T-模與分解定理課件

1、 第三章 T-模與分解定理一. T-模(三角模)的概念 前面介紹了模糊集定義的各種拓廣形式, 本節(jié)是對模糊集運算進(jìn)行拓廣, 就是將模糊集的并、交運算拓廣到一般的t-模、s-模。1. 從西瓜問題談起 考慮一堆西瓜, 定義西瓜為“里紅且外綠”的水果, 這里“紅”與“綠”是模糊概念, 從而這里的“西瓜”也是一個模糊概念。假設(shè)某水果里紅的程度是0.5, 外綠的程度是0.8. 它隸屬于西瓜的程度如何? 如果使用前述模糊集的交運算定義, 則這個水果屬于“西瓜”的程度 0.50.8=0.5. 然而, 就直觀的感覺而言, 里紅和外綠對于成為一個西瓜來說應(yīng)該是互相加強(qiáng)的“證據(jù)單元”, 因此這個水果隸屬于“西瓜”

2、的程度大于0.5才合理。 觀點：當(dāng)取兩個模糊集的交集時, 可能希望較大的模糊集對結(jié)果產(chǎn)生影響, 但如果模糊交集選用min, 則可能較大的模糊集無法產(chǎn)生影響。 因為客觀世界現(xiàn)象錯綜復(fù)雜，“與”算子的選取也應(yīng)具體問題具體分析。所舉西瓜“證據(jù)強(qiáng)度”的例子說明min算子用此例不合適, 但不能說采用別的算子就一定不合適。目前“與”算子除采用min外, 還可以用有界積、乘積等算子。min算子作為“與”算子可用于許多論域, 但不是所有論域, 其它的“與”算子在一定條件下適用于一定的實際問題, 數(shù)學(xué)的高度抽象性和客觀世界的復(fù)雜多樣性從來就是相輔相成的。 T-模(triangular norm, 又稱為三角?；?/p>

3、T-范數(shù))首先出現(xiàn)在K.Menger于1942年發(fā)表的論文“Statistical metrics”(統(tǒng)計度量)中, 在這里, T-模是作為經(jīng)典度量空間中三角不等式的自然推廣而提出的。60年代，B.Schweizer和A.Sklar重新嚴(yán)格定義了T-模(即現(xiàn)在通用的定義)和統(tǒng)計度量空間(現(xiàn)稱為概率度量空間), 從而導(dǎo)致了這個領(lǐng)域的飛速發(fā)展。由于T-模較好地反映了“邏輯與”的性質(zhì), 因此T-模作為一般的“模糊與”算子一致受到模糊邏輯學(xué)界的青睞。 事實上, 除了概率度量空間和模糊邏輯外, T-模還應(yīng)用于決策支持、函數(shù)方程、測度理論、博弈理論等許多領(lǐng)域. 2. T-模的定義 定義 T-模是單位區(qū)間0

4、, 1上的二元運算T, 它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?. 即 T: 0,10,10,1滿足以下條件： x, y, z0,1有： (1) T(x, y)=T(y, x), (2) T(x, T(y, z)=T(T(x, y), z), (3) 當(dāng)y z時, 有T(x, y)T(x, z), (4) T(x, 1)=x. 容易證明: T(x, 0)=0, x0,1. 常用表示T, 并將T(x, y)記為xy.二. S-模(T-余模)的概念1. S-模的定義 定義 S-模(三角余?；騎-余模)是單位區(qū)間0, 1上的二元運算S, 它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性且?guī)в袉挝辉?. 即 S: 0,

5、10,10,1滿足以下條件： x, y, z0,1有: (1) S(x, y)=S(y, x), (2) S(x, S(y, z)=S(S(x, y), z), (3) 當(dāng)yz時, 有S(x, y)S(x, z), (4) S(x, 0)=x. 容易證明: S(x, 1)=1, x0,1. 常用表示S, 并將S(x, y)記為xy. 以下各式定義的都是S-模: (1) xy=max(x, y). (2) xy=x+yxy. (概率和) (3) x y=min(x+y, 1). (有界和) (4) 當(dāng)x, y至少有一個是0時x y取最大者, 否則, x y=1. (突變和) (5) R0 S-模

6、(王國俊) 如下算子是偽補(bǔ): c(x)=(1xw)1/w, w(0, ) Yager算子 c(x)=(1x)/(1+x), (-1, ) Sugeno算子 定理 設(shè)是T-模, 是S-模, 則 Td(x, y)xyxyxyxySd(x, y) 這里 Td,Sd分別是突變積和突變和。三. 分解定理 1. 截集 定義 設(shè)AF(X), 0,1, 記 A=xX|A(x) 稱A為A的截集。又記 A+=xX|A(x) 稱A+為A的強(qiáng)截集。 定義 設(shè)AF(X), 稱 A1=xX|A(x)=1 為A的核, 記為kerA. 稱 A0+=xX|A(x)0為A的支集, 記為suppA. 稱suppAkerA為A的邊界。kerAAsuppA XX2. 數(shù)積(截積) 定義 設(shè)AF(X), 0,1, 與A的數(shù)積(截積）A定義為： (A)(x)=A(x), xX.即A仍為X上的模糊集。3. 模糊集合的分解定理 定理 對任意的AF(X)有 A=0,1 Ax證明 欲證 A=0,1A，只需證明對任意的xX, A(x)=(0,1A)(x), 即 A(x)=0,1 (A)(x)=0,1 (A(x). 由于A(x)0,1, 而 0,1 (