矩陣與行列式

1、，應當整體地去只有這樣，應當整體地去只有這樣，才不會第一章矩陣與行列式釋疑解惑1關(guān)于矩陣的概念：最難理解的是：矩陣它是一個“數(shù)表”看它，不要與行列式實際上僅是一個用特殊形式定義的數(shù)的概念相混淆；acd，或把d，或把mn;但行列式把用中括號或小括號所表示的矩陣如行列式寫成矩陣等。還要注意，矩陣可有d寫成兩邊各劃一豎線的行列式如m（1）行和n（1）0,000只有n行n列。n階行列式是陣n2個數(shù)（元素）按特定法則對應的一個值，它可看成nDOhiahian.a2naa1112aaA2122aa的所有元素保持原位置而將兩邊的括號換成兩豎線時由行列式定義確定的一個新的對象削hihiaIIT定的一個數(shù)值，記

2、作detA口lA或Dn，即hi（如二階方陣因為于此，而是detAAaijc所對應的行列式是這樣一個新的對象：必須注意二者的本質(zhì)區(qū)別,4jA，等等。如當A為n乘矩陣線性運算有著實質(zhì)上的不同，其特定的算法（即所謂行乘列）aA1k1knDODD,不可把acbd）。也正A等同起來,關(guān)于矩陣的運算：矩陣的加（減）法只對同形矩陣有意義；數(shù)Amm中每一個元素得到的新的它不僅要求左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù),mn矩陣；二矩陣相乘與前述這兩種而且積的元素有，乘法的性質(zhì)與前者的性質(zhì)更有質(zhì)的不同（如交換律與消去乘矩陣律不成立）律不成立），對此要特別加以注意，也不要與數(shù)的乘法的性質(zhì)相混淆。關(guān)于逆陣：逆陣是由線性變換引

3、入的，它可只由ABE來定義（A與B互為逆陣），這是應用的基礎(chǔ)。要記住方陣可逆的充要條AA*AE，二者有著重要與廣泛的應用。要弄清代數(shù)余子式為元素的矩陣的轉(zhuǎn)置，否則會出錯。線性方程組及各種矩陣方程。A的伴隨方陣是矩陣要會用兩種方法求逆陣，ij的各元素系式A從而會用逆陣求解關(guān)于矩陣的初等變換：首先要懂得矩陣的三種初等變換的算法，明白一（如E（i（如E（i,j）AA，而不是E（i,j）AA,等等）。還要能將行列式性質(zhì)中提公因子、交換兩行（列）與用常數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去后的結(jié)果弄清楚，并可與相應方陣的初等變換進行對比。重要的是知道初等變換不改變矩陣的秩。關(guān)于矩陣的秩：矩陣的秩是由解線性方

4、程組引入的一個新概念，對它要（非零行）只有逐步加深理解。為此，首先應弄清什么是矩陣的行階梯形：其一個“臺D”（非零行）只有一行,即任一行的首非零元素下面（同列）的元素全為零,不能把兩行的首非零元素位于同一列視為一個“臺D”，而全為零的一行也是一個臺階，且要位于非零行下方。這里，要求會用矩陣的行初等變換法和計算子式法兩種方法求可逆方陣的逆陣。關(guān)于矩陣分塊法：對此不作過高要求。但對于特殊形式的矩陣的乘法、求逆等運算（當可能時）會用分塊法計算將給我們帶來許多方便。7.關(guān)于行列式：行列式的定義可由一階開始記，即二階及任意的7.關(guān)于行列式：行列式的定義可由一階開始記，即二階及任意的n階行列式的aa,從而

5、可按行或列展開求得教材上附注中給出另一種定義即(j1,(j1,j2,jn)(乂j1,j2,jn)aaH-anjn難于理解，可參考其它線性代數(shù)教材；但對于許多特殊行列式的某些項及值的確定用此定義會非常方便（可見下面的叩例題解析”部分）由定義與性質(zhì)可得到化簡與計算n階行列式值的常用的幾種方法（可見下面的“例題解析”由定義與性質(zhì)可得到化簡與計算部分之例4）。這里，重要的是會正確地理解和使用性質(zhì)及展開法計算一般的行列式，特別部分之例要注意在使用它們時有一些通常的技巧，數(shù)字的行列式，總可以由“交換兩行（列）上去”二變換化為上（下）三角行列式而求得其值。要注意在使用它們時有一些通常的技巧，數(shù)字的行列式，總

