真空中的靜電場

1、相對于觀察者靜止的電荷在其周圍空間產生的電場。第七章 真空中的靜電場靜電場： 概述電場對處在場中的電荷有力的作用電場對處在場中的運動電荷做功描述電場的基本物理量電場的性質從矢量場的觀點出發(fā)高斯定理 環(huán)路定理10/6/20221 主要內容 點電荷的庫侖定律 庫侖力的疊加原理 定義和計算 的通量 高斯定理及其應用 電場力做功的特點 環(huán)路定理 電勢及其計算 和電勢梯度的關系 帶電粒子在電場中的運動及其應用10/6/20222 要求：掌握場強的計算掌握用高斯定理計算三種典型對稱分布的帶電系統(tǒng)的場強的方法掌握用電勢疊加原理計算電勢的方法掌握電場能量的計算方法10/6/202237.1 點電荷 庫侖定律宏

2、觀物體帶電量 為e 的整數(shù)倍。1、電荷的量子性電子電量2、電荷守恒定律電絕緣系統(tǒng)中，電荷的代數(shù)和保持常量。一 點電荷10/6/20224 3、電荷相對論不變性+ + +電荷為Q電荷為Q一個電荷，其電量與它的運動速度或加速度均無關。這是電荷與質量的不同之處。電荷的這一性質表明系統(tǒng)所帶電荷的電量與參考系無關，即具有相對論不變性。10/6/202257.1 點電荷 庫侖定律4、 點電荷的物理模型點電荷:當帶電體的形狀和大小與帶電體的距離相比可以忽略時,帶電體可以看成點電荷.點電荷不是指帶電體的電量很小;當研究的場中某點P到帶電體幾何中心的距離遠大于帶電體自身時,帶電體可以看成點電荷.若已知一個點電荷

3、,而研究場中某點P到點電荷距離充分小時,此帶電體不能視為點電荷.10/6/20226 文字描述:真空中兩個靜止點電荷相互作用力的大小正比于兩個點電荷電量的積，反比于兩個點電荷距離的平方，方向沿著它們的連線，同種電荷相斥，異種電荷相吸。 二、庫侖定律注意: 庫侖定律僅適用于點電荷。10/6/20227電荷1受電荷2的力真空中的介電常數(shù) 庫侖定律的數(shù)學表達討論:對嗎?靜止電荷之間的作用力亦稱庫侖力。10/6/20228試求氫原子中原子核與電子之間的萬有引力與庫侖力的比 例 題解：氫原子核與電子之間的庫侖力和萬有引力為: 結論: 萬有引力遠小于庫侖力。所以，一般在考慮庫侖力時，如無必要，不考慮萬有引

4、力。10/6/20229 三、靜電力的疊加原理 空間上有多個點電荷時,作用在某個點電荷的總靜電力等于其他各點電荷單獨存在時對該點電荷所施靜電力的矢量和.設 所受作用力如圖:疊加原理10/6/202210 四、帶電體之間靜電力的計算1. 點電荷之間靜電力的計算點電荷q0 受到其他N個點電荷的靜電力:例題: 如圖，在等腰直角三角形的頂點各有一個點電荷 q,求：頂點C處點電荷所受的庫侖力 aaC10/6/202211Key:10/6/2022122. 點電荷q0與帶電體Q之間靜電力的計算 思路利用定積分的思想,結合庫侖定律和靜電力的疊加原理分析. 步驟將帶電體Q無限細分,取點電荷計算 q 給予點電荷

5、 dq 的靜電力利用靜電力的疊加原理,計算q給予所有點電荷dq的靜電力10/6/202213 例 題如圖: 計算一個長度給定的均勻帶電直線同其延長線上一個點電荷之間的靜電力Q,Lq0b10/6/202214總結本節(jié)課重點為點電荷的物理模型點電荷之間的庫侖定律帶電體之間電場力的計算10/6/2022157.2 電場 電場強度一、電場歷史上的三種觀點 (a) 超距作用（無介質）問題的提出：庫侖定律給出了真空中點電荷之間的相互作用的定量關系，然而這作用是通過什么途徑來傳遞的呢？電荷 電荷(b) 近距作用（介質以太）電荷 以太 電荷 (c) 場10/6/202216 (c) 場：（1832年 法拉第）

