功率譜估計(jì)模型法

1、關(guān)于功率譜估計(jì)模型法第1頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四周期圖法的不足估計(jì)方法的方差性能差在功率譜密度計(jì)算中沒有實(shí)現(xiàn)求均值的運(yùn)算分辨率低樣本數(shù)據(jù)x(n)是有限長(zhǎng)的，相當(dāng)于在無限長(zhǎng)樣本數(shù)據(jù)中加載了窗函數(shù)(矩形窗、Hanning等)第2頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四參數(shù)模型功率譜估計(jì)MA模型AR模型ARMA模型第3頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型如果一個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(n)通過一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)(LSI)h(n)，則系統(tǒng)輸出y(n)也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，并且y(n)的功率譜密度和x(n)的功率譜密

2、度滿足下式：其中Pyy、Pxx分別為系統(tǒng)輸出、輸入的功率譜密度，而H(w)為系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。第4頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型如果系統(tǒng)輸入為白噪聲信號(hào)u(n)，其功率譜密度為常數(shù)2，則輸出信號(hào)功率譜密度Pxx(w)完全由系統(tǒng)傳遞函數(shù)|H(w)|2決定，因此我們通過對(duì)H(w)進(jìn)行建模，從而得到輸出信號(hào)的功率譜密度。第5頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型在上圖中，輸入u(n)為白噪聲信號(hào)，其方差為2 ，則系統(tǒng)輸出x(n)的功率譜密度Pxx(w)為：第6頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12

3、點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型因此我們利用確定性系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的特性去表征隨機(jī)信號(hào)x(n)的功率譜密度，稱為參數(shù)模型功率譜估計(jì)。參數(shù)模型功率譜估計(jì)的步驟：對(duì)H(z)選擇合適的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)x(n)，或者x(n)的自相關(guān)函數(shù)，確定H(z)的參數(shù)利用H(z)估計(jì)x(n)的功率譜。第7頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有極點(diǎn)，沒有零點(diǎn)，對(duì)應(yīng)其幅度譜結(jié)構(gòu)存在譜峰第8頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)

4、模型MA模型：Moving-Average此模型只有零點(diǎn)，沒有極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜谷點(diǎn)。第9頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型ARMA模型：此模型同時(shí)有零點(diǎn)、極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)幅度譜結(jié)構(gòu)中存在譜峰、譜谷第10頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四系統(tǒng)模型對(duì)于一階全極點(diǎn)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的幅度響應(yīng)實(shí)際上是：第11頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四當(dāng)a0第12頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四當(dāng)ap，因此我們利用p個(gè)估計(jì)的自相關(guān)函數(shù)，可以對(duì)mp所有的自相關(guān)函數(shù)rxx (m)進(jìn)行延拓

5、，從而提高了自相關(guān)函數(shù)窗的長(zhǎng)度，增加了功率譜估計(jì)的頻域分辨率。第43頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇如果模型的階數(shù)過小，則會(huì)增加對(duì)功率譜的平滑作用，降低譜的分辨率但如果階數(shù)太高，雖然會(huì)降低預(yù)測(cè)誤差的方差，但會(huì)導(dǎo)致譜峰的分裂，增加估計(jì)誤差。這是由于階數(shù)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于譜結(jié)構(gòu)中的譜峰情況。第44頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇第45頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇第46頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇在進(jìn)行AR譜估計(jì)時(shí)，

6、首先需要確定階數(shù)p。p的選擇可以基于以下三種準(zhǔn)則進(jìn)行。最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則(FPE)其中k為階數(shù)，N為樣本數(shù)據(jù)x(n)的長(zhǎng)度，而k表示k階AR模型得到的白噪聲方差。上式最小值對(duì)應(yīng)的階數(shù)為最終選擇的階數(shù)。第47頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇阿凱克信息論準(zhǔn)則(AIC)同樣選擇使上式最小的k值作為模型的階數(shù)。AIC準(zhǔn)測(cè)和FPE準(zhǔn)則在樣本數(shù)據(jù)x(n)長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，估計(jì)得到的模型階數(shù)相似。對(duì)于較短的樣本數(shù)據(jù)，建議使用AIC準(zhǔn)則。第48頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型階數(shù)p的選擇自回歸傳遞函數(shù)準(zhǔn)則(CAT)同樣使得上式最小的k為模

7、型階數(shù)。第49頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型參數(shù)的求解自相關(guān)法利用Yule-Walker方程得到AR模型參數(shù)ai：第50頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型參數(shù)的求解Yule-Walker方程中的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)為有偏估計(jì)值：第51頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度系數(shù)矩陣不僅僅是對(duì)稱的，而且沿著和主對(duì)角線平行的任意一條對(duì)角線上的元素都相等，這樣的矩陣稱為Toeplitz矩陣，可以利用Levinson-Durbin遞推算法得到p個(gè)參數(shù)ai以及方差2。第52頁(yè)，共98頁(yè)，2022

