2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷

1、球的表面積公式S4R2 其中 R 表示球的半徑球的體積公式P，那么kn選擇題（共 50分）10小題，每小題（4SSf (）. B C V43 R3其中 R 表示球的半徑5分，滿分 50分. 在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是）.(A) 終邊相同的角為 （(x,y)Mx)A B 12）. (A) x16(B)2x2(B) 3429Mlnx14(B) y2S的增區(qū)間為（(C) 41 球的表面積公式S4R2 其中 R 表示球的半徑球的體積公式P，那么kn選擇題（共 50分）10小題，每小題（4SSf (）. B C V43 R3其中 R 表示球的半徑5分，滿分 50分. 在每小題給出的四個選項

2、中，有且只有一項是）.(A) 終邊相同的角為 （(x,y)Mx)A B 12）. (A) x16(B)2x2(B) 3429Mlnx14(B) y2S的增區(qū)間為（(C) 41 M(C)）.(A) 18(C) ，S0(D) 4(x,y)xM,78(D) 2(D)34y2S(B)1M(，則 S與M 的關(guān)系是（M,1)）. 2(C) (12,)(D) (0,)本試卷共 8 頁，第 1-頁為選擇題和填空題，第 -8 頁為解答題及答卷。請將選擇題和填空題的答案做在第頁的答卷上。 全卷共三大題 20 小題，滿分 150 分，考試時間 120 分鐘。參考公式：如果事件互斥，那么P(A+B)=P(A)+(B)

3、 如果事件相互獨立，那么P(AB)=P(A)(B) 如果事件 A在一次試驗中發(fā)生的概率是Pn(k)C Pk(1-P)n-k第一部分一、選擇題：本大題共符合題目要求的 . 請將唯一正確的答案代號填在第頁的答題卷上1.一枚硬幣連擲三次至少出現(xiàn)一次正面朝上的概率是112.與3已知集合(A)4.函數(shù)5.觀察下列四個電路圖，結(jié)論正確的是（A B C A 2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 1 頁 共 10 頁. i,）.(A) ff，大正方形的面積為21225，設(shè)q、前項和為a 與m、n m/n,那么在平面 m、n(B) ； (C) ； (D) 4小題，每小題 5分，滿分 20 分. 請

4、將答案填在第頁的答題卷中n nP（3分），此時點j15 x gx1，小正方形的面積為cos2(B) aS a2. N*為拋物線 yP的坐標(biāo)為是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(B) 與g x1的值為（2425nns3 a1與行，在這些數(shù)中非2（2分）. x軸， y10 x f(B)，）. (C) 是公的無窮等比數(shù)列. i,）.(A) ff，大正方形的面積為21225，設(shè)q、前項和為a 與m、n m/n,那么在平面 m、n(B) ； (C) ； (D) 4小題，每小題 5分，滿分 20 分. 請將答案填在第頁的答題卷中n nP（3分），此時點j15 x gx1，小正方形的面積為cos2(B) aS a2. N*

5、為拋物線 yP的坐標(biāo)為是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)(B) 與g x1的值為（2425nns3 a1與行，在這些數(shù)中非2（2分）. x軸， y10 x f(B)，）. (C) 是公的無窮等比數(shù)列， 下列；1的數(shù)字之和是 _. 10 x上的動點，則點軸正方向上的單位向量且(C) 7.5 是定義在 R上的可導(dǎo)函數(shù) .若f725nan q與P到直線 xAB(D) xx(D) 的四組量：；y4i5 g x fg x725 s與an52j,AC，則是常數(shù)函數(shù)1中，一定能成為該數(shù)列的“基本量”的是0距離的最小值3ix g(C) s2;（4j與f）. ，則xxABC滿足（g x）. 0(D) fxg x是常數(shù)函數(shù) .

