第17講 反比例函數(shù)的圖象與性質

1、第17講 反比例函數(shù)的圖象與性質考點方法破譯1反比例函數(shù)的定義：形如（或，k0）,y叫做x的反比例函數(shù).2反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，關于yx或yx軸對稱，關于原點O成中心對稱，當k0時，圖象的兩支分別在第一、三象限，當k0時，圖象的兩支分別在第二、四象限，3反比例函數(shù)的性質：當k0時，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而減小；當k0時，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大.經(jīng)典考題賞析【例】（西寧）已知函數(shù)中，x0時，y隨x增大而增大，則ykxk的大致圖象為（ ）xxyOxyOxyOxyOABCD【解法指導】因為中，x0時y隨x增大而增大，則k0，k0，而一次函數(shù)ykxk中，k0，k0，

2、因而直線向右上方傾斜,與y軸交點在負半軸上，所以選A【變式題組】01已知反比例函數(shù)（a0）的圖象，在每一象限內(nèi)，y的值隨著x值增大而減小，則一次函數(shù)yaxa的圖象不經(jīng)過（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 02（龍巖）函數(shù)yxm與（m0）在同一象限內(nèi)的圖象可以是（ xxyOxyOxyOxyOABCD03（涼山州）若ab0,則正比例函數(shù)yax與反比例函數(shù)在同一坐標第中的大致圖象可能是（ ）xyxyOBy1xACx1xyOxyOxyOxyOABCD04函數(shù)y1x(x0),(x0)的圖象如圖所示，則結論：兩函數(shù)圖象的交點為（2，2）；當x1時，BC3；當0 x2時，y2y1;當x逐漸

3、增大時，y1隨著x的增大而增大，y2隨著x的增大而減小.其中正確結論的序號是 .【例2】如圖，A、B分別是反比例函數(shù)，圖象上的點，過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OB、OA，OA交BD于E點，BOE的面積為S1，四邊形ACDE的面積為S2，則S2S1 .【解法指導】在反比例函數(shù)中，k的幾何意義為：OxAOxADCBEyOxyxyOABCBA，或.題中【變式題組】01（寧波）如圖，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數(shù)過點A，則k的值是（ ）A2 B2 C4 D4 02（蘭州）如圖，在直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個定點，點B是雙曲線（x0）上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大

4、時，OAB的面積將會（ ）A逐漸增大 B不變 C逐漸減小 D先增大后減小 第1題圖第1題圖yxxxxyyyyAOBCOBAABOAOBCxABEDOCS1S2第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖03（牡丹江）如圖，點A、B是雙曲線上的點，分經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線，若1，則S1S2 .04（河池）如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關于原點對稱的任意兩點，BCx軸，ACy軸，ABC的面積記為S，則（ ）AS2 BS4 C2S4 DS4 05（泰安）如圖，雙曲線（k0）經(jīng)過矩形OABC的邊BC的中點E，交AB于點D，若梯形ODBC的面積為3，則雙曲線的解析式為（ ）A B C D CAOByxy【例3

5、】（成都）如圖，一次函數(shù)ykxb的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A（2，1），CAOByxy試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；求AOB的面積.【解法指導】利用割補法求圖形面積.解：點A（2，1）在反比例函數(shù)的圖象上，m(2)12，反比例函數(shù)的表達式為.點 B（1，n）也在反比例函數(shù)圖象上，n2，即B（1，2）把點A（2，1）點B（1，2）代入一次函數(shù)ykxb中，得 解得 一次函數(shù)的表達式為yx1在yx1中，當y0時，得x1，直線yx1與x軸的交點為C（1，0），線段OC將AOB分成AOC和BOC，.【變式題組】BCAOxyy01（徐州）如圖，已知A(n,2),B(1,4)是一次函數(shù)ykxb

6、的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點，直線ABBCAOxyy求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關系式；求AOC的面積；求不等式kxb0的解集（直接寫出答案）02已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于A、B點，A(1，n)，B(，2).求兩函數(shù)的解析式；ABOxyy在x軸上是否存在點P，使AOPABOxyy求；若y1y2，求x的取值范圍. 03如圖，A是反比例函數(shù)（x0）上一點，ABx軸，C是OB的中點，一次函數(shù)y2axb的圖象經(jīng)過點A、C兩點，并交y軸為D（0，2），4.ABABOxyyDC在y軸右側，若y1y2時，求x的取值范圍.CAOByxy04如圖，RtABO的頂點A是雙曲線與直線yx(k1)在第

