函數(shù)單調(diào)性定義

1、關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性定義第1頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四問題提出 德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試，得到了以下一些數(shù)據(jù)：時間間隔 t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8-9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明，記憶量y是時間間隔t的函數(shù). 艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.123tyo20406080100第2頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四函數(shù)的單調(diào)性思考1:當(dāng)時間間隔t逐漸增 大你能看

2、出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢？通過這個試驗(yàn)，你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?思考2:“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的，對此，我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋？tyo20406080100123第3頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律： 1、從左至右圖象上升還是下降 _?2、在區(qū)間 _上，隨著x的增大，f(x)的值隨著 _ f(x) = x(-,+)增大上升第4頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四1、在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _2、 在區(qū)間 _ 上，f(x)的值隨著x的增大而 _ f(x) = x2(

3、-,0(0,+)增大減小畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律： 圖象在y軸左側(cè)”下降“圖象在y軸右側(cè)”上升“第5頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916第6頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四思考：如圖為函數(shù)f(X)在定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個自變量x1和x2，當(dāng)x1x2 時，f(x1) 與f(x2)的大小關(guān)系如何？思考:我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為增函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個區(qū)

4、間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，若當(dāng)x1 x2時，都有f(x1) f(x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù). 第7頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四考察下列兩個函數(shù):xyoxoy二者有何共同特征？f(x) = -xf(x) = x2(x0)第8頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四思考：如圖為函數(shù)f(X)在定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的圖象，對于該區(qū)間上任意兩個自變量x1和x2，當(dāng)x1x2 時，f(x1) 與f(x2)的大小關(guān)系如何？思考:我們把具有上述特點(diǎn)的函數(shù)稱為減函數(shù)，那么怎樣定義“函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)”？對于函數(shù)定義域I內(nèi)某個區(qū)間D

5、上的任意兩個自變量的值x1,x2，若當(dāng)x1 f(x2)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù). xyox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)第9頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四一、函數(shù)單調(diào)性定義 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 1增函數(shù)第10頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在

6、區(qū)間D上是減函數(shù) 2減函數(shù) 第11頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 二函數(shù)的單調(diào)性定義第12頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四（1）對于某函數(shù)，若在區(qū)間(0，+)上，當(dāng)x1時， y1；當(dāng) x2時，y3 ，能否說在該區(qū)間上 y 隨 x 的增大而增大呢?問題：xy21013思考第13頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四（2）若x1，2，3，4，時，相應(yīng)地 y1，3，4，6，能否說在區(qū)間(0，

7、+)上，y 隨x 的增大而增大呢？xy10342第14頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四（3）若有n個正數(shù)x1 x2x3 xn，它們的函數(shù)值滿足: y1 y2y3 yn能否就說在區(qū)間(0，+) 上y隨著x的增大，而增大呢？ 若x取無數(shù)個呢? xyx10 x2x3xny1y2y3yn第15頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四思考 :一般地，若函數(shù) 在區(qū)間A、B上是單調(diào)函數(shù)，那么 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)嗎？注意： 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； 2 、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時，總有f(x1

8、)f(x2) 分別是增函數(shù)和減函數(shù).第16頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四yoxoyxyoxyoxyox在 增函數(shù)在 減函數(shù)在 增函數(shù)在 減函數(shù)在(-,+)是減函數(shù)在(-,0)和(0,+)是減函數(shù)在(-,+)是增函數(shù)在(-,0)和(0,+)是增函數(shù)yox第17頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四例1、下圖是定義在區(qū)間-5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每個區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中y=f(x)在區(qū)間-5,-2), 1,3)是減函數(shù)， 在區(qū)

9、間-2,1), 3,5 上是增函數(shù)。第18頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四 例2、物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且V1V2，則由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是 所以，函數(shù) 是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時，壓強(qiáng)p將增大.取值定號變形作差結(jié)論第19頁，共21頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)3分，星期四三判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x1)f(x