6、彌漫在電荷周圍并對處于其中的另一電荷有作用力 1.電場：電荷周圍存在的一種特殊物質電荷 電場 電荷2.電場的基本特性：對處在電場中的電荷施加作用。電荷1對電荷2的作用過程:在電荷1的周圍空間存在一種特殊的物質,電荷1給予電荷2的作用力是靠這個特殊的物質傳遞的;因為電荷2處于電荷1產生的場中,所以電荷2受到了靜電力的作用.產生電場的電荷1稱為場源電荷,電荷2所處的位置為場中的點-場點10/6/202217在電荷2的周圍空間存在一種特殊的物質,電荷2給予電荷1的作用力是靠這個特殊的物質傳遞的;電荷2對電荷1的作用過程:因為電荷1處于電荷2產生的場中,所以電荷1受到了靜電力的作用.產生電場的電荷2稱

7、為場源電荷,電荷1所處的位置為場中的點-稱為 場點10/6/2022183.電場與實物的異同點異點：實物是由原子、分子組成，看得見，摸得著，場物則不同；場物有空間可入性，且互不發(fā)生影響。實物則沒有；實物的密度很大，而場物的密度很小。實物的運動速度不能達到光速，而場物一般以光速運動。10/6/202219同點:場跟實物一樣，也有質量能量、動量和角動量場物也遵從質量守恒，動量守恒，角動量守恒3.電場與實物的異同點(續(xù))場物跟實物一樣，在存在形式上也具有多樣性10/6/2022204. 靜電場當一個電荷處于另一個電荷的靜電場中時，就受到這個靜電場的作用力,叫做靜電場力分布在靜止電荷周圍的場叫做靜電場

8、這個靜止電荷就叫做靜電場的場源電荷10/6/202221二 電場的定量描述 : 電場強度電場的基本屬性是對處在電場中的電荷施加作用力,所以可以從力的角度描述電場.1. 試探電荷引入目的:要求線度應小到可視為點電荷電量應足夠小，使得由于它的引入不致引起原有電量的重新分布，因而將不會引起原來電場的變化 檢驗空間某點是否存在電場10/6/2022222. 試探電荷所受靜電力的實驗結果理論和實踐表明：將試探電荷放在電場中不同點，它受的力一般不同，是描述靜電場固有性質的物理量 ,定義為電場強度說明 定義：單位：牛頓/庫侖 （N/C）q0只是使場顯露出來，即使無 q0也存在10/6/202223 討論:

9、場中某點的電場強度既與實驗電荷電量無關,也與試探電荷受力無關.完全取決于場源電荷和場點,即決定于電場本身.對某點而言的， 是矢量 對變化的電場 電場分：勻強電場，非勻強電場大?。簡挝徽姾墒芰Υ笮?方向：正電荷受電場力的方向單位：N/C 、V/m此式為電場強度的定義式10/6/202224在直角坐標系下：10/6/202225三、電場強度的疊加原理根據(jù)場強的定義，則有 場強疊加原理 10/6/202226點電荷試驗電荷方向試驗電荷受力場強疊加原理由定義1、 點電荷系統(tǒng)電場強度的計算10/6/202227場強疊加原理 由 力的疊加原理得到場強的疊加原理，即n個電荷的合場強等于各個點電荷單獨存在時

10、產生的場強的矢量和。10/6/2022282. 電荷連續(xù)分布的帶電體的場強Q從場源指向場點的單位矢量10/6/202229利用以上各式，原則上可計算任意分布電荷的場強，但在電荷分布比較復雜的情況下，往往遇到許多難以解決的積分問題。 引入電荷密度的概念10/6/202230矢量積分化成標量積分10/6/202231 例 題求：電偶極子中垂面上任意點的場強+-定義：偶極矩10/6/202232解定義：偶極矩r lr+= r- r+-10/6/202233已知：均勻帶電圓環(huán)總電量Q ；半徑R ,求： 軸線上x處的場強。x（2）R x 無 限 大 帶電平面場強 例題10/6/202235小結：對稱性的

