博弈論概要1-3完全版II

1、交通大學(xué)博弈論課程概要 (II)周林第三部分：不完全信息靜態(tài)博弈不完全信息靜態(tài)博弈的例子：不完全信息下的Cournot競(jìng)爭(zhēng)例子：不完全信息下的公共產(chǎn)品博弈(FT 6.2)(FT 6.3-6.4) 不完全信息的 Harsanyi 模型：類型空間. 策略是由類型空間 到行動(dòng)的映射，不完全信息靜態(tài)博弈的策略式博弈表示. Bayesian-Nash 均衡博弈者: 1, , n .選擇空間: Si .類型空間：0 用來表示不完全信息。i在類型空間的乘積空間上0 xX0有一個(gè)先驗(yàn)概率分布p,可以獨(dú)立也可 以不獨(dú)立。當(dāng)博弈者1的類1型是9，博弈者n的類型是0 ,每一個(gè)博弈者 1n的收益函數(shù)是n (s ,.,

2、s ;9 ,.,9 )-i 1 n 1 n每個(gè)博弈者做選擇前知道自己的類型9 ,但不知道他人的類型9 。他必須i- i用0和p來更新他人類型的條件概率。ip (9 , 9 )p (9 I 9 )=八 i J -i ip (9 )i這里 p (9 ) = S p (9 , 9 ) 0 -i9i - i-i(因?yàn)槲覀冞@里使用了 Bayes法則，我們稱這類博弈Bayesian博弈。)每個(gè)博弈者可以在不同類型時(shí)作出不同的選擇,所以每個(gè)博弈者的策略是 個(gè)從0到S.的映射：Q :0 - s .這個(gè)(擴(kuò)展的)策略空間記為工.ii iii當(dāng)博弈者1使用策略a ,，當(dāng)博弈者n使用策略q時(shí)，每人的期望收益:1n口

3、 Q Q ) = Z p (0，,0 ) 口(G (0 ), . ,G (0 )； 0，,0 )(*)i 1n01ni 11n n1n=Zp (0)工p(0| 0 ) 口(g(0), G(0); 0 , 0 )0i0i iii i i i i i ii i這樣我們就有了一個(gè)策略性博弈r:博弈者: 1, , n .策略空間：e ;i收益函數(shù)：由(*)定義的云.i這個(gè)策略性博弈r的Nash均衡就是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡.命題：(g * .,g *)是不完全信息博弈的Bayesian-Nash均衡當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有 1n博弈者在類型0時(shí)必須選擇s =g *(0)使得下面的表達(dá)式最

4、大化： TOC o 1-5 h z ii i imax Z p (010 ) n (s , g * (0); 0 ,0).s. e S. 0 i 一 i ii i 一 i 一 i i 一 ii i i4. 重要例子：一價(jià)拍賣 (見附錄)5.重要例子：雙邊拍賣(F-T 6.5中例6.4)作業(yè)：6.1(a),(b) , 6.2 (a),(b), (F&T).以及下面的題目：考慮一個(gè)離散不完全信息雙廠商Cournot競(jìng)爭(zhēng)模型.每一家廠商的邊際 成本可能取兩個(gè)值：c , c , c c 5 .取值為c的概率為冗.每一家 廠商只知道自己的邊際成本，不知道另一家廠商的邊際成本.市場(chǎng)的需 求曲線是p = 1

5、0 q .求解此博弈的Bayesian-Nash均衡.再考慮一個(gè)不完全信息三廠商Cournot競(jìng)爭(zhēng)模型.可能有兩種情形.在情 形1 (s )時(shí)，只有廠商1和廠商2存在.在情形2(s )時(shí)，廠商1,廠商2 和廠商1 3都存在. 雖然廠商 2和廠商 3都知道真實(shí)的1 情形，廠商 1不知 道真實(shí)的情形.它只知道情形1和情形2的概率各為 0.5. 三廠商的邊際 成本都等于5.市場(chǎng)的需求曲線是p = 10 q .求解此博弈的Bayesian- Nash 均衡.如果在雙人競(jìng)標(biāo)中，投高標(biāo)者獲勝，但是兩個(gè)競(jìng)標(biāo)者都必須支付他們 的投標(biāo)的價(jià)格假設(shè)雙方對(duì)被拍賣物的價(jià)值在0, M上獨(dú)立同分布，分 布的密度函數(shù)是f (

