) 在區(qū)域 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);(2) 雅可比行列式則證明略.一一對應(yīng)地映射為 xOy 平面上例3.6由于D 的證明記則相應(yīng)的因此令于是證四條邊界的方程為由于所以例3.7區(qū)域 D 的面積.所求區(qū)域的面積求由曲線解與 所圍的令故是由uOv 平面上的曲線 和直線 圍成的區(qū)由于容易算出所以則邊界曲線變?yōu)楹?因為當 時域.補充內(nèi)容:稱為下面的變換則因此若在廣義極坐標變換下, 區(qū)域 D 對應(yīng)的區(qū)域為廣義極坐標變換這是一般換元法的特例.廣義極坐標變換. 由于補充例計算其中 D 為橢圓所圍的區(qū)域 .解作廣義極坐標變換則橢圓的方程為所以因此區(qū)域 D 可以表示為3.3* 反常二重積分在二重積分的定義中,要求積分域 D 是有界的,并且被積函數(shù) f 在 D 上有界.與定積分一樣可以定義無界區(qū)域上的和無界函數(shù)的反常二重積分.二重積分的定義和收斂性判別法 略.其中 D 是第一象限中由計算例 3.8解的有界區(qū)域.y 軸和直線 所圍的區(qū)域