6、(B) 圖中開關(guān) A 閉合是燈泡 B 亮的必要不充分條件；(C) 圖中開關(guān) A 閉合是燈泡 B 亮的充分且必要條件；(D) 圖中開關(guān) A 閉合是燈泡 B 亮的不充分又不必要條件6.設(shè)的面積等于（7.(A) 8.2002 年 8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為25則sin(A)9.若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”比為(A) (B) (C) (D) 10.已知直線 及平面 ,其中 內(nèi)到兩條直線 距離相等的點的集合可能為一條直線； 一個平面； 一個點； 空集.其中正確的是（ ）. (A

7、) ；第二部分 非選擇題（共 100分）二、填空題：本大題共11.如圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 12若點為2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 2 頁 共 10 頁x ，對任意實數(shù) x，都有 ff(第14題圖 2 )Dxysinxz2,OSx y zxyz. nn的坐標(biāo)；（用反三角函數(shù)表示） ；14 分） 設(shè)xiMx2005Caxf x x3 25OAy1, p,q nxx,( y(x,y)3的值為_. 32的 圖象 關(guān)于直 線x ，對任意實數(shù) x，都有 ff(第14題圖 2 )Dxysinxz2,OSx y zx

8、yz. nn的坐標(biāo)；（用反三角函數(shù)表示） ；14 分） 設(shè)xiMx2005Caxf x x3 25OAy1, p,q nxx,( y(x,y)3的值為_. 32的 圖象 關(guān)于直 線時，試求cos xAB，滿足y2)j, b的軌跡 C 的方程；f x的解集為3 ff41 SO平面 SBC.求：R i jxi3和 f4，b a,對 稱，當(dāng)15.AB，(yx，求實數(shù)( 1)sin2x平面 OABC.、2)j a2b320, 的值. 為直角坐標(biāo)平面內(nèi)，且f x的值. 且x yb2，且 f軸、 軸正方向上的單位向量，若8. 11，則14.如圖，在透明塑料做成的長方體封閉容器中注入一些水，固定容器的一邊

9、DE 將其傾斜，隨著容器的傾斜程度不同，水所構(gòu)成的幾何體的各個表面圖形形狀和大小也不同，試盡可能多地找出水所構(gòu)成幾何體的各個表面在變化中圖形的形狀或大小之間所存在的各種規(guī)律： . （要求：各種規(guī)律的表述要科學(xué) ,準(zhǔn)確.每答對 1個給 1分,本題滿分 5分）FE(第 14題圖 1)15（本題滿分 12 分）已知16.（ 本題 滿分 13 分） 已知函 數(shù)cosx17.（本題滿分 13分）如圖，直角梯形 OABC 中，AOOC，ABOC，OC以 OC，OA,OS 分別為 軸、 軸、 軸建立直角坐標(biāo)系O-（）求異面直線 SC與 OB 所成角；（）設(shè)OA 與平面 SBC的夾角點 O到平面 SBC的距離

10、 . 18.（本題滿分a（）求點2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 3 頁 共 10 頁Cl的方程；若不存在，請說明理由0.8xaa ban個整點用紅、黃、藍三色之一著色，其方法總數(shù)為Bn A B1 D 2n2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷(第14題第 4 頁 共 10 頁OP. ynn nAn，對所圍區(qū)域的 b，試比較 與 的大小 . 2 A 2n 圖2 )DOAn，所圍成區(qū)域（包括邊界）的整點個數(shù)為及 的表達式；nn n3 C 12.OBnbn個整點，Cl的方程；若不存在，請說明理由0.8xaa ban個整點用紅、黃、藍三色之一著色，其方法總數(shù)為Bn A B

11、1 D 2n2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷(第14題第 4 頁 共 10 頁OP. ynn nAn，對所圍區(qū)域的 b，試比較 與 的大小 . 2 A 2n 圖2 )DOAn，所圍成區(qū)域（包括邊界）的整點個數(shù)為及 的表達式；nn n3 C 12.OBnbn個整點，4 C 5 24，是否存在這樣的直線3,且n（整點就是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）5 D ,l，使N x y. 6 D (52,與 軸、 軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整7 B 5)8 D 13.9 B f 200510 B 2005得四邊形 OAPB 是矩形？若存在，求出直線19.（本題滿分 14分）某基本系統(tǒng)是由四個

12、整流二極管 （串，并）聯(lián)結(jié)而成 .已知每個二極管的可靠度為（即正常工作時） .若要求系統(tǒng)的可靠度大于 0.85，請你設(shè)計出二極管的各種可能的聯(lián)結(jié)方案（要求：畫出相應(yīng)的設(shè)計圖形，并有相應(yīng)的計算說明） . 20（本題滿分 14分）直線點個數(shù)為（）求（）對區(qū)域內(nèi)部的用紅、藍兩色之一著色，其方法總數(shù)為2005 年廣州市高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽決賽參考答案題號答案 11. 14. 水面是矩形； 四個側(cè)面中，一組對面是直角梯形，另一組對面是矩形； 水面的大小是變化的，水面與平面 CDEF所成二面角越小，水面的面積越大； 形狀為直角梯形的兩個側(cè)面面積是不變的，這兩個直角梯形全等； 側(cè)面積不變； 側(cè)面中兩組對