6、可以由“交換兩行（列）上去”二變換化為上（下）三角行列式而求得其值。自己應當通過作題加以領(lǐng)會與總結(jié)?！迸c“把某行（列）的若干倍加到另一行（列）對元素為字母的行列式，但對于元素為要多觀察各行、列元素的特點，靈活應用性質(zhì)，如當列（行）元素之和相等時往往各行（列）相加；裂項，提公因子，逐行（列）相減化為三角形行列式等。為便于計算，還要記住一些特殊形式的行列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的值。的計算公式及某些例、習題中有一定特點的行列式列式（如三角行列式、范得蒙行列式等）的值。的計算公式及某些例、習題中有一定特點的行列式8關(guān)于克萊姆法則：首先要明白克萊姆法則僅對方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的線性方程組

7、（其系數(shù)行列式不為零）之前一定要檢查方程組是否為適用；特別要記準公式中各行列式的構(gòu)成規(guī)律，而且套公式“標準形”方程組（其系數(shù)行列式不為零）之前一定要檢查方程組是否為適用；特別要記準公式中各行列式的構(gòu)成規(guī)律，而且套公式“標準形”-常數(shù)項全在等號右端；要注意克萊姆法則推論的實質(zhì)，即n實質(zhì)，即n個方程零。n個未知數(shù)的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式為第二章向量組和向量空間第二章向量組和向量空間釋疑解惑1關(guān)于向量的概念：應該從多個角度理解n維向量的概念。首先，向量是一種特殊的矩陣，所以對向可以使矩陣法、數(shù)乘、乘法等運算口1n矩陣1,a2,叫行向量，行向量與列向量是不相等的。若n印矩陣

8、A為列向量。n階方陣，那么從矩陣的角度看，n維行向量可左乘除了1維向量，A,其結(jié)果1關(guān)于向量的概念：應該從多個角度理解n維向量的概念。首先，向量是一種特殊的矩陣，所以對向可以使矩陣法、數(shù)乘、乘法等運算口1n矩陣1,a2,叫行向量，行向量與列向量是不相等的。若n印矩陣A為列向量。n階方陣，那么從矩陣的角度看，n維行向量可左乘除了1維向量，A,其結(jié)果III1向量。如內(nèi)積、,a,2其次，夾角,an仍是維行向量；n維列向量可右乘A,其結(jié)果為n維列向量與矩陣比較又有自己的特殊性，某些概念或運算在通常的矩陣間是沒有的，更抽象?？臻g解析幾何中，向量與向量還可看成平面或空間解析幾何中對應概念的推廣，3維有序?qū)?/p>

9、數(shù)組（即向量的坐標口間有一一對應關(guān)系，所但代數(shù)中向量概念以這里把n維有序?qū)崝?shù)組定義為也可進行對應推廣。n維向量。解析幾何中一些與向量有關(guān)的概念、運算和性質(zhì)在沒有特別聲明的情況下，本書所指的向量都是實向量，即分量都是實數(shù)的向量。2關(guān)于向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交：向量的內(nèi)積、長度、夾角和正交等概念都是。注意解析幾何中對應概念的推廣。向量的內(nèi)積對應于解析幾何中兩向量的數(shù)量積（點積）。注意內(nèi)積不滿足消去律，即：若都是n維向量，且不一定等于。例如(1,2,1),(2,1,0),(1,0,1)，那么,!2，且向量的長度又叫向量的模或范數(shù)。三角形不等式產(chǎn)l網(wǎng)尸I相當于幾何中的“三角形的兩邊之和大于第三邊”

10、，等號成立當且僅當與同向（或k.k為實數(shù)，且k0）。.關(guān)于線性表出：如果存在實數(shù)/k2,勺使得L1k2H2kFm成立,則稱向量.可以由向量組1,2,m線性表出（或線性表示）。應該注意到這個定義中沒有要求k1,k2,km不全為零，因此零向量可由任意一個向量組線性表出，只要k1,k2,km全取零即可。還可以從線性方程組的角度理解線性表出向量可由n維向量組111,2m線性表出，相當于線性方程組1122tn有解。.關(guān)于向量組的線性相關(guān)性：向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念在本章中極其重要，是進一步學習向量組的極大無關(guān)組、秩以及向量空間的基與維數(shù)等一系列概念的基礎(chǔ)。理解這一抽象的概念應該從多角度思考。首先

