九年級數(shù)學證明華東師大版知識精講

1、九年級數(shù)學證明華東師大版【同步教育信息】一本周講課內(nèi)容：證明證明的認識用推理方法研究三角形包含：（1）等腰三角形，（2）角均分線，（3）線段的垂直均分線，（4）抗命題、逆定理。講課過程：（知識點回首）用公義、定理作為邏輯推理證明的依照，進而證明新的命題建立，常用公義以下：1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。2）兩條直線被第三條直線所截，假仿佛位角相等，那么這兩條直線平行。3）假如兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊、或三邊）分別對應相等，那么這兩個三角形全等。4）全等三角形的對應邊、對應角分別相等。等腰三角形：1）假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，簡寫成“等角

2、同樣邊”，這是鑒識三角形是不是等腰三角形的一個重要的方法。2）重要性質(zhì)：等腰三角形的頂角均分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，簡寫成“等腰三角形的三線合一”。角均分線：1）角均分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的均分線上。線段的垂直均分線上1）線段的垂直均分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等。2）到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直均分線上。【典型例題】例1“三角形內(nèi)角和180”的證明。方法1：AD1BC方法2：DAE21BC方法3：AE21BCD方法4：ADE1243FBC（注：經(jīng)過作平行線將角轉(zhuǎn)變），證明過程略。例2“四邊形的

3、內(nèi)角和等于360”的證明。常用的方法是將四邊形轉(zhuǎn)變成三角形，利用三角形的內(nèi)角和：（1）（2）DDAAOBCBC（4）（3）DADABCBPCP也能夠經(jīng)過平移角的方法證明：（5）F5D4EA1326BHCDEBC，F(xiàn)HAB46B3C5AABCADC543ADC360例3如圖，已知：ABDE，察看A、C、D的關系怎樣ABABDEDECC圖1圖2圖1：方法一：延伸CD交AB于FAFB1DECABDE1CDE又1ACCDEAC方法二：延伸ED交AC于FABDEFCABDECFDA又CDECCFDCDECA方法三：過C作CFABABDE21CFABDE，DECF1D18012A180D2A圖2：方法一：

4、ABDEADEADCABDEC方法二：延伸BA、CD交于FFABDEHCABDEFEDCBACFCEDCC方法三：ABDEHCF解略本題是平移角的訓練，重點意會只要挪動角的地點。例4已知ADCD，C15，ABE30，求A。AEBCD解：方法一：延伸AB交CD于FAEBCFD則ABECBF30AFDCCBF153045ADF90A180ADFAFD45方法二：過B作BFCD交AD于FBCAEFD則EBFC15，BFACDA90ABFABEEBF45A180ABFAFB45例5已知：如圖，ABCD，BE、CE分別是ABC、BCD的均分線，點E在AD上。求證：BCABCD（分析：一般證明線段和差時有

5、截長法，補短法）DEABFC方法一：截長法（由于要證BCABCD，在線段BC上截取BFAB，此后證明CFCD，或在BC上截取CFCD，再證明BFAB。）如上圖，在BC上截取BFAB，連接EF在ABE和FBE中ABBF（已作）ABEFBE（已知）BEBE（公共邊）ABEFBE（SAS）AEFBABCDAD180又BFEEFC180EFCD在EFC和EDC中EFCD（已證）ECFECD（已知）ECEC（公共邊）EFCEDC（AAS）FCCDBCBFFCABCD證法：補短法（延伸BE交CD的延伸線于G，如圖，再證明DGAB，進而轉(zhuǎn)證BCCG，則由BCEGCE可得，再證ABEDGE可有結論DGAB。）

6、GDEABCABCGABEG又ABEGBCGGBC在GEC和BEC中GGBC（已證）ECGECB（已知）ECEC（公共邊）GECBEC（AAS）EGEB，CGBC在ABE和DGE中ABEGBEGEAEBDEGABEDGE（ASA）ABDGBCCGCDDGCDAB例6如圖，四邊形ABCD中，AB8，BC1，DAB30，ABC60且四邊形ABCD的面積為53，求AD的長。EDCAB解：將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)變成特別三角形，延伸AD、BC交于EA30，B60E180AB90AB81BEAB4由勾股定理：AE824243BC1，CEBEBC3SABE1443832S四邊形ABCD53SCDESABES四邊形