7、二象限的交點，ABx軸于CAOByxy求這兩個函數(shù)的解析式；求A、C兩點的坐標；若P是y軸上一動點，求點P的坐標.【例4】（咸寧）兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PCx軸于點C，交的圖象于點A，PDy軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：ODB與OCA的面積相等；四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；PA與PB始終相等；當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點.其中一定正確的是 （把你認為正確的序號都填上）OxyyDBPAC【解法指導】A、B兩點在的圖象上，根 據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義可知，因而正確；，當k不變時，若P變動，而四邊形PAOB的面

8、積不變因而是正確；若設P（t,），則A（t,），B（），PA，PB.若PAPB，則有.k1,t0,當P()時，有PAPB，并不是PA與PB始終相等，因而不正確；當A為PC的中點時，DBPB，因而正確；故填，.OxyyDBPAC【變式題組】01（武漢）如圖，已知雙曲線（k0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB的中點F，交BC于點E，且四邊形OEBF的面積為2，則k .OxyEBDACy第2題圖02如圖，矩形ABCD對角線BD中點E與OxyEBDACy第2題圖OOxyyEBFAC第1題圖OxyyBPAC第3題圖03如圖，P為x軸正半軸上一點，過點P作x軸的垂線，交函數(shù)（x0）的圖象于點A，交函數(shù)（x0）的圖

9、象于點B，過點B作x軸的平行線，交（x0）于點C，連接AC，當點P的坐標為（OxyyBPAC第3題圖04函數(shù)（x0）與（x0）的圖象如圖所示，直線x t（t0）分別與兩個函數(shù)圖象交于A、C兩點，經(jīng)過A、C分別作x軸的平行線，交兩個函數(shù)圖象于B、D兩點，探索線段AB與CD的比值是否與t有關，請說明理由.OOxyyBDAC第4題圖x t05如圖，梯形AOBC的頂點A、C有反比例函數(shù)的圖象上，OABC，上底OA在直線yx上，下底BC交x軸于E（2，0），求四邊形AOEC的面積.OOxyyB11AC第5題圖E演練鞏固反饋提高ABOxyy01（恩施自治州）如圖，一次函數(shù)y1x1與反比例函數(shù)的圖象點A（2

10、，1）、B（1，2），則使y1y2ABOxyyAx2 B x2或1x0 C 1x2 D x2或x102（常州）若反比例函數(shù)的圖象在其每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則k的值可以是（ ）A1 B3 C0 D3 03（荊州）如圖，直線l是經(jīng)過點（1，0）且與y軸平行的直線，RtABC中直角邊AC4，BC3，將BC邊在直線l上滑動，使A、B在函數(shù)的圖象上，那么k的值是（ ）A3 B6 C12 D04（麗水）點P在反比例函數(shù)（x0）的圖象上，且橫坐標為2，若將點P先向右平移兩個單位，再向上平移一個單位后所得點為P/，則在第一象限內(nèi)，經(jīng)過點P/的反比例函數(shù)圖象的解析式是（ ）A （x0） B （x0）

11、C （x0） D （x0）05（鐵嶺）如圖所示，反比例函數(shù)y1與正比例函數(shù)y2的圖象的一個交點坐標是A（2，1），若y2y10，則x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）0012012012012ABCDyxyx0123第8題圖P1P2P3yx0121第6題圖2yxAyxA(2,1)0121Y1Y2第5題圖BlC1OyxA第3題圖06（泰安）函數(shù)圖象如圖所示，下列對該函數(shù)性質的論斷不可能正確的是（ ）A該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形 B當x0時，該函數(shù)在x1時取得上值2C在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D y的值不可能為107（蕪湖）在平面直角坐標系xOy中，直線yx向上平移一個單位長度得到直線l, 直