13、面的面積之和相等； 形狀為矩形的兩個側(cè)面的面積之和為定值； AB+CD為定值； 如果長方體的傾斜程度為 時，則水面與與底面所成的角為 90 -； 底面的面積水面的面積 cos（90 -）水面的面積 sin ； 當(dāng)傾斜程度增大，點 A在 BD之間時， A與B重合時， BD2h（h為水面原來的高度） ； 若容器的高度 PD，當(dāng) A與 B重合時，水將溢出； 點 A在BD內(nèi)部時， ADC的面積為定值 . FCE(第 14題圖 1)xC A（0, ），B（4，2），32b ）（b）3kxab2a013 分）sinxcosxsinx5725ax322 得aABaxx1b已知函數(shù) y3 2533218kBC

14、32232f x 的圖象關(guān)于直線時，試求 fxC A（0, ），B（4，2），32b ）（b）3kxab2a013 分）sinxcosxsinx5725ax322 得aABaxx1b已知函數(shù) y3 2533218kBC32232f x 的圖象關(guān)于直線時，試求 fcos x2 3的解集為 ,b ，求實得axbx15sin2x4，可得 ）axba363對稱，當(dāng)?shù)闹?cos（x+4 524 02018f ( 1)b 2b 4x320 , 且a32180,b3615（本題滿分 12 分）已知數(shù)a,b的值. 法一：如圖 ,在同一直角坐標(biāo)系中，作出 y x （x0）A B 及 yax32 的大致圖像，設(shè)

15、yax32 與 Y軸及 y x 分別交于 A、B、C點由條件及圖像可知則4a令 C（b,2由法二：依題意，上式等價于a 2a16. （本題滿分cosx解：由且 sin2x2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 5 頁 共 10 頁15sin4yf4OABC中，AOOC，ABOC，2,OS1, p,q ，滿足 nxSCCOS SCarccosSBnCB002xf x x315sin 2xOA平面 SBC.求：2,0, 1,OB1051,1, 15sin4yf4OABC中，AOOC，ABOC，2,OS1, p,q ，滿足 nxSCCOS SCarccosSBnCB002xf x x31

16、5sin 2xOA平面 SBC.求：2,0, 1,OB1051,1, 1平面 SBCAB是關(guān)于 對稱的函數(shù)，AByOB25CBnyf（7） f （-1）3201. SO1,1,01021,1,0SB平面 OABC.以5zcos x又cos x17.（本題滿分 13 分）如圖，直角梯形OCOC，OA,OS分別為 x軸、 y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系 O-xyz. （）求異面直線 SC與 OB所成角；（）設(shè) nn的坐標(biāo)；OA與平面 SBC的夾角 （用反三角函數(shù)表示）；點 O到平面 SBC的距離.解：（） .如圖: （,），（ ,），（ ,），（ ,），故異面直線 SC與 OB 所成的角為z(). 由n

17、n SBn CBx2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 6 頁 共 10 頁ppn3SO OESE63n求解，相應(yīng)給分）sin14 分）xi求點 M過點（0，3）作直線 l 與曲線 C交于 A、B兩點，設(shè) OPl的方程；若不存在，請說明理由ax216x24xq01,1,2 ，13. 63設(shè)x,( y(x,y)的軌跡 C的方程；OA. by2y20ppn3SO OESE63n求解，相應(yīng)給分）sin14 分）xi求點 M過點（0，3）作直線 l 與曲線 C交于 A、B兩點，設(shè) OPl的方程；若不存在，請說明理由ax216x24xq01,1,2 ，13. 63設(shè)x,( y(x,y)的軌

18、跡 C的方程；OA. by2y20 （法一）過 O作 OEBC 于 E，連 SE，則 SEBC 故 BC面 SOE 232y2)j,bOB，是否存在這樣的直812y666R，ixi知點 M（x,y ）到兩個定點22，,( yF1（0.-2 ）、F2（0,2 ）的距離之和為x22j x2)j ，且 a8 y8arcsin為直角坐標(biāo)平面內(nèi) 軸, y軸正方向上的單位向量，若b2y668. 22為所求 . 81p 1q 2故過 O作 OHSE于H，則 OH面 SBC OE 2 SE=OH點 O到平面 SBC的距離為（法二）（注：也可以利用法向量 延長 CB 與OA 交于 F，則 OF2 連 FH，則