11、分析往往可以使得我們立即看出合成矢量的某些分量等于0，并判斷出合矢量的大小，使得計算簡化。微元分析法10/6/202236利用場強的疊加原理計算場強很復雜，高斯定理將為我們提供一種較簡單的計算場強的方法，在解決具有某些對稱性的問題時很方便。7. 3 電通量 高斯定理10/6/202237一場、場線標量場： 在空間各點存在著一個標量，它的數(shù)值是空間位置的函數(shù)，如溫度場、氣壓場矢量場：在空間各點存在著一個矢量，它的數(shù)值是空間位置的函數(shù)，如流速場、電場、磁場場線：就是一些有方向的曲線，其上每一點的切線方向都和該點的場矢量方向一致，場線的疏密反映矢量的大小。10/6/202238電場線電場中假想的曲線

12、疏密表征場強的大小其切線方向代表場強的方向+ + 任何兩條電場線不會在無電荷處相交。10/6/202239+一對等量異號電荷的電場線40一對等量正點電荷的電場線+41一對異號不等量點電荷的電力線2qq+42帶電平行板電容器的電場+43電場線的普遍性質起于正電荷（或者來自于無窮遠），止于負電荷（或者伸向無窮遠），但不會在沒有電荷的地方中斷。若帶電體系中正負電荷一樣多，則由正電荷出發(fā)的全部電場線都集中到負電荷上。兩條電場線不會相交。靜電場中的電場線不會形成閉合線。10/6/202244矢量場的環(huán)量矢量場的通量：dS 流體力學：在流速場中，流線的疏密反映流速的大小，流線在各點的切線方向就是流速的方向

13、。單位時間通過曲面的水量有多少，這是一個具有普遍意義的問題。二、電通量e10/6/202245SS1、均勻電場2、均勻電場= S3、非均勻電場、任意曲面dS單位：Vm10/6/20224610/6/202247 = 0 0 0閉合曲面的法向：規(guī)定外法線（指向曲面外部空間的法線）為正向。nn穿出為正穿入為負10/6/202248K.F.Gauss德國物理學家、數(shù)學家、天文學家 真空中的靜電場內，通過任意封閉曲面的電通量等于曲面內所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。與閉合面外的電荷無關。三、高斯定理定理10/6/202249S： 閉合曲面，稱為高斯面沿此高斯面的積分由空間所有電荷激發(fā)的電場強

14、度有向面元，大小ds,方向為曲面的法向，概括了面元的面積和空間取向。S內所有電荷的代數(shù)和，與高斯面以外的電荷無關。與S內電荷怎么分布也沒有關系。故可以不必知道高斯面上場的分布就可以知道穿過高斯面的電通量。分析10/6/2022502.高斯定理的定性說明求通過球面的電通量：若閉合曲面內不只包括一個點電荷若q不在中心若包圍q的不是球面，而是任意閉合曲面若q不在閉合曲面內，且閉合曲面內沒有其它帶電體以q為中心，半徑為Rr+q+q10/6/2022513.高斯定理的物理意義物理學導論 24頁討論：用高斯定理如何說明： 電場線不會在沒有電荷的地方中斷10/6/202252結論：靜電場是有源場，正電荷所在

15、處就是靜電場的源頭通量不為0的矢量場稱為有源場10/6/2022534.高斯定理的應用計算通量如圖，問Q激發(fā)的電場通過此正方形的電通量？aQ10/6/202254一、求場強的思路 高斯定理反映的是電通量與電荷的關系，而不是場強與電荷的直接聯(lián)系。要通過電通量計算場強，就需要在高斯定理表達式中，將場強從積分號中提出來，這就導致要求電場的分布具有某種特殊的對稱性。 幾類對稱性： 電場分布軸對稱 電場分布球對稱 電場分布面對稱4.高斯定理的應用10/6/202255二、高斯定理的解題步驟：定性分析帶電體系激發(fā)的電場分布情況選取合適的高斯面：場點必須在高斯面上。高斯面上各個部份場強要么大小相等，要么與面