11、應該正確理解定義及其性質(zhì)：教材中給出了兩個等價的定義，第一個定義給出了線性相關(guān)性與線性表出之間的關(guān)系，它表明，向量組12m線性相關(guān)相當于向量12m線性相關(guān)相當于向量1,2m之間存在某種線性關(guān)系；第二個定義指出向量1,2,m線性相關(guān)是指存在不全為零的實數(shù)心?，,km使kJ1,22,|fmm，這一定義在證明（或研究）向量組的線性相關(guān)性時比較常用，必須注意這里的“不全為零”不是“全不為零”對于一些有關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論，不要n維向量組n維向量組x0有（沒mmI,2,m線性相（無）關(guān)，相當于齊次線性方程組L12H2有）非零解。還可從矩陣或行列式的角度理解：矩陣貫穿于線性代數(shù)課程的始終，線性代數(shù)川j4-1八一

12、I一曰,八中的多數(shù)概念都能在矩陣中體現(xiàn)，線性相關(guān)性也不例外。n維向量組1,2,m線性相A竄-E（無）關(guān)的充要條件是矩陣A*1,2,m）（或矩陣的秩為m,特別地，,JUIAH0如果mn，則A為方陣，1,2,1m線性相（無）關(guān)的充要條件是行列式|A（A0）.第五，從維數(shù)的角度理解若mn，則n維向量組2,m一定線性相關(guān)。.關(guān)于向量組的等價和向量組的極大無關(guān)組：理解向量組的等價概念時應注意：兩等價的向量組不一定有相同個數(shù)的向量，也不一定有相同的線性相關(guān)性，但等價的向量組的極大無關(guān)組有相同個數(shù)的向量，特別地，兩等價的線性無關(guān)的向量組一定含有相同個數(shù)的向量。按照定義如果.L,2,r的部分組.,2,是I,2

13、,r的極大無關(guān)組必須滿足,1線性無關(guān)和WA可由:,2,1線性表出兩個條件，缺一不可。理解這兩個概念還應注意下面的一些結(jié)論：一般情況下，若11,2,r存在極大無關(guān)組，則極大無關(guān)組不一定唯一；向量組與它的極大無關(guān)組間以及兩個極大無關(guān)組間一定等價；線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組唯一，且就是該向量組本身。利用向量組的等價還可判定某些向量組的線性相關(guān)性：若兩個含有相同數(shù)量向量的向量組等價，并已知其中一個是線性相（無）關(guān)的，則可推知另一個向量組也線性相（無）關(guān)。.關(guān)于向量組的秩：向量組的秩的概念與極大無關(guān)組、向量組的等價、矩陣的秩（行秩、列秩）等概念是密切相關(guān)的，不能割裂地理解。正是因為“向量組的兩個極大無

14、關(guān)組一定含有相同數(shù)量的向量”這一結(jié)論，才產(chǎn)生了向量組的秩這一概念；矩陣向量組成的向量組的秩與矩陣的秩相等，向量組沒有極大無關(guān)組且秩為零。常利用矩陣的秩求向量組的秩。A的所有行(列)單一零向量構(gòu)成的7關(guān)于實數(shù)域上的線性空間實數(shù)與V中元素之間的純量乘法，若則稱V是實數(shù)域上的線性空間。：V是一個集合，R為實數(shù)域，定義了V中的加法，和8關(guān)于子空間：如果線性空間V對這兩種運算封閉，且滿足給出的8條運算規(guī)律，V的子集W對V上原有的加法和純量乘法封閉，是V的子空間。子空間也是線性空間。9關(guān)于基、維數(shù)：應該知道線性空間的維數(shù)可以是有限的，也可以是無限的?；怯邢蘧S線性空間的極大無關(guān)組，線性空間V的基未必唯一，

15、線性表出；基的概念也可看成空間解析幾何中基本單位向量V中的每個向量都可由基唯一地i，j，k的推廣，R3中任一向量都可唯一地表示成i,j,k的線性組合，若，則(ax,ay,a)為的坐標。在R3中基也不唯一，基中的向量未必像性無關(guān)的向量組都是基。i，j，kODDDOO,R3中任一含有3個向量的線10關(guān)于過渡矩陣：基,)(,1212n)TNn到基12n的過渡矩陣T，滿足矩陣等式注意，應是從左“過渡到”右，且|T是右乘矩陣T(,11ll2).由基向II量,)(,性無關(guān)性知)n)可逆，故11口關(guān)于坐標：實數(shù)域上的的每個向量在給定的基下的坐標是唯一的，n維線性空間IIIV中，向量的坐標可看成在不同的基下可