19、OFH 為所求角此時18. （本題滿分a（）（）線 l，使得四邊形 OAPB是矩形？若存在，求出直線解：（） (解法一 ) 由軌跡是以 F1、F2為焦點的橢圓，它的方程是12(解法二 )：由題意得兩次平方得2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解題比賽決賽試卷第 7 頁 共 10 頁x16OPl 的的方程是 ykx+3 kxx2163k x18kxA3k2OPOAAk x1216某基本系統(tǒng)是由四個整流二極管（串，并）聯(lián)結(jié)而成全部并聯(lián)，可靠度每兩個串聯(lián)后再并聯(lián)，可靠度2OA3y222xB4OAOB即OA OBxB2Ak5.已知每個二極管的1-1y2OB1244 3k218k3kOB0y yBxB24k

20、0.21 0.821018kx21, xA，四邊形 OAPB是平行四邊形 . , A3k213k2x16OPl 的的方程是 ykx+3 kxx2163k x18kxA3k2OPOAAk x1216某基本系統(tǒng)是由四個整流二極管（串，并）聯(lián)結(jié)而成全部并聯(lián)，可靠度每兩個串聯(lián)后再并聯(lián)，可靠度2OA3y222xB4OAOB即OA OBxB2Ak5.已知每個二極管的1-1y2OB1244 3k218k3kOB0y yBxB24k0.21 0.821018kx21, xA，四邊形 OAPB是平行四邊形 . , A3k213k254420.87040.85 知 P與O重合這與四邊形210恒成立xB0 xA3k

21、，當(dāng)0.9984 0.85 OAPB是矩形矛盾，0212xB18k4k993k25400時，存在直線 yl:543使四邊形OAPB是矩形. 12（） l 過 y軸上的點（ 0，3），若 l 是 y軸時，則 A、B 兩點是橢圓的頂點由直線 l 是 y 軸不可能當(dāng)直線 l 的斜率存在時，可設(shè)直線y由題意得124此時且4若存在直線 l,使四邊形 OAPB是矩形 ,則有 x 1k19.（本題滿分 14 分）可靠度為 0.8（即正常工作時） .若要求系統(tǒng)的可靠度大于 0.85，請你設(shè)計出二極管的各種可能的聯(lián)結(jié)方案（要求：畫出相應(yīng)的設(shè)計圖形，并有相應(yīng)的計算說明） . 解：2005年廣州市青年教師高中數(shù)學(xué)解

22、題比賽決賽試卷第 8 頁 共 10 頁每兩個并聯(lián)后再串聯(lián)，可靠度三個串聯(lián)后再與第四個并聯(lián)，可靠度兩個串聯(lián)后再與第三、第四個并聯(lián)，可靠度14 分）aa bnaBn，試比較 A 與 B 的大小. an,abn,就是求不等式 xyn的非負(fù)整數(shù)解，1 0.221-0.2 11-0.每兩個并聯(lián)后再串聯(lián)，可靠度三個串聯(lián)后再與第四個并聯(lián)，可靠度兩個串聯(lián)后再與第三、第四個并聯(lián)，可靠度14 分）aa bnaBn，試比較 A 與 B 的大小. an,abn,就是求不等式 xyn的非負(fù)整數(shù)解，1 0.221-0.2 11-0.2 1直線 xnnnn n就是求不等式n20.9216 0.85 0.832ybn（整點就是橫、縱坐標(biāo)均為An，對所圍區(qū)域的xyn的正整數(shù)解，1+2+（n-2）0.90240.85 0.82nn 220.98560.85nn 13,且n. N x與 軸、 y軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊20（本題滿分界）的整點個數(shù)為 ，所圍成區(qū)域（包括邊界）的整點個數(shù)為整數(shù)的點） . （）求 及 的表達式；（）對區(qū)域內(nèi)部的 個整點用紅、黃、藍三色之一著色，其方法總數(shù)為bn個整點，用紅、藍兩色之一著色，其方法總數(shù)為解： .求區(qū)