6、v).求解此博弈的對(duì)稱Bayesian-Nash均衡.附：獨(dú)立價(jià)值一價(jià)拍賣的求解 首先看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子。雙人競(jìng)標(biāo)，每人的價(jià)值是在0，100上的均勻分布。每個(gè)人的報(bào)價(jià)應(yīng)當(dāng)依賴于其對(duì)拍賣物的價(jià)值，因此他的策略是一個(gè)從0，100到 0，100的函數(shù)。報(bào)價(jià)策略1：報(bào)實(shí)價(jià)。(但這是一個(gè)劣策略。)報(bào)價(jià)策略 2：折扣報(bào)價(jià)：總是抱真實(shí)價(jià)格的一個(gè)固定折扣，譬如說 40%。報(bào)價(jià)策略 3：非線性折扣報(bào)價(jià)：譬如說，b (v) v 2。100什么是這個(gè)模型的 Bayesian-Nash 均衡報(bào)價(jià)策略呢？假定競(jìng)標(biāo)者2采用50%的固定折扣的報(bào)價(jià)策略，我們來找出競(jìng)標(biāo)者 1的最優(yōu)反應(yīng)在競(jìng)標(biāo)者1的價(jià)值為v時(shí)，如果他報(bào)價(jià)b,我們

7、來計(jì)算他的期望收益。當(dāng)他贏時(shí)，他的收益是v - b,而他的報(bào)價(jià)b贏的概率是Prob(b 贏)=Prob(對(duì)手報(bào)價(jià)低于b)= Prob(x| 0.5x b)= Prob(x|x 0.每人在報(bào)價(jià)時(shí) 只知道自己的 t .i每人的報(bào)價(jià)策略是一個(gè)從a,b到0,4的函數(shù)我們要求解這個(gè)模型中的對(duì)稱的 Bayesian-Nash均衡報(bào)價(jià)策略。假定這個(gè)函數(shù)是b(.),讓我們看看b(.)必須滿足什么 條件。設(shè)想你是競(jìng)標(biāo)者1而你對(duì)拍賣物的價(jià)值為t = t.當(dāng)其他的競(jìng)標(biāo)者都采用均衡策略b(.) 時(shí)，你如果報(bào)價(jià) p, 你的期望收益為： 1E (p) = (t p )Prob( p wins )=(t p)(Pr ob

8、(s I b(s) p)n-1=(t p)(Pr ob (s | s b -1 (p)-1= (t - p)(F(b-1(p)n-1最佳報(bào)價(jià)p可以由E(p) = 0導(dǎo)出,b(b -1(p)(F (b-1(p)-1 + (t p)(n 1)(F (b-1(p)-2b(b -1(p)b (b -1 ( p ) VF (b -1 ( p )力-1 + (t p )( n 1)5 (b -1 ( p )力-1 f (b -1 ( p ) = 0既然b(.)也是你的均衡報(bào)價(jià)策略，p = b(t)應(yīng)當(dāng)滿足上面的方程式。將p = b(t)帶入 上式，我們就獲得：(DE) b(t)(F (t)n-1 + (t

9、 b(t)( n 1)(F (t)-2 f (t) = 0 -注意到(DE)對(duì)所有的t都成立，這樣我們就導(dǎo)出了 b(.)必須滿足的一個(gè)微分方程。 最后我們對(duì)(DE)求解：b(t)(F (t)-1 + b(t)(n 1)(F (t)2 f (t) = (n 1) t (F (t)2 f (t),= (n = (n -1)t(F(t)n-2 f (t) ,J b (s) (F (s) -J ds = J t n - 1) s (F (s) -2 f (s )!s = f sd (f (s) t )，aaab(t)(F(t)n-1 = Jtsd(F(s)n-1) ,或者aJ t sd (F (s)n-1 )a(F (t) Aa(F (t) A1當(dāng)s t時(shí)，(F(s)n-1是在其他人的價(jià)值都小于t的條件下時(shí)其他人中的最大價(jià)值小 (F (t )n-1于等于s的條件概率。因此均衡的報(bào)價(jià)策略等于在其他人的價(jià)值都小于你的價(jià)值時(shí) 的第二高價(jià)值的條件期望。在二價(jià)