12、線l與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為A（a,2）則k的值等于 .08（廣安）如圖，在反比例函數(shù)（x0）的圖象上有三點P1、P2、P3，它們的橫坐標依次為1，2，3，分別過這3個點作x軸、y軸的垂線，設斬中陰影部分的面積依次為S1、S2、S3，則S1S2S3 .09（十堰）已知函數(shù)yx1的圖象與x軸、y軸分別交于點C、B，與雙曲線交于點A、D，若ABCDBC，則k的值為 .10（遵義）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)（x0，常數(shù)k0）的圖象經(jīng)過點A（1，2），B（m,n）,(m1),過點B作y軸的垂線，垂足為C，若ABC的面積為2，則點B的坐標為 . 11如圖，點P的坐標為（2，），過點P作x軸的平

13、行線交y軸于點A，交雙曲線（x0）于點N，作PMAN，交雙曲線于（x0）于點M連接AM，已知PN4，求k的值；求APM的面積. 12如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線yxm在第一象限交于點P（6，2），A、B為直線上的兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標3，D、C為反比例函數(shù)圖象上的兩點，且AD、BC平行于y軸，直接寫出k、m的值；求梯形ABCD的面積. 13如圖，已知雙曲線（x0）經(jīng)過RtOAB斜邊的中點D，與直角邊AB相交于點C，若OBC的面積為3，求k的值.14如圖，RtABC的直角邊BC在x軸的正半軸上，斜邊AC邊上的中線BD反向延長交y軸負半軸于E，雙曲線（x0）的圖象經(jīng)過點A，若8，求k

14、的值.15如圖，RtABC中，BAC90，BC所在直線的解析式為，AC3，若AB的D在雙曲線（x0）上，將三角形向左平移，當點B落在雙曲線上時，求三角形平移的距離.16（荊州）如圖，D為反比例函數(shù)（k0）圖象上一點，過D作DCy軸于C，DEx軸于E，一次函數(shù)與的圖象都經(jīng)過點C，與x軸分別交于A、B兩點，若梯形DCAE有面積為4，求k的值.17（四川廣安）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（1，2）、點B（4，n）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；求AOB的面積.18（河北?。┤鐖D，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在坐標，頂點B的坐標為（4，2），過

15、點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB、BC交于點M、N，求直線DE的解析式和點M的坐標；若反比例函數(shù)（x0）的圖象經(jīng)過點M，求該反比例例函數(shù)的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數(shù)的圖象上？若反比例函數(shù)（x0）的圖象與MNB有公共點，請直接寫出m的取值范圍.培優(yōu)升級奧賽檢測01如圖，直線l與反比例函數(shù)與（mn0）的圖象分別交于點A、B，且直線lx軸，連接PA、PB，小芳與小麗同學針對PAB面積的討論，有以下兩種意見：小芳：點P在x軸上移動時，PAB的面積總保持不變；小麗：當直線l上下平移時，PAB的面積總保持不變；那么，你認為她們的說法中（ ）A只有小芳正確 B只有小麗正確C兩人都正確

16、 D兩人都不正確02（南昌市八年級競賽題）在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三點：（1，y1）,(),( )則函數(shù)值y1、y2、y3的大小關系是（ ）A y1y2y3 B y3y2y1 C y3y1y2 D y2y1y3 03（濟南）如圖，等腰直角三角形ABC位于第一象限，ABAC2，直角頂點A在直線yx上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線（k0）與ABC有交點，則k的取值范圍是（ ）A1k2 B1k3 C 1k4 D 1k4 04（第十八屆“希望杯”初二）直線l交反比例函數(shù)的圖象于點A，交x軸于點B，點A、B與坐標原點O構等邊三角形，則直線l的函數(shù)解析式為

17、 05（成都）如圖，正方形OABC的面積是4，點B在反比例函數(shù)（k0，x0）的圖象上，若點R是該反比例函數(shù)圖象上異于點B的任意一點，過點R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S，則當Sm（m為常數(shù)，且0m4）時，點R的坐標是 .（用含m的代數(shù)式表示）06如圖，已知直線與雙曲線（k0）交于A點，且點A的橫坐標為4，若雙曲線（k0）上一點B的縱坐標為8，求AOB的面積.07（北京）如圖，A、B兩點在函數(shù)（x0）的圖象上，求m的值及直線AB的解析式；如果一個點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么我們稱這個點是格點，請直接寫出圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點的個數(shù).08（溫州）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與y軸和x軸分別交于點A、點B，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點C（1，6）點D（3，n）.過點C作CEy軸于E，過點D作DFx軸于點F，求m、n的值；求直線AB的函數(shù)解析式；求證：AECDFB09如圖，已知正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在