投影變換(計算機圖形學)課件

1、第五章 三維空間的觀察綜 述三維空間的觀察比二維的復雜其概念模型如下:本章的學習目的是討論投影的數(shù)學表示和三維觀察中的投影,視見體到規(guī)范視見體的變換，用三維規(guī)范體裁剪.22009-2010-2:CG:SCUEC本章內容投影變換視見體到規(guī)范視見體的變換用三維規(guī)范體裁剪窗口到視口的變換32009-2010-2:CG:SCUEC投影變換的概念什么是投影變換將三維圖形變換成二維圖形的過程，稱為圖形的投影變換。投影變換即用投影的方法降低三維圖形的維數(shù)。一般地，投影是指將 n 維的點變換成小于 n 維的點。為什么要做投影變換？因為三維圖形無法用二維的顯示器和繪圖儀表示出來投影變換的要素視點（或投影中心），

2、投影平面，投影線42009-2010-2:CG:SCUEC視點：三維空間中任意選擇的一個點，亦稱為投影中心投影平面：不經過視點的任意一個平面投影線：從視點向投影平面的引出的任意一條射線透視投影VXYU窗口投影平面視點XYZ近平面遠平面投影線投影變換的概念52009-2010-2:CG:SCUEC平面幾何投影透視投影平行投影一點透視投影二點透視投影三點透視投影投影變換的類型正平行投影正投影正軸測投影 斜平行投影斜等測斜二測正等測正二測正三測 透視投影平行投影視點和投影平面之間的距離是無限的，即視點在無窮遠處視點和投影平面之間的距離是有限的62009-2010-2:CG:SCUEC透視投影在坐標系

3、設視點為 中來討論投影，假定投影平面是 ，空間中任一點 在平面上的投影為 。設 在平面上的正投影分別為則,72009-2010-2:CG:SCUEC透視投影的計算公式整理后便有同理可得這兩式便是透視投影的計算公式。把空間任一點的坐標代入上二式便可求出在平面上的投影點（*）（*）82009-2010-2:CG:SCUEC平行投影平行投影可以看成投影中心移向無窮遠時的極限情況。設給定的投影方向為（ ）。在要投影的對象附近任取一點 （ ），以此點為起點作一射線，其指向是投影方向的反方向，此射線的參數(shù)方程為把上式中的 代入式（*）和式（*）中的，得到投影方向為（ ）的平行投影。92009-2010-2

4、:CG:SCUEC平行投影公式令t，得極限:同樣可得（*）（*）式(*)和式(*)便是平行投影的計算公式。對空間任一點 ,由式(*)和式(*)則可算出它在平面上的投影點。102009-2010-2:CG:SCUEC正投影之三視圖1. 三視圖分為正視圖、側視圖 和俯視圖.2. 對應的投影平面分別與x軸，y 軸，z軸垂直。 三視圖常用于工程制圖，因為在其上可以測量距離和角度。但一個方向上的視圖只反映物體的一個側面，只有將三個方向上的視圖結合起來，才能綜合出物體的空間結構和形狀。當投影面與某個坐標軸垂直時，得到的空間物體的投影為正投影（三視圖）三視圖112009-2010-2:CG:SCUECXYZ

5、OVWHXZOZXOnl正投影之三視圖OXYOYZ122009-2010-2:CG:SCUEC1.正面投影變換矩陣TV2.水平投影變換矩陣THX、Z坐標值不變Y01) X、Y坐標值不變、Z02)再將得到的投影繞X軸旋轉90，3)然后沿Z軸方向平移一段的距離。正投影之三視圖132009-2010-2:CG:SCUEC3. 側面投影變換矩陣TW將空間幾何元素向YOZ平面(即W面)作垂直投影，x=0再將得到的投影繞Z軸旋轉90，然后沿X軸方向平移一段的距離正投影之三視圖142009-2010-2:CG:SCUEC正軸側投影的產生過程可分成三步：1)將空間幾何元素先繞Z軸旋轉角;2)再繞X軸旋轉角-

6、(0);3)最后向V面作正投影.XYZOPXZYOS正投影之正軸側投影152009-2010-2:CG:SCUEC軸向變形系數(shù)所謂軸向變形系數(shù)就是空間坐標軸上的單位長度與它在投影平面上的投影長度之比。設在坐標軸x,y,z上各取一個單位長度的點，它們的齊次坐標分別為：i(1,0,0,1), j(0,1,0,1), k(0,0,1,1)將它們進行正軸測投影變換變換，變換后各點坐標為:設坐標軸x,y,z的三個軸向變形系數(shù)分別為p,q,r,則有：162009-2010-2:CG:SCUEC正等測投影變換正等測投影變換就是投影面與三個坐標軸之間的夾角都相等。因此沿三個坐標軸x,y,z方向的三個軸向變形系

7、數(shù)應該相等，即p=q=r。于是可得：求解容易得到：于是得到：172009-2010-2:CG:SCUEC正二測投影變換正二測投影變換就是投影面與某兩個坐標軸之間的夾角相等。如果令p=r2q。于是可得：解上述方程可得：于是得到：182009-2010-2:CG:SCUEC透視滅點滅點：一組不平行于投影平面的平行線，經過透視投影后相交于一點，該點稱為滅點。在三維空間中，平行線只在無窮遠點相交，因而滅點可看做三維空間的無窮遠點在投影平面上的投影點。主滅點：如果這組平行線平行于坐標軸，這時的滅點稱為主滅點。至多存在三個這樣的主滅點，分別對應于投影平面切割的坐標軸的數(shù)目。透視投影按主滅點的個數(shù)分為一點透