16、上場強平行或垂直。根據(jù)對稱性，選擇適當?shù)淖鴺讼?，應用高斯定理求解對某些對稱分布帶電體的簡單組合，可以對各帶電體分別使用高斯定理，再用場強的疊加原理求解合場強10/6/202256例題1 求電量為Q 、半徑為R的均勻帶電球面的場強分布。三、高斯定理的應用舉例1、電荷分布球對稱如：均勻帶電球面或者球體：對稱性分析：RPO對任意給定的場點P，整個球面可以看成為以OP為軸的無數(shù)個同軸圓環(huán)做的，每個圓環(huán)在其軸線上的場強沿著軸線的方向整個球面在P點產生的場強是無數(shù)個圓環(huán)產生的場強在P點的疊加，正電荷沿著徑向向外，負電荷反之可以設想，凡是距離O點為的各點場強的大小都相等。10/6/202257RPO球對稱分

17、布：在任何與均勻帶電球殼同心的球面上各點的場強大小都相等，方向沿著半徑方向呈輻射狀。10/6/202258源球對稱場球對稱R0ER：選取合適的高斯面在處場強的值存在躍變。10/6/202259兩個同心帶電球殼，半徑為R1和R，電量分別為Q1和Q2,填空：R1， Q1R， Q2 擴展：10/6/202260距離球心r處任意點的場強，只由半徑小于r處的球殼所帶電量決定其場強相當于將這些球殼上的電量、置于球心處所產生的場強，而與半徑大于r處的球殼所帶電量無關分析高斯面內的靜電荷時，要注意有時要分區(qū)間討論 結論10/6/202261例題2 求：電量為Q 、半徑為R 的均勻帶電球體的場強分布。R解： 選

18、擇高斯面過待求場點的同心球面r0ER10/6/202262 討論雖然高斯積分為曲面積分，但是由于電場分布的特點我們并沒有真正計算這個高斯積分，而是通過數(shù)學分析直接得到結果。高斯面若選取不當，我們就不能處理高斯積分，即不可能計算出場強，但是高斯定理仍然成立。均勻帶電球面的面外、球體的球外一點的場強相當于把所有電荷集中在球心的一個點電荷所產生的電場；均勻帶電球面的面內任意點場強處處為零；10/6/202263二、 軸對稱分布：例題1 ：求：電荷線密度為 的無限長帶電直線的場強分布。無線長的物理含義：指與帶電直線的線度L相比非常小，看不到線段的邊。無線長均勻帶電細直線無線長圓柱體無線長柱面及其同軸組

19、合10/6/2022641.分析對稱性：PO：鏡像對稱的電荷元產生的電場強度的方向必在對稱軸上。：凡是和P點一樣，距離為的各點和P點相比，沒有任何特殊性，故場強相同的各點在空間構成一個圓柱面。10/6/202265凡是與軸線距離相等的各點上場強的大小都相等，方向沿著軸的矢徑成輻射狀。軸對稱的含義：10/6/202266？r2. 選擇高斯面同軸柱面上下底面?zhèn)让?，且同一柱面上E 大小相等。010/6/202267無限長均勻帶電直線的場強當方向垂直帶電導體向外當方向垂直帶電導體向里10/6/202268如果線粗細不可忽略，空間場強分布如何？思考10/6/202269解：場具有軸對稱 高斯面：同軸圓

20、柱面例2. 均勻帶電無限長圓柱面的電場。 沿軸線方向單位長度帶電量為(1) r R高斯面lr若題目告訴的是面密度：10/6/202271課堂練習： 求均勻帶電無限長圓柱體的場強分布，已知R， 10/6/202272結論：無限長均勻帶電圓柱面面外、無限長均勻帶電圓柱體體外一點的電場強度相當于把所有電荷集中在軸線上的一個無限長帶電直線所產生的電場10/6/202273例如：均勻帶電無限大平面或平板、若干個無限大均勻帶電平行平面 3、平面對稱分布 + + + + + + + + + + 10/6/202274求：電荷面密度為 的無限大均勻帶電平面的場強分布。解：a. 對稱性分析：回顧帶電圓盤例題的結