8、年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度如果采用有偏估計(jì)得到自相關(guān)函數(shù)，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型參數(shù)，并且可以保證求解的系數(shù)ai在單位圓內(nèi)，即保證AR模型的穩(wěn)定性。這種方法稱為自相關(guān)法同時(shí)自相關(guān)法計(jì)算的白噪聲信號(hào)功率會(huì)隨著階數(shù)的增加而減小或者保持不變。第53頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度但自相關(guān)法也存在一定的問題，由于在求解自相關(guān)函數(shù)的時(shí)候，進(jìn)行了矩形加窗處理，降低了分辨率。同時(shí)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，估計(jì)誤差會(huì)比較大，出現(xiàn)譜峰偏移和譜線分裂。第54頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)2

9、2分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度協(xié)方差法第55頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度其中的自相關(guān)函數(shù)為：同時(shí)白噪聲的方差為：第56頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的取值范圍與自相關(guān)法不同，這樣保證了不對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行矩形窗的截?cái)?，因此如果樣本函?shù)的長(zhǎng)度較短時(shí)，可以獲得比自相關(guān)法更好的譜分辨率。如果樣本函數(shù)的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于階數(shù)p時(shí)，自相關(guān)法和協(xié)方差法的性能是差不多的。同時(shí)協(xié)方差法求解的是非Toeplitz陣，不能用迭代的方法計(jì)算，因此運(yùn)算復(fù)雜度較大。同時(shí)也不能像自相關(guān)法一樣保證AR模

10、型的穩(wěn)定性。第57頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度修正的協(xié)方差法與協(xié)方差法類似，自相關(guān)函數(shù)的求解修正為：同時(shí)估計(jì)的白噪聲方差為：第58頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度修正的協(xié)方差法從線性預(yù)測(cè)的角度分析，實(shí)際上是同時(shí)進(jìn)行前向、后向預(yù)測(cè)，因此其估計(jì)譜的分辨率比較高，譜峰的偏移也比較小。但缺點(diǎn)同樣是需要求解非Toeplitz陣，計(jì)算比較復(fù)雜。第59頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四AR模型估計(jì)功率譜密度Burg遞推法以上提到的自相關(guān)法、協(xié)方差法和修正的協(xié)方差都要估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)

11、函數(shù)，如果能免去自相關(guān)函數(shù)的求解，從而直接根據(jù)樣本函數(shù)得到AR模型參數(shù)ai，從而可以減少中間步驟，提高譜估計(jì)的性能。同時(shí)采用前向、后向線性預(yù)測(cè)。這種算法對(duì)短數(shù)據(jù)的功率譜估計(jì)比自相關(guān)函數(shù)法要準(zhǔn)確。第60頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用針對(duì)含噪正弦信號(hào)數(shù)據(jù)64點(diǎn)，采用分段平均周期圖法和AR模型第61頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用AR模型，周期圖法第62頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64，采用分段的周期圖法和AR模型第63頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用AR模型，周期

12、圖法第64頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為64點(diǎn)，取不同階數(shù)(4、20)的AR模型對(duì)譜估計(jì)的影響。第65頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四應(yīng)用第66頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四MA模型估計(jì)功率譜密度與AR模型一樣，首先推導(dǎo)MA參數(shù)bi與樣本數(shù)據(jù)x(n)的正則方程。首先，MA模型參數(shù)為：第67頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四MA模型估計(jì)功率譜密度輸入白噪聲信號(hào)u(n)、MA模型以及輸出x(n)之間為線性卷積的關(guān)系：與AR模型進(jìn)行相同的分析，得到：第68頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，

13、5月20日，12點(diǎn)22分，星期四MA模型估計(jì)功率譜密度MA模型只有q個(gè)零點(diǎn)，并且注意MA的正則方程，MA模型計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)的取值范圍為-q q，并且類似于MA模型參數(shù)bi的自相關(guān)函數(shù)這樣估計(jì)的功率譜密度為：第69頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四MA模型估計(jì)功率譜密度注意到，根據(jù)計(jì)算的自相關(guān)函數(shù)rxx(m)得到的功率譜為：因此從譜估計(jì)的角度，MA模型譜估計(jì)等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，譜估計(jì)的分辨率低。第70頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四ARMA模型估計(jì)功率譜密度ARMA模型實(shí)際上AR模型和MA模型的綜合，其正則方程為：其中h(k)為ai和

