初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 01奇數(shù)和偶數(shù)

1、競(jìng)賽講座 01奇數(shù)和偶數(shù)22kk關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；a、ba+ba-b（5）n 個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n 個(gè)偶數(shù)的乘積是 2n的倍數(shù)；順式中有一個(gè)是偶數(shù)， 則乘積是偶數(shù).以上性質(zhì)簡(jiǎn)單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿? 1.代數(shù)式中的奇偶問(wèn)題1（2）12+=，-=，.解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這 12 個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).例2（第1屆“祖沖之杯”

2、數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組是整數(shù)，那么（A）p、q都是偶數(shù).（B）p、q都是奇.（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù)（D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù)分析 由于 1988yp=x=n+1988y，所以p11x27y=m-11x 為奇數(shù)，所以是y=q3 在 是偶數(shù).分析因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性，而 偶數(shù)于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶.與整除有關(guān)的問(wèn)題=9961993 為4（首屆“華羅庚金杯”決賽題33，8，21，.問(wèn)最右邊的一個(gè)數(shù)被 6 除余幾？解設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a,a,a據(jù)題意有123a=0,偶1a=1奇2a=3a-a奇321a=3a-a2

3、,偶43a=3a-a3,奇54a=3a-a4,奇65由此可知：n31ann302，an是奇數(shù)，顯然a70是 3k+1 型偶數(shù)，所以k 必須是奇數(shù)，令 k=2n+1，則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10a35,10b35)，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為22（為什么？）.由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù) 9876，由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和是 17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是 17-14=3，這三個(gè)數(shù)字只能是 2，

4、1，0.故所求的十位數(shù)是 9876524130.6（1990）設(shè)a、b123456789=（11111+a）（11111-b），證明a-b是4的倍證明由式可知11111（a-b）=ab+4617a0,b0,a-b0首先，易知 a-b 是偶數(shù)，否則 11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab 是奇數(shù)，進(jìn)而知a、b 都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式矛盾a-bababab+4617 4a-b4圖表中奇與偶7（10）33（a）和中，每格解按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的 22 的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè).表

5、(a)顯然，小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn)，33 的大正方形的互變，更無(wú)法實(shí)現(xiàn).例 8（第 36 屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）將奇正數(shù)1，3，5，7排成五列，按右表的格式排下去，1985 所在的那列，從左數(shù)起是第幾列？（此處無(wú)表）解由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4496+1，因此1985是第497 行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列所以從左數(shù)起，1985在第二.9 如圖 3-1，設(shè)線段ABn 個(gè)分點(diǎn)，把ABn+1證明不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇.分析n個(gè)分點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用A、B分別示紅、綠點(diǎn)；不難看出：分點(diǎn)每改變一次

6、字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A 點(diǎn)開始，每連續(xù)改變兩次又回到 必為奇數(shù).有趣的應(yīng)用題例 23-2曲線都是湖岸.PA某人過(guò)這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果有一點(diǎn) B，穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么B解（1）連結(jié)AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而A點(diǎn)必在水.（2）從水中經(jīng)過(guò)一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2，由于 A 點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B 點(diǎn)必在岸上.11 書店有單價(jià)為 10，15，254030510去多少錢？分析設(shè)買的賀年片分別為a、b、c、d（張），用去k張1元的人民幣，依意有10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數(shù)

7、即2a+3b+5c+8d=20k 顯然b、c有相同的奇偶.若同為偶數(shù)，b-c=10 和a=b=5，不是整數(shù)若同為奇數(shù)，b=c=5和a=d=10,k=7.12 一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若（重復(fù)）之后回到廳外，他經(jīng)過(guò)的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)（重復(fù)經(jīng)過(guò)的重復(fù)計(jì)算）之差總是偶數(shù).證明給出入口處展覽室記“+”號(hào)，凡與“+”相鄰的展覽室記號(hào)，凡“-”號(hào)相鄰的展覽室都記“+”號(hào)，如此則相鄰兩室的“+”、號(hào)都不.一參觀者從出入口處的“+”號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過(guò)若干個(gè)展覽室又回到入口處的 n+1（重復(fù)經(jīng)

8、過(guò)的重復(fù)計(jì)算），2n+12n+2（1）.設(shè)其經(jīng)過(guò)的rs，則s+r=2n+2 為偶數(shù)，故r-s例13有一無(wú)窮小數(shù)A=0.aaaaa a 其中a(i=1,2)是數(shù)字并且a是奇1 2 3n n+2i1數(shù)，a 是偶數(shù)，aa的個(gè)位數(shù)，a是a+a(n=1,2,)的個(gè)位數(shù)，證明A2是有理數(shù).312n+2nn+1證明 為證明 A 是有理數(shù)，只要證明A 是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無(wú)窮小數(shù)A 的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab 重復(fù)出現(xiàn)了，即 0.abab此小數(shù)就開始循環(huán).而無(wú)窮小數(shù) A 的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：ab0，2，4，6，8.25 個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A25至少出現(xiàn)兩組

9、是完全相同的，這就證得AA練習(xí)填空題有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積.有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和偶數(shù)之和是.多 18，這五個(gè)能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)答.選擇題設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）a+5b 是偶數(shù)，則a-3ba+5b 是偶數(shù)，則a-3ba+5b 是奇數(shù)，則a-3b若 a+5b 是奇數(shù)，則a-3b 是偶數(shù).（A）1（B）2（C）3（D）4若n是大于1的整數(shù)，則的值（）.（A）一定是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)（C）是偶數(shù)但不是2（D）可

10、以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=1時(shí)， 二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù)，那么a（）（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù)（B）必然是非零偶數(shù)（C）必然是奇數(shù)（D）必然是零3.（1986 年宿州競(jìng)賽題）試證明 11986+91986+81986+61986 是一個(gè)偶數(shù).0911n 個(gè)整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n4nn點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起來(lái)，要使這些線段互不相交，而且把原凸n 邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n7.（1983 年福建競(jìng)賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字淚地其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其它各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍

11、，求這四位數(shù).）222 整除，而不能被2除.9.（15）1，2，3，1989求和式可以得到最小的非負(fù)數(shù)是多少？練 習(xí) 參 考 答 案 （）（最小兩位奇數(shù)是，最大數(shù)與最小數(shù)同為奇數(shù)（）設(shè)第一個(gè)偶數(shù)為，則后面四個(gè)衣次為， （）不能 是奇數(shù)，的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)，而，故最后為偶數(shù)仿例設(shè) ， ， 滿足題設(shè)即 。假如為奇數(shù)，由，所有皆為奇數(shù)，但奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故這時(shí)不成立，可見只能為偶數(shù)由于為偶數(shù)，由知中必有一個(gè)偶數(shù)，由知 中必有另一個(gè)偶數(shù)于是中必有兩個(gè)偶數(shù)，因而由知必能被整除設(shè)小三角形的個(gè)數(shù)為，則個(gè)小三角形共有條邊，減去邊形的條邊及重復(fù)計(jì)算的邊數(shù)扣共有 （）條線段，顯然只有當(dāng)與有相同的奇偶性時(shí)， （