21、論或者面由線組成分析。側面底面+ + + + + + + + + + 且 大小相等；b. 選擇高斯面 與平面正交對稱的柱面10/6/202275當場源是幾個具有對稱性的帶電體時，可用高斯定理分別求各帶電體單獨存在時的場強，再作矢量疊加。擴展10/6/202276例題 求：電荷面密度分別為1 、2 兩個平行放置的無限大均勻帶電平面的場強分布。A B C + + + + + + + + + + + + + + + + +解：10/6/202277 當 1 = - 2 此即帶電平板電容器間的場強 結論 此即以后的平行板電容器模型。一對等量異號電荷的無限大平面，他們的電場只集中在兩個平板之間，在平板外

22、側無電場。10/6/202278 判斷正誤 如果高斯面內無電荷，則高斯面上場強處處為如果高斯面上場強處處不為，則高斯面內必有電荷如果高斯面內有電荷，則高斯面上場強處處不為10/6/2022797.4 靜電場的環(huán)路定理 電勢能 一、靜電力的功講解元功的概念、功的定義式。10/6/202280補充： 功一、恒力的功abS定義：矢量式作用在沿直線運動質點上的恒力 F ，在力作用點位移上作的功，等于力和位移的標積。單位：J 焦耳10/6/202281二、變力的功ba物體在變力的作用下從a運動到b。怎樣計算這個力的功呢？采用微元分割法10/6/202282第i 段近似功：總功近似：第2段近似功：第1段近

23、似功：ba10/6/202283當 時,可用 表示,稱為元位移; 用 表示,稱為元功。微分形式：積分形式：總功精確值：在數(shù)學形式上，力的功等于力 沿路徑L從a到b的線積分。 若 =常矢量，物體作直線運動10/6/202284P1Q0Q 原點O電場力作功 A 1 2 = ？試驗電荷Q0從 P1 P2 沿任意路徑 P2 一、靜電力的功1.點電荷的電場10/6/202285Q10/6/202286靜止點電荷場是保守力場保守力場P1Q0Q保守場：對任意閉合路徑的環(huán)量為0的矢量場。10/6/202287 2. 任意帶電體的電場 根據(jù)電場強度疊加原理，任意帶電體在某點產生的電場強度，等于各電荷元單獨在該點

24、產生的電場強度的矢量和。實驗電荷q0 在電場中從 a 點沿某一路徑 L 移動到 b 點時靜電場力作的功為：10/6/202288每個電荷元的靜電場力作功與移動實驗電荷的具體路徑無關,所以，整個帶電體的電場做功與路徑無關，僅與運動電荷的始末位置有關。10/6/202289abQ0L1L2任意帶電體的靜電場做功與路徑無關10/6/202290 討論：物理意義：一個試探電荷在靜電場中沿任意路徑運動一周時，靜電力對它所做的功為零1、靜電力為保守力。2、物理意義：一個單位試探電荷在靜電場中沿任意路徑運動一周時，靜電力對它所做的功為零 所有的靜電場都是保守場保守場：對任意閉合路徑的環(huán)量為0的矢量場。10/

25、6/202291 靜電場的環(huán)路定理：靜電場的電場線不可能是閉合的，靜電場是保守場，或者說靜電場是無旋場。 環(huán)量描述了場的某一方面的特性，這種特性可以比擬為“旋”，來源于旋轉體的速度場環(huán)量不為010/6/202292證明1：用靜電場的環(huán)路定理證明電場線不可能閉合。10/6/202293靜電場中無電荷區(qū)域，凡電場線是平行直線的地方，（即電場強度方向處處相同），電場強度的大小必定處處相等。（即：電場為均勻電場）證明2：10/6/202294ab1. 以任意一條電力線為軸，作圓柱形高斯面。側面a，b 兩個底面在兩底面處 大小相等；先證明同一條電場線上各點電場強度的數(shù)值處處相等。10/6/2022952