14、bi的函數(shù)，因此該方程為非線性方程，求解較為復(fù)雜。第71頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四最大熵譜估計(jì)方法rxx(k)的最大熵外推法經(jīng)典譜估計(jì)中是零值外推，對(duì)于窄帶信號(hào)是很不精確的，如何對(duì)rxx(k)進(jìn)行外推？這里re(k)表示自相關(guān)函數(shù)的外推值第72頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四最大熵譜估計(jì)方法對(duì)re(k)的約束條件是什么？保證得到的功率譜密度是實(shí)數(shù)，并且是非負(fù)的。使隨機(jī)信號(hào)x(n)的熵最大，等價(jià)為使得x(n)盡可能的白化，對(duì)功率譜而言，使得估計(jì)的功率譜Pxx(w)盡可能平坦。第73頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四

15、最大熵譜估計(jì)方法對(duì)于能量有限的信號(hào)，具有高斯分布的隨機(jī)信號(hào)x(n)具有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR過程，即x(n)的功率譜是全極點(diǎn)形式的譜結(jié)構(gòu)。第74頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四最大熵譜估計(jì)方法根據(jù)以上要求外推的自相關(guān)函數(shù)rxx(k)：而ap為自相關(guān)正則方程的解：第75頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四最大熵譜估計(jì)方法最大熵譜估計(jì)的解釋是：根據(jù)給定隨機(jī)信號(hào)x(n)，利用對(duì)x(n)AR模型的限制，對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推，并且假設(shè)x(n)為高斯分布。實(shí)際上最大熵譜估計(jì)與Yule-Walker方法估計(jì)功率譜是等價(jià)的。第76頁(yè)，共98頁(yè)，202

16、2年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四最大熵譜估計(jì)方法這里對(duì)最大熵譜估計(jì)方法的描述，用于解釋該方法譜估計(jì)的實(shí)質(zhì)問題。最大熵估計(jì)外推對(duì)數(shù)據(jù)強(qiáng)加了一個(gè)全極點(diǎn)模型，因此MEM估計(jì)是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，取決于所分析的信號(hào)類型，以及信號(hào)模型逼近AR過程的程度第77頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)對(duì)于帶有白噪聲的正弦波組合，由于正弦波之間是非諧波的關(guān)系 ，因此不能用基于傅立葉變換的周期圖法進(jìn)行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率，特別是信噪比比較低的時(shí)候，譜估計(jì)的效果比較理想。第78頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)

17、一階諧波過程：其中復(fù)指數(shù)A1=|A1|ej1 , 1是均勻分布的隨機(jī)變量，w(n)是方差為w2 的白噪聲第79頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)復(fù)數(shù)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)矩陣定義為：第80頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)Rss的秩為1.第81頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)定義則Rss可以用e1表示：因此Rss的非零特征值為M|A1|2第82頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)Rxx和Rss的特征向量是一致的。Rxx的特征根是Rss的特征根

18、和噪聲方差之和第83頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)根據(jù)Rx 的特征值和特征矢量獲得關(guān)于x(n)的參數(shù)：Rx進(jìn)行特征值分解，最大的特征值為M|A1|2+w2 ，其它的特征值均為w2利用Rx 的特征值求信號(hào)功率|A1|2和噪聲方差：第84頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量為e1，則e1第二個(gè)系數(shù)為 ejw1, 其頻率即為w1第85頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)基于信號(hào)自相關(guān)矩陣分解的頻率估計(jì)算法：將樣本空間分為信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后用頻率估計(jì)

19、函數(shù)估計(jì)頻率值。假設(shè)隨機(jī)信號(hào)x(n)由p個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)和白噪聲信號(hào)組成：其中s(n)為正弦信號(hào)，v(n)為白噪聲第86頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)X(n)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：其中Pi是功率： Pi =|Ai|2第87頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)則x(n)的自相關(guān)矩陣為：第88頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)其中ei為：第89頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)設(shè)vi是Rss的特征矢量：vi也是Rxx的特征矢量，并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪聲方差之和：第90頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，5月20日，12點(diǎn)22分，星期四特征分解法譜估計(jì)Rss的秩為p，因此Rss有p個(gè)非零特征根，因此Rxx特征根分為p個(gè)大于w2 的特征根，和M-p個(gè)為w2 的特征根。對(duì)應(yīng)于特征根的分類，特征矢量也分為兩類。實(shí)際上，大于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間，而等于w2的特征根和特征矢量對(duì)應(yīng)噪聲子空間。這樣可以根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rxx的特征根求解，最小的特征根就是白噪聲信號(hào)的方差。第91頁(yè)，共98頁(yè)，2022年，