16、能有不同的坐標，HlRn0000,于是在給定基的情況下，通過坐標建立了V與Rn間同構(gòu)的關(guān)系，這也是在本章開始時，先研究Rn中的向量的一個理由，Rn中的向量的一些概念和性質(zhì)可對應推廣到一般的線性空間中去。借助坐標，以及組的線性相關(guān)性)Rn中的向量與矩陣的關(guān)系，可把對一般的線性空間中的向量及其性質(zhì)(如向量的研究轉(zhuǎn)化為對矩陣的研究。還應該注意向量和向量的坐標的區(qū)別，同一向量在不同基下的坐標可能不同。12.關(guān)于線性變換:在給定基的情況下，可用矩陣表示線性變換。線性變換T在基12n下的矩陣A的列向量.為T(i)在基12n下的坐標，求A時不要把行和列寫顛倒。線性變換在不同的基下的矩陣可能不同。第三口三章線

17、性方程組IH1、用線性方程組的初等變換把線性方程組變成與它同解的方程組。注：這一結(jié)論是消元法的基礎(chǔ)。2、解線性方程組常有下面兩種方法：克萊姆法則.用克萊姆法則求解方程組Axb有兩個前提，一是方程的個數(shù)要等于未知量的個數(shù)，二是系數(shù)矩陣的行列式要不等于零。用克萊姆法則求解方程組實際上相當于用逆矩陣的方法求解線性方程組，即xA印b，它建立線性方程組的解與其系數(shù)和常數(shù)間的關(guān)系，但由于求解時要計算n印個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常Ill“。OH|v|比DDDDDDDDDinDD/J.DDDDDDDDDDDDDDD/.J.1WWaDDDDDDDDODDDD1IDD1口Dobv*h小，”.

18、，.1.，.D”.,J.DDaDDDDDDDDDIDDDDDDDDDDDDDDDDg.7r00000000o.IIIIIIQqWZ。叫卅W(小憶，1.?)./.)%Tq)q(廣、).第0()/()，0DDDDDDDDDDDDDDDDD9DDDDDDDD(v)yB(v)yDDDDDDDDDDDDDDDODDODDODDODDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDODDODDODDODDODDODDODDODDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDODDODDODDKODDODDODDODDDDDDODDODDODDODDDDDDODDODD(W)y.OOOo

19、.(,)y.口DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(V-)口口什DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDEDDDDDDDDDDDDDDDDDODDODDODDODDDDDDODDODDODDODDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDgDDDgODDDDDDDDDDDDDDDDDyDDDDDxy000000DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDA0（mn時）。注：此處常稱僅有零解:l,2,n，j2,111,n,b線性相關(guān)。無窮多充要條件：R*n;IIIR充要條件：IAI0m

20、n1時，向量組/2,R,12nRA!n口RARA且；n線性相關(guān)，且R,，,b12n.解,12IAI0,稱有非零解,一線性相關(guān);wmkn時?？冢捍颂幊＝獾男再|(zhì)解的線性組合仍為解，即解關(guān)于線性運算封閉，從而構(gòu)成向量空間，維數(shù)為nr，即基礎(chǔ)解系的向量個數(shù)解集對加法，III數(shù)乘不封閉，但Axb的任意兩解之差為Axo的解Axb的任一解與Axo的任一解之和仍是Axlb的解解的結(jié)構(gòu)設(shè)，r礎(chǔ)解系，則xk1ik,k（12,凡是Axo的基IAxo的通解為IBkk122nHrnHr,knIT削常數(shù)）設(shè)，,r,凡是Axo的基礎(chǔ)解系，為Axb的特解，則Axb的通解為xkkk1122nHrnIT（k1k2kn為任意常州Ill第四章二次型III1關(guān)于二次型的概念：二次型實際上是需要，改寫其為矩陣形式的表達式（其矩陣是實對稱矩陣）任意n元二次型表示為矩陣形式。n元二次齊次多項式。由于應用上化標準形的fxAx是為了方便。要會將其中2會用合同變換，即找出可逆線性變換BCIll第四章二次型III1關(guān)于二次型的概念：二次型實際上是需要，改寫其為矩陣