(通用版)高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習考點梳理與過關練習23《數(shù)列的綜合應用》(含詳解)

1、考點23 數(shù)列的綜合應用能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題.對等差、等比數(shù)列的綜合問題的分析，應重點分析等差、等比數(shù)列的通項及前n項和；分析等差、等比數(shù)列項之間的關系，往往用到轉化與化歸的思想方法考向一 等差、等比數(shù)列的綜合應用解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關鍵是理清兩個數(shù)列的關系：（1）如果同一數(shù)列中部分項成等差數(shù)列，部分項成等比數(shù)列，則要把成等差數(shù)列和成等比數(shù)列的項分別抽出來，研究這些項與序號之間的關系；（2）如果兩個數(shù)列是通過運算綜合在一起的，就要從分析運算入手，把兩個數(shù)列分割開，再根據(jù)兩個數(shù)列各自的特征進行求解典例1 已知各項均為正數(shù)的數(shù)

2、列 SKIPIF 1 0 是公差為2的等差數(shù)列，若數(shù)列 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 A27B81C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】D【解析】由 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，得 SKIPIF 1 0 ，又因為正數(shù)的數(shù)列 SKIPIF 1 0 是公差為2的等差數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 0 ，因為數(shù)列 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，設其公比為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF

3、1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .故選D【名師點睛】本題考查了等比、等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于基礎題.求解時，由 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，結合 SKIPIF 1 0 是公差為2的等差數(shù)列，得 SKIPIF 1 0 ，進而求出 SKIPIF 1 0 ，即可得答案.典例2 已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 .（1）設 SKIPIF 1 0 ，求證：數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列；（2）求 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和.【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設等差數(shù)列 SKIPIF 1

4、0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 . 又由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 .故 SKIPIF 1 0 ，依題意， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 （常數(shù)），故 SKIPIF 1 0 是首項為4，公比 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列.（2）因為 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和

5、為 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及等差、等比數(shù)列的求和的應用，其中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和求和公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.求解本題時，（1）設 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，由題意求得 SKIPIF 1 0 ，即可求得數(shù)列的通項公式，進而得到數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和和 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和，即可得到數(shù)列 SKIPIF 1 0

6、的前 SKIPIF 1 0 項和.1已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和考向二 數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合應用1數(shù)列可看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，數(shù)列的通項公式相當于函數(shù)的解析式，所以我們可以用函數(shù)的觀點來研究數(shù)列解決數(shù)列與函

7、數(shù)綜合問題的注意點：（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點（2）轉化為以函數(shù)為背景的條件時，應注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關問題時，應準確構造函數(shù)，注意數(shù)列中相關限制條件的轉化2數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點考查方式主要有三種：（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關系；（2）以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；（3）考查與數(shù)列問題有關的不等式的證明問題在解決這些問題時，要充分利用數(shù)列自身的特點，例如在需要用到數(shù)列的單調(diào)性的時候，可以通過比較相鄰兩項的大小進行判斷

8、在與不等式的證明相結合時，注意構造函數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式典例3 已知函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象過點 SKIPIF 1 0 ，且點 SKIPIF 1 0 在函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象上，又 SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列， SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）若 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，求證： SKIPIF 1 0 .【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2）見解析.【解析】（1）

9、SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象過點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .又點 SKIPIF 1 0 在函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象上，從而 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 公比 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題考查了通過點在函數(shù)圖象上求出函數(shù)解析式、以及考查求等比數(shù)列的通項公式、利用裂項相消法求數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項和.2已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等比

10、數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，證明： SKIPIF 1 0 .考向三 等差、等比數(shù)列的實際應用1數(shù)列實際應用中的常見模型等差模型：增加或減少的量是一個固定的常數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是公差；等比模型：后一個量與前一個量的比是一個固定的常數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

11、1 0 是公比；遞推數(shù)列模型：題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，由此列遞推關系式2解答數(shù)列實際應用題的步驟審題：仔細閱讀題干，認真理解題意；建模：將已知條件翻譯成數(shù)學語言，將實際問題轉化為數(shù)學問題；求解：求出該問題的數(shù)學解；還原：將所求結果還原到實際問題中在實際問題中建立數(shù)學模型時，一般有兩種途徑：從特例入手，歸納猜想，再推廣到一般結論；從一般入手，找到遞推關系，再進行求解典例4 某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費12萬美元,以后每年比上一年增加4萬美元,每年銷售蔬菜收入50萬美元,設f(n)表示前n年的純利潤(f(n)=前n年的總收入-

