第五章 彈性力學(xué)問題的建立和一般理論

1、 第五章 彈性力學(xué)問題的建立和一般原理本章主要任務(wù)：（1）綜合彈性力學(xué)的基本方程，及其邊界條件；（2）求解彈性力學(xué)的兩種方法位移解法和應(yīng)力解法；（3）彈性力學(xué)的幾個基本原理（4）彈性力學(xué)中最簡單的問題 彈性靜力學(xué)的問題構(gòu)成了偏微分方程組的邊值問題，根據(jù)應(yīng)力或位移為求解的未知函數(shù)進行簡化，得到基本方程。直接求解一般是十分困難的，還需要進一步簡化為平面問題和對稱問題?；痉匠踢€為彈性力學(xué)的數(shù)值解法奠定了基礎(chǔ)。第一節(jié) 基本方程及其邊值問題第二節(jié) 位移解法 以位移表示的平衡微分方程第三節(jié) 應(yīng)力解法 以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程第四節(jié) 彈性力學(xué)的一般原理第五節(jié) 平衡方程的齊次解 第一節(jié) 基本方程及其邊值問題

2、 彈性力學(xué)基本方程包括平衡（運動）微分方程、幾何方程和物理方程。 平衡（運動）微分方程：張量形式：幾何方程-應(yīng)變和位移的關(guān)系：張量形式：物理方程-應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系： （1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的關(guān)系式或張量形式：（2）用應(yīng)變表示應(yīng)力的關(guān)系式 或張量形式：空間問題的未知數(shù)應(yīng)力分量 6個應(yīng)變分量 6個位移分量 3個應(yīng)力邊界條件：在全部邊界上給定外力(面力)， 應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。 在S邊界上未知函數(shù)15個，方程數(shù)也為15個。位移和應(yīng)力還應(yīng)該滿足單值條件求解方程所需的邊界條件:張量形式為: 在S邊界上位移邊界條件 在全部邊界上的已知位移。 在S邊界上或(3)混合邊界條件既有應(yīng)力邊界，又有位移邊界。第二節(jié)

3、 位移法 以位移表示的平衡微分方程基本方程的解法 上述如此龐大的偏微分方程組的求解是不方便的，通常消去部分未知數(shù)，分為位移法和力法。 位移解法是以位移分量作為基本變量求解，故必須從基本方程中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，得到只包含位移分量的方程。位移法應(yīng)用必須將邊界用位移分量表示。位移法：以位移為未知量代入物理方程 = D得到右式將幾何方程再代入平衡方程，就得到位移形式的平衡方程，稱為拉梅方程其中稱為體積應(yīng)變。 是拉普拉斯算子拉梅方程還可以表示為：其中： ，矢量形式的方程：其中： 第三節(jié) 應(yīng)力解法 以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 力法：力法以應(yīng)力分量為未知函數(shù)1、平衡方程僅含應(yīng)力分量，但方程數(shù)只有3個，未

4、知函數(shù)有六個，因此需要補充方程。2、應(yīng)力解法歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解平衡方程、物理方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。3、要將所有方程中的應(yīng)變分量消去，使他們變成一組以應(yīng)力分量表示的方程由應(yīng)力求解位移還需補充應(yīng)變協(xié)調(diào)方程: 將方程中的應(yīng)變分量用應(yīng)力分量代替，簡化后得到密切爾相容方程其中 對于以上貝爾特拉米（Beltrami,E）-米歇爾（Michell,J.H.）方程。如體力為常數(shù)，則可化簡為以位移表示的平衡方程和以應(yīng)力表示的形變連續(xù)方程的特性 對于以位移表示的方程為：分別對x、y、z 進行微分并相加可得： 則：均滿足拉普拉斯方程，因此是調(diào)和函數(shù)。同樣可以推證: (自證) 對形變連續(xù)方程，作拉普拉斯算子的

5、運算，則有：(自證)都是雙調(diào)和函數(shù)。 可見，在沒有體力或體力為常量時，平衡方程和形變連續(xù)方程均可歸結(jié)為雙調(diào)和方程，基本未知函數(shù)第四節(jié) 彈性理論的一般定理1. 局部影響原理(圣維南原理)2. 迭加原理解為：設(shè)物體的表面力為及體積力 ，按方程求得的于是又設(shè)同一物體有表面力及體積力求得應(yīng)力解為：表示的應(yīng)力由于表面力和體積力所產(chǎn)生。 可證明，基本方程及邊界條件是線性的，即迭加原理，其適用條件為：小變形情況。第四節(jié) 彈性理論的一般定理3. 形變能定理 過去我們已討論過形變能的變分形式，引入拉梅常數(shù)，并利用應(yīng)力分量和形變分量表示，則有：討論外力作功時， 表示在變形過程中，形變能等于產(chǎn)生彈性位移時，外力所作

6、功的一半，即形變能定理。 如逐漸施加載荷，則形變能等于外力所作的功。第四節(jié) 彈性理論的一般定理4. 功的互等定理 設(shè)在彈性物體上作用著兩個外力系(即兩個表面力和體積力系)，產(chǎn)生兩個應(yīng)力、形變和彈性位移系，形成兩個狀態(tài)，第一狀態(tài)的力系在第二狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功等于第二狀態(tài)的力系在第一狀態(tài)的相應(yīng)的彈性位移上所作的功，這即功的互等定理。5. 解的唯一性定理6. 最小形變能定理 當(dāng)彈性位移既適合位移邊界條件，又滿足平衡方程時，物體中的形變能總是最小。 在沒有體力的情況下，彈性力學(xué)的平衡方程和形變連續(xù)方程都是齊次的，如平衡方程的解已經(jīng)求得，以后就只要去解形變連續(xù)方程，使求解過程得到簡化。如果應(yīng)力分量用包含x，y，z 的函數(shù)來表達，稱這些函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)。下面介紹兩種應(yīng)力函數(shù)。第五節(jié) 平衡方程的齊次解 應(yīng)力函數(shù)取三個任意函數(shù)1. Maxwell應(yīng)力函數(shù)用這些應(yīng)力函數(shù)表達剪應(yīng)力：第三節(jié) 平衡方程的齊次解 應(yīng)力函數(shù)代入平衡方程，并求積分得：這里稱為應(yīng)力函數(shù)。以應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程為：式中第三節(jié) 平衡方程的齊次解 應(yīng)力函數(shù)此時，可解彈性力學(xué)中的平面問題，函數(shù)稱為艾雷(Airy)應(yīng)力函數(shù)，協(xié)調(diào)方程可化為：為雙