7、ABCD33又SCDE1CEDE13DE3322DE23ADAEDE432323例7已知：ABAC，D是BC上隨意一點，DEAB。求證：A2EDBAEBDC解：方法一：利用等腰三角形的性質(zhì)（即三線合一）過A作AFBC于FA12EBFDCABAC，AF均分BAC1即1BAC2B190DEAB于EBBDE90BDE11BAC2方法二：將BDE沿DE翻折，獲得DEFAFEBDCABAC則DFBBC，BDF2BDEBDF為等腰三角形，且BDFAA2BDE方法三：將BA延伸至F使AFAB，連接AC（即倍長腰）FAE12BDCABAC，AFAC11FBAC，B22BF21BF121801290即BCF90

8、DEAB，BED90又BB，BCFBED1BDEFBAC2即BAC2BDE將本題推行，已知ABAC，D是AC上隨意一點，DEAB如圖：AEDBCF將ED、BC延伸交于F，則A2F方法一：AEDBHCF方法二：HAEDBCF方法三：AHEDBCF例8已知BD、CE是ABC、ACB的均分線，若A60。求證：（1）BCBECD2）ODOE證明：本題隱含的結論：（1）DOCEOB60，（2）AEOD四點共圓，（3）為心里。先證ODOE方法1：連接AOAEDO12BCBD、CE分別是ABC、ACB的均分線121ABC1ACB1180A60222DOCEOB60EOD120AEOADO180A、E、O、D

9、四點共圓O為ABC的心里AO均分EADOEOD方法2：O為ABC的心里AFEDOBCAO均分EOD，能夠?qū)OD沿AO翻折，獲得AFO，則ODOF，ADOAFO由方法1得：AEOADO180又AFOEFO180AEOEFOOEOFODOE證明BCBECD也有兩種方法：方法1：在BC上截取BHBE，連接OH，先得出BOEBOHOEOH，1260AEDO1423BHC3460再證CODCOH，獲得CHCDBCBHCHBECD方法2：將BOE沿BO翻折獲得BOH，此后再證COHCOD。AEODBHC（證明略）例9已知：BAC90，ADBC，BE均分ABC，EGBC，GHAC。求證：DGGHAEHFB

10、DGC分析：先看一個基本圖，由雙垂直，ADBC，BAC90再加角均分線BE均分ABC，必有等線段AEAF由角均分線性質(zhì)得：AEEG最后能知四邊形AFGE為菱形AEFBDGC方法1：連接FG、AGA1E54HF23BDGCBAC90，ABCC90ADBC，ADB901ABC901CBE均分ABC，23412，53C45AFAE又EGBC，AEEG且EGAFAFAEFG四邊形AFGE為菱形AG均分FAEGHAC，GDADDGGH（角均分線的性質(zhì)）方法2：由平行、角均分線及等線段中兩個條件建立，必有第三個結論建立，如圖，連結AG。A1E3HF2BDGCBE均分ABC，BAC90，EGBCAEEG12

11、又ADBCADEG3213DGAD，GHACDGGH【模擬試題】以以下圖，四邊形ABCD中，BD90，AE均分A，CF均分C。求證：AECF已知：以以下圖，ABC中，ABAC，AD均分BAC，EFAD于G，交AB于E，交AC于F，交BC的延伸線于H。求證：H1ACBB2以以下圖，已知：在ABC中，ACB90，ACBC，BD均分ABC交AC于D，AEBD交BD的延伸線于E。求證：BD2AE4以以下圖，ABC為等邊三角形，AECD，AD、BE訂交于點h1，h2，h3h30h1h2h3hh1，h2，h3AAEEOFBDCBDCADBCBD90ABCD360AC1803221803290319012BACBADCAD,ADEF,EGAFG,AEGAFG,AEGAFG,AEGBH,ACBCFHAFGCFH,ACBAFGHAEGHBHHB2H2HACBB.H1ACBB)(2BEFBEA,CBDCAF,ABBACC60,ABAAECD,ABECAD,ABECAD,BEADBPQBAPABEPBQ30,BQPQ,PB2PQ6.BEPBPE7ADBE7ABCh1h2h3hh1h2BAPPAEBAC60ABCh1h2h3hh3hh1h2h3hAB于M，DNAC于N則DM