12、前n年的總支出-投資額).（1）從第幾年開始獲得純利潤?（2）若五年后,該臺商為開發(fā)新項目,決定出售該廠,現(xiàn)有兩種方案：年平均利潤最大時,以48萬美元出售該廠；純利潤總和最大時,以16萬美元出售該廠.問哪種方案較合算?【解析】由題意,知每年的經(jīng)費構成了以12為首項,4為公差的等差數(shù)列,則f(n)=50n-12n+ SKIPIF 1 0,即-2n2+40n-720,解得2n18.又nN*,故從第三年開始獲得純利潤.（2）年平均利潤為f(n)n=40-2(n+36n)=16-2(n-6故此方案獲利616+48=144萬美元,此時n=6.f(n)=-2n2+40n-72=-2(n-10)2+128,

13、當n=10時,f(n)max=128.故此方案共獲利128+16=144萬美元.比較兩種方案,在獲利相同的前提下,第種方案只需六年,第種方案需要十年,故選擇第種方案.3某人的月工資由基礎工資和績效工資組成，2010年每月的基礎工資為2100元、績效工資為2000元，從2011年起每月基礎工資比上一年增加210元，績效工資為上一年的 SKIPIF 1 0 照此推算，此人2019年的年薪為_萬元(結果精確到 SKIPIF 1 0 ).考向四 數(shù)列中的探索性問題對于數(shù)列中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答此類問題的一般策略是：（1）先假設所探求對象存在或結論成立，以此假設為前提進行運算或邏輯推理，若

14、由此推出矛盾，則假設不成立，從而得到“否定”的結論，即不存在；（2）若推不出矛盾，能求得符合題意的數(shù)值或取值范圍，則能得到肯定的結論，即得到存在的結果典例5 已知數(shù)列an滿足a1=0， SKIPIF 1 0 ，且對任意m，nN都有 SKIPIF 1 0 （1）求a3，a（2）設bn求數(shù)列b設數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)p，q，且1pq，使得S1，Sp，Sq成等比數(shù)列？若存在，求出【解析】（1）由題意，令m=2，n=1，則 SKIPIF 1 0 ，解得a3令m=3，n=1，則 SKIPIF 1 0 ，解得a5（2）以n+2代替m，得a2n+3則a2(n+1)+1所

15、以數(shù)列bnb1b因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則S1=14，因為S1，Sp，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 又1所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 又1p，且pN，則所以存在正整數(shù)p=2，q=16，使得S14已知公差不為零的等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的等比中項.（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPIF 1 0 ，判斷數(shù)列 SKIPIF 1 0 是否為等

16、比數(shù)列.如果是，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和 SKIPIF 1 0 ，如果不是，請說明理由.考向五 數(shù)列的求和求數(shù)列的前n項和，根據(jù)數(shù)列的不同特點，通常有以下幾種方法：（1）公式法，即直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式求解；（2）倒序相加法，即如果一個數(shù)列的前n項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前n項和.（3）裂項相消法，即將數(shù)列的通項拆成結構相同的兩式之差，然后消去相同的項求和.使用此方法時必須注意消去了哪些項，保留了哪些項，一般未被消去的項有前后對稱的特點.常見的裂項方法有：（4）錯位相減法，若數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列， SK

17、IPIF 1 0 是等比數(shù)列，且公比為 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和時，常用錯位相減法求和.基本步驟是：列出和式，兩邊同乘以公比，兩式相減并求和. 在寫出 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的表達式時，要將兩式“錯項對齊”，便于準確寫出 SKIPIF 1 0 的表達式.在運用錯位相減法求和時需注意：合理選取乘數(shù)（或乘式）；對公比 SKIPIF 1 0 的討論；兩式相減后的未消項及相消項呈現(xiàn)的規(guī)律；相消項中構成數(shù)列的項數(shù).（5）分組求和法，如果一個數(shù)列可寫成 SKIPIF 1 0 的形式，而數(shù)列 SKIPIF 1 0 ， SKI

18、PIF 1 0 是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.典例6 已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，且滿足 SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 的值及數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）若數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 . 【解析】（1）由題意知 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，則 S

19、KIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .則 SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，兩式相減得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .典例7 已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 是公差不為0的等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF

20、1 0 .【解析】（1）設數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，得， 解得，或.當時，與成等比數(shù)列矛盾，舍去，即數(shù)列的通項公式為（2）=， SKIPIF 1 0 .5設數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 （1）求 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 1在等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SK

21、IPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 A7B8C9D102已知 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，則A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

22、 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A36B28C45D324在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個數(shù)叫做數(shù)列的公和已知等和數(shù)列an中， SKIPIF 1 0 ，公和為5，則 SKIPIF 1 0 A2B2C3D35中國人在很早就開始研究數(shù)列，中國古代數(shù)學著作九章算術、算法統(tǒng)宗中都有大量古人研究數(shù)列的記載.現(xiàn)有數(shù)列題目如下：數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，等比數(shù)列 SKIPI

23、F 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A4B5C9D166如圖所示的三角形數(shù)陣滿足：其中第一行共有一項： SKIPIF 1 0 ，第二行共有二項： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，第三行共有三項： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，依此類推，第 SKIPIF 1 0 行共有 SKIPIF 1 0 項，若該數(shù)陣的第15行中的第5個數(shù)是 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 A105B109C110D2157已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式 SKIPIF 1 0

24、 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值為A98B99C100D1018已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列，且滿足： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 _9在等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 0 _.10已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1

25、 0 _11設 SKIPIF 1 0 為數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）證明： SKIPIF 1 0 為等比數(shù)列；（2）求 SKIPIF 1 0 的通項公式，并判斷 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是否成等差數(shù)列？12已知等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPI

26、F 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 13已知數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 在函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象上.（1）求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 .14設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 .（1）求數(shù)

27、列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設 SKIPIF 1 0 ，求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 .15已知正項數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 的值，并求數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式 SKIPIF 1 0 ;（2）設 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，求使不等式 SKIPIF 1 0 成立的正整數(shù) SKIPIF 1 0 組成的集合.1（

28、浙江）已知 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，且 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，則A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2（2019年高考北京卷文數(shù)）設an是等差數(shù)列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列（1）求an的通項公式；（2）記an的前n項和為Sn，求Sn的最小值3（2019年高考天津卷文數(shù)）設 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列，公比大于0，已知 SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）設

29、數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項數(shù)列bn滿足b1=1，數(shù)列（bn+1bn）an的前n項和為2n2+n（1）求q的值；（2）求數(shù)列bn的通項公式5（天津文科）設an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn（nN*）；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn（nN*）已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（1）求Sn和Tn；（2）若Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值6（新課標全國文科）記Sn為等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前n項和，已知S2=2，S

30、3=6（1）求 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列7（北京文科）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 和等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 滿足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5（1）求 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）求和： SKIPIF 1 0 8（新課標全國文科）已知等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKI

31、PIF 1 0 的通項公式；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 變式拓展變式拓展1【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 .設等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公比為 SKIPIF 1 0 ，由題 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .所以 SKIP

32、IF 1 0 .（2）由（1）知 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記通項公式、前 SKIPIF 1 0 項和公式即可，屬于?？碱}型.（1）先由題中條件得到 SKIPIF 1 0 ，再設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，結合題中數(shù)據(jù)求出公差，進而可得 SKIPIF 1 0 的通項公式；設等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公比為 SKIPIF 1 0 ，求出公比，即可得出 SK

33、IPIF 1 0 的通項公式；（2）先由（1）的結果，得到 SKIPIF 1 0 ，再由分組求和法，結合等差數(shù)列與等比數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項和公式，即可得出結果.2【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公比為 SKIPIF 1 0 ，數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，由題意得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（2）因為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIP

34、IF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因為 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上單調(diào)遞增，所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取最小值 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是熟悉式子的結構特點，常見的裂項技巧：（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； （3） SKIPIF 1 0 ；（4） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .此外，需注意裂項之后相消

35、的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.3【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】由題意可得，基礎工資構成以2100元為首項，以210元公差的等差數(shù)列，績效工資構成以2000元為首項，以公比為 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列，則此人2019年每月的基礎工資為 SKIPIF 1 0 元，每月的績效工資為 SKIPIF 1 0 元，則此人2019年的年薪為 SKIPIF 1 0 萬元，故答案為： SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中的應用，屬于中檔題4【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2）是， SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設等差

36、數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，則由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的等比中項，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （舍）或 SKIPIF 1 0 ，故數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 ，得當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，故數(shù)列 SKIPIF 1 0 是以2為首項，4為公比的