8、視、二點透視和三點透視。滅點視點滅點滅點滅點滅點滅點視點視點192009-2010-2:CG:SCUEC圖B 兩點透視圖C 三點透視圖A 一點透視1）在圖A中，投影平面是 ，其法線方向是（0，0，1），長方體的棱和坐標軸平行，投影平面切割 軸，此時無論如何選擇視點的位置，只能產生一個滅點。因為此時平行于 軸和 軸的直線也平行于投影平面，不產生滅點。2）當投影平面的法線方向是（1，0，1）時，投影平面切割 和 軸，則可得到兩點透視（如圖B）.3）當投影平面的法線方向是（1，1，1）時，投影平面切割 、 和 軸，可得到三點透視（如圖C）. 透視滅點202009-2010-2:CG:SCUEC為了給

9、出一個投影平面,我們需要給定一個參考點R(xr, yr, zr)，投影平面的法線方向N(xn, yn, zn)，和一個常數(shù) d。過點R沿N方向作射線，在射線上取 點使該點與R點距離為d，則投影平面為過 點并且和N垂直的一個平面。調整R和N可以方便的改變投影平面的位置和方向。在坐標系oxyz中來討論投影平面是任意平面的問題。投影平面的指定確定新坐標系：過 點沿N方向的射線定義為 軸。給定向量U(xu, yu, zu)，此向量在投影平面上的垂直投影所指的方向即為 軸的方向。 軸為與 軸和 軸正交的射線。投影平面是任意平面的問題212009-2010-2:CG:SCUEC坐標變換公式設是點 在坐標系

10、oxyz中的坐標， ， 和 軸的單位方向向量為 、 和 ，那么從坐標系oxyz到 的變換是如何計算 、 、 和 ?（%）222009-2010-2:CG:SCUEC求解 軸單位向量，和N方向一致，故有i, j和k分別為 , , 軸的單位方向向量計算x0, y0, z0和 aij(i, j =1, 2, 3)的方法232009-2010-2:CG:SCUEC 軸和向量UN方向一致如右圖，設 軸的單位方向向量應是 和 軸的單位向量的向量積，因此其中x, y和z分別為ox, oy, oz軸的單位方向向量，則計算x0, y0, z0和 aij(i, j =1, 2, 3)的方法N、U與NN的關系242

11、009-2010-2:CG:SCUEC把式（%）轉換成齊次形式代入式（&）得其中坐標變換公式 坐標系oxyz中任一點(x, y, z)，可求得它在投影平面上的投影點 。 252009-2010-2:CG:SCUEC投影平面為任意平面的平行投影262009-2010-2:CG:SCUEC視見體到規(guī)范視見體的變換 要進行三維觀察,必須在世界坐標系中給定一個視見體,其視見體如圖5.11和5.12所示:272009-2010-2:CG:SCUEC投影方程平行投影時,視見體是由以下平面方程構成的長方體如圖5.13( a)所示 透視投影時,視見體是由以下平面方程構成的棱臺如圖5.13(b)所示 28200

12、9-2010-2:CG:SCUEC平行投影視見體的規(guī)范化 假設圖5.11中 在坐標系 中的坐標為 ,則轉換步驟和圖示如下:292009-2010-2:CG:SCUECStep 2:經過對平行六面體作方向切變,使它成為一個長方體,由圖5.14可得切變矩陣S2Step 1:把點P1移到坐標原點,其變換矩陣為S1平行投影視見體的規(guī)范化302009-2010-2:CG:SCUECStep 3:把Step的長方體變?yōu)橐?guī)范長方體,變換矩陣為s3;Step 4:分別沿 和 軸的負方向平移一個單位的變換矩陣為s4.因此由任意平行六面體視見體到規(guī)范化長方體視見體的變換為:平行投影視見體的規(guī)范化312009-20

13、10-2:CG:SCUEC透視投影視見體的規(guī)范化 和平行投影的變換相似,通過四步變換可把圖5.12中的棱臺變成圖5.13(b)中的棱臺.322009-2010-2:CG:SCUECStep 1:把視點( )移至坐標原點,其變換矩陣為T1Step 2:分別做沿 和 方向的切變,把Step1得到的棱臺變成正棱臺,由圖5.15可知這個變換應為T2透視投影視見體的規(guī)范化332009-2010-2:CG:SCUECStep 3:進行單位化,變換矩陣為T3因此由棱臺視見體到規(guī)范化棱臺視見體的變換為透視投影視見體的規(guī)范化342009-2010-2:CG:SCUEC用三維規(guī)范體裁剪將Sutherland-Co

14、hen算法推廣到三維,對于空間一點 可以得到區(qū)域碼從右到左對應的二進制位bit1=1,如果 : bit2=1,如果: bit3=1,如果: bit4=1,如果:bit5=1,如果:Bit6=1,如果:352009-2010-2:CG:SCUEC例子:空間直線的裁剪 1）設線段的兩個端點為 和 ,它的參數(shù)方程為:2)當視見體為棱臺時把5.11代入 ,如圖5.17所示,線段和平面 的交點Q對應的參數(shù)值t為362009-2010-2:CG:SCUEC窗口到視口的變換 窗口由點(WL，WB)和（WR，WT)決定。窗口中的圖形應該成比例地變到視口。點(xp, yp)和 (xv, yv)應滿足下列關系是372009-2010-2:CG:SCUEC齊次坐標形式為 其中整理得xv=Axp + Byv=Cyp + D其中(5.12)窗口到視口的變換382009-2010-2:CG:SCUEC5.5 連續(xù)變換的處理(5.13) T2是一個34的矩陣,投影變換是(5.14)T3是33矩陣，窗口至視區(qū)的變換是設在世界坐標系中的變換合并成一個44矩陣T1，變換為(5.15) 到物