26、. 選取如圖所示的矩形閉合路徑ABCD。即垂直于電場線方向上任意兩點的電場強度相等。ABCD此積分為零此積分為零10/6/202296類似的證明： 電場線為一系列平行但間距不等的直線的電場不存在。10/6/202297證明3 用靜電場的環(huán)路定理證明靜電場不可能閉合。10/6/202298 二、電勢能 電勢1、 電勢能 W由于電場力為保守力，若把電荷和靜電場組成一個系統(tǒng)，則電場力為內力，稱為保守內力。保守力作功與路徑無關，只取決于系統(tǒng)的始末位置。存在由位置決定的函數(shù) W 勢能函數(shù)由于此勢能函數(shù)存在于靜電場中，故稱為電勢能 w。電勢能既不是電荷所獨有，也不是靜電場所獨有。而是電場和電荷所組成的系統(tǒng)

27、共有。10/6/202299A mg重力作功與路徑無關只與始末位置有關。重力作功等于重力勢能增量的負值yx0y1y2 運動員下降的高度舉例：重力做功10/6/2022100保守力作功以損失勢能為代價。保守力的功等于勢能增量的負值。電場力所做的功等于電勢能增量的負值。WWb10/6/2022101把試探電荷從沿著任意路徑移到，電勢能的改變?yōu)椋弘妱菽艿母淖兊扔诎言囂诫姾裳刂我饴窂綇狞c移到點電場力所做的功。b物理意義：10/6/2022102某一點的電勢能： 某一帶電體在空間激發(fā)電場，要確定電荷在某一點電勢能的值，必須選定電勢能的零參考點；若選為勢能零參考點：物理意義：點電荷在場點的電勢能等于將從

28、點移到勢能零點過程中電場力所做的功。注意：電勢能類似于重力勢能，是屬于系統(tǒng)的，即為相互作用的帶電體系共有。10/6/2022103 系統(tǒng) 電場+ 試驗電荷 在P處的電勢能為點電荷的電場中試探電荷所具有的電勢能+10/6/2022104電勢能與靜電場本身的性質有關，還與引入的試探電荷大小和電性有關。討論如果要描述電場本身的性質，電勢能顯然是不合適的。10/6/2022105 一、 定 義 某點的電勢 單位正電荷放在P處，系統(tǒng)的電勢能。 電場中某點的電勢，等于把單位正電荷從該點移到0電勢處，電場力所做功。單位：V （伏特）7.5 電勢 電勢差10/6/2022106二、靜 電場中任意兩點的電勢差P

29、2P1O 靜電場中，把單位正電荷從P1 處沿任意路徑移到 P2 處電場力做的功。10/6/2022107討論在靜電場中，a，b兩點之間的電勢差等于把單位正電荷從a點沿著任意路徑移到b點電場力所做的功。計算電勢差時，不論選擇哪個點為電勢零點，其電勢差都是一樣的，故計算電勢差時不需要選擇電勢零點。從電勢差的角度理解，電勢是一個相對的概念。靜電場中任一點的電勢都是相對于電勢零點的電勢差。場強反映的是電場中某點電場力的性質，電勢反映的是電場中電場能量的性質10/6/2022108 三、電勢的計算方法一：微元法1、點電荷中電場的電勢例題1求：點電荷電場的電勢分布 P解：已知設無限遠處為0電勢，則電場中距離點電荷為r 的P點處電勢為點電荷電場的電勢分布0U+10/6/20221090U點電荷周圍空間任一點的電勢若場源電荷Q 0，則空間各點電勢U0 ，離點電荷越遠電勢越低，在無窮遠處電勢為零，最小值若場源電荷Q 0，則空間各點電勢URX = 0 例題6Ux10/6/2022131例題7計算無限大帶電平面在空間的電勢分布+ + + + + + + + + + OX取解:P10/6/202213210/6/2022133計算電勢的方法1、點電荷場的電勢及