37、等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式以及求和公式即可，屬于?？碱}型.（1）先設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)題中條件求出公差，即可得到通項公式；（2）根據(jù) SKIPIF 1 0 ，結合等比數(shù)列的定義，可判斷出 SKIPIF 1 0 為以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，進而可求出結果.5【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）由n1得 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以當n2時， SKIPIF 1 0 ，由兩式

38、作商得： SKIPIF 1 0 （n1且nN*），又因為 SKIPIF 1 0 符合上式，所以 SKIPIF 1 0 （nN*）（2）設 SKIPIF 1 0 ，則bnnn2n，所以Snb1b2bn（12n） SKIPIF 1 0 設Tn2222323+（n1）2n1n2n，所以2Tn22223+（n2）2n1（n1）2nn2n1，得：Tn222232nn2n1，所以Tn（n1）2n12所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題主要考查了賦值法及方程思想，還考查了分組求和法及乘公比錯位相減法求和，考查計算能力及轉化能力，屬于中檔題.求解時，（1）在 SKIPIF

39、1 0 中，將 SKIPIF 1 0 代 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，由兩式作商得： SKIPIF 1 0 ，問題得解.（2）利用（1）中結果求得bnnn2n，分組求和，再利用等差數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項和公式及乘公比錯位相減法分別求和即可得解.考點沖關考點沖關1【答案】C【解析】設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 0 ，故選C.【名師點睛】本題主要考

40、查了等比中項的應用，以及等差數(shù)列通項公式的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.由 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，求得 SKIPIF 1 0 ，再由等差數(shù)列的通項公式，即可求解.2【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 ，不妨令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .故選B.【名師點睛】本小題主要考查等比中項的性質(zhì)，考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.根據(jù)等比中項列方程，然后利用基本元的思想，將已知轉化為 SKIPIF 1 0 的形式，用特殊值法選出正確選項.3【答案】B【解析】由題可得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0

41、，故 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是以公差為1的等差數(shù)列，故 SKIPIF 1 0 ，故選B【名師點睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項和前n項和，先求出q=3，得到等比數(shù)列的通項是解題的關鍵，屬于基礎題.根據(jù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 可以先求出公比q，然后根據(jù)等比數(shù)列通項公式得到 SKIPIF 1 0 ，從而得到 SKIPIF 1 0 為等差數(shù)列，再根據(jù)等差求和公式即可.4【答案】C【解析】根據(jù)題意，等和數(shù)列an中， SKIPIF 1 0 ，公和為5，則 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，又由an1+an5，則 SKIPIF

42、 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 3.故選C【名師點睛】本題主要考查了新概念知識，考查理解能力及轉化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題.5【答案】C【解析】由題意可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則等比數(shù)列的公比 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .本題選擇C選項.6【答案】B【解析】由題中三角形數(shù)陣中可知，第一行有1個數(shù)字，第二行有2個數(shù)字，第三行由3個數(shù)字， SKIPIF 1 0 ，第 SKIPIF 1 0 行有 SKIPIF 1 0 個數(shù)字，由等差數(shù)列的前 SKIPIF 1 0 項和公式可得前 SKIPIF 1 0 行

43、共有 SKIPIF 1 0 個數(shù)字，即第14行的最后一個數(shù)字為 SKIPIF 1 0 ，所以第15行的第1個數(shù)字為 SKIPIF 1 0 ，第15行的第5個數(shù)字為 SKIPIF 1 0 ，故選B【名師點睛】本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的應用，其中根據(jù)數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的數(shù)字排列規(guī)律，合理利用等差、等比數(shù)列的通項公式和前 SKIPIF 1 0 項和公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及轉化與化歸思想的應用.解本題時，根據(jù)三角形數(shù)陣的數(shù)字的排列規(guī)律，利用等差數(shù)列的求和公式，可計算得出第14行的最后一個數(shù)字，從而求得第15行的第5個數(shù)字的值.7【答案】C【解析】化簡 SKIPIF

44、 1 0 ，得到通項公式為： SKIPIF 1 0 ，根據(jù)遞推式，列出如下式子： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則有 SKIPIF 1 0 ，由于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的最小值為100.故選C.【名師點睛】本題考查累加法求和，屬于基礎題.對于本題，化簡 SKIPIF 1 0 ，利用累加法直接求 SKIPIF 1 0 得值即可.8【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等差數(shù)列，數(shù)列 SKIPIF 1 0 是等比數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，即

45、SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 .故答案為 SKIPIF 1 0 .9【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .本題正確結果： SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用問題，關鍵是能夠求解出等比數(shù)列的基本量，屬于基礎題.求解時，根據(jù)三項成等差數(shù)列可構造方程求得等比數(shù)列的公比 SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，

46、將所求式子化為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的形式，化簡可得結果.10【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】當 SKIPIF 1 0 為奇數(shù)時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .當 SKIPIF 1 0 為偶數(shù)時， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本題主要考查了分類思想及分組求和方法，考查計算能力，屬于中檔題.求解時，對 SKIPIF 1 0 的取值分奇數(shù)、偶數(shù)求得 SKIPIF 1 0 ，再利用分組求和法求和即可.11【答案】（1）見解析；（2）見解析.

47、【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是首項為 SKIPIF 1 0 ，公比為 SKIPIF 1 0 的等比數(shù)列.（2）由（1）知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列.【思路點撥】（1）根據(jù)條件構造等比數(shù)列： SKIPIF 1 0 ，再根據(jù)等比數(shù)列的定義給予證明；（

48、2）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得 SKIPIF 1 0 ，即得 SKIPIF 1 0 的通項公式，再根據(jù)分組求和法得 SKIPIF 1 0 ，最后判斷 SKIPIF 1 0 是否成立.12【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和為 SKIPIF 1 0 ，公比 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SK

49、IPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .（2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 【名師點睛】裂項相消法適用于形如 SKIPIF 1 0 (其中 SKIPIF 1 0 是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列.裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和，還有一類隔一項的裂項求和，如 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 .13【答案】（1） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1

50、）把點 SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，經(jīng)驗證， SKIPIF 1 0 也滿足 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .（2）由（1）得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本

51、題主要考查了數(shù)列通項的求法，以及數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項和的方法.求數(shù)列通項常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等.求數(shù)列前 SKIPIF 1 0 項和常用的方法有：錯位相減、裂項相消、公式法、分組求和等.屬于中等題.14【答案】（1）an=2n1；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的首項為 SKIPIF 1 0 ,公差為 SKIPIF 1 0 , 由 SKIPIF 1 0 成等差數(shù)列，可知 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，聯(lián)立解得 SKIPIF 1 0 .因

52、此， SKIPIF 1 0 .（2）令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， ,得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的公差及首項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、錯位相減法的合理運用15【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）由 SKIPIF 1 0 ，得當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ；當 SKIP

53、IF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，代入已知有 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 （舍），或 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，由定義得 SKIPIF 1 0 是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .（2）由題得 SKIPIF 1 0 ，所以數(shù)列 SKIPIF 1 0 的前 SKIPIF 1 0 項和 SKIPIF 1 0 .因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1

54、 0 .所以正整數(shù) SKIPIF 1 0 組成的集合為1,2.【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的通項，考查等差、等比數(shù)列求和，考查數(shù)列分組求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.求解時，（1）由數(shù)列遞推式求出首項，進一步得到 SKIPIF 1 0 是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式可得 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 求得數(shù)列 SKIPIF 1 0 的通項公式；（2）先求出 SKIPIF 1 0 ，再代入不等式解不等式即得解.直通高考直通高考1【答案】B【解析】令 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0

55、 得 SKIPIF 1 0 ，所以當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 . 若公比 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，不合題意；若公比 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 但 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，不合題意；因此 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故選B.【名師點睛】構造函數(shù)對不等式進行放縮，進而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如 SKIPIF 1 0 2【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2）當 SKIPI

56、F 1 0 或者 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 取到最小值 SKIPIF 1 0 .【解析】（1）設 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 因為 SKIPIF 1 0 成等比數(shù)列，所以 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 （2）由（1）知， SKIPIF 1 0 所以，當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ；當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 所以， SKIPIF 1 0 的最小值為 SKIPIF

57、1 0 【名師點睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關公式并能靈活運用.3【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 【解析】（1）設等差數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公差為 SKIPIF 1 0 ，等比數(shù)列 SKIPIF 1 0 的公比為 SKIPIF 1 0 .依題意，得 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 .所以， SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的通項公式為 SKIPIF 1 0 .（2

58、） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .記 SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 得， SKIPIF 1 0 .所以， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .【名師點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前 SKIPIF 1 0 項和公式等基礎知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力，屬于中檔題目.4【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎知識，同時考查運算求解能力和綜合應用能力.（1）由 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的等差中項得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，