初中數(shù)學(xué)北師大九年級(jí)上冊(cè) 特殊平行四邊形中考模擬試題命題揭秘對(duì)教材習(xí)題的改造

1、對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單的習(xí)題進(jìn)行改造，使得一個(gè)知識(shí)點(diǎn)得以華，是目前中考的核心。近日我們學(xué)習(xí)了特殊的平行四邊形，今天我們就用平行四邊形中最特殊的圖形正方形為例，共同研究一個(gè)簡(jiǎn)單題目如何華麗變幻的過(guò)程?；A(chǔ)題型展示【例1】已知如圖四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AEF=900,且EF交正方形外角的平分線于點(diǎn)F。求證：AE=EF。分析已知條件，AEF=900（6+AEB=900，3+AEB=900，6=3）外角的平分線，（1=2=450）ECF=1350提出問(wèn)題1：這是一道比較常見的題目，通過(guò)上面的分析，我們應(yīng)該如何解答，又應(yīng)該如何添加輔助線？提示：目前證明線段相等利用三角形全等是一條比較好的思路。

2、小組交流，聽取學(xué)生的意見?？偨Y(jié)：在AB邊上截取AM=EC ，連接ME。出示課件點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)EC=AM BM=BEBME=450, AME=1350又CF是正方形外角平分線。ECF=1350又AEF=900, AEB+FEC=900,AEB+BAE=900,BAE=FECAMEECFAE=EF提出問(wèn)題2：這是一道最關(guān)鍵條件是？最關(guān)鍵思路是？【關(guān)鍵點(diǎn)】關(guān)鍵條件：外角平分線，AEF=900；關(guān)鍵思路：證明AMEECF這樣一道比較常見的題目，我們是可以對(duì)他進(jìn)行改造，改造后我們通過(guò)本題的解法進(jìn)行類比，找出改造后題目的正確思路和解法。下面進(jìn)行改造展示改造一：變特殊為一般【例2】已知如圖四邊形ABCD

3、是正方形，點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)，AEF=900,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE=EF.提出問(wèn)題1：本題的已知條件與上題有什么不同（點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)變成了任意一點(diǎn)）？出示幾何畫板驗(yàn)證AE=EF,改變點(diǎn)E在BC的位置，AE、EF始終相等，那么下面我們就用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)AE=EF進(jìn)行證明。提出問(wèn)題2：結(jié)合上題的解法，大膽的猜想一下本題的輔助線的作法？指定人回答。（在AB邊上截取AM,使AM=EC，連接ME。）簡(jiǎn)單口述證明過(guò)程。通過(guò)此題的改造，我相信同學(xué)有了一些感覺，其實(shí)我們還可以對(duì)這個(gè)基礎(chǔ)題型進(jìn)行改造，比如可以改變題目條件的呈現(xiàn)方式。點(diǎn)PPT，點(diǎn)幾何畫板。改造二：改變條件的呈現(xiàn)

4、方式【例3】已知如圖兩個(gè)全等的正方形的其中一邊CD完全重合，點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，連接AM,且AMN=900,交CE于N. 求證：CN=NE.提出問(wèn)題1：和基礎(chǔ)題目進(jìn)行比較，本題的改造點(diǎn)在哪里？指定人回答【改造點(diǎn)】將“外角平分線”這一條件呈現(xiàn)的方式改為“正方形的對(duì)角線”。（正方形有一個(gè)重要的性質(zhì)是對(duì)角線平分一組內(nèi)角）提出問(wèn)題2：CN與NN在同一條直線上，要直接證明相等，不太可能，那么常規(guī)的思路是？（找相等的量進(jìn)行轉(zhuǎn)化）假設(shè)CN=NE，那么CN=1/2CE；這是兩個(gè)全等的正方形，全等多邊形的對(duì)應(yīng)線段相等有AC=CE，也就是說(shuō)CN=1/2AC通過(guò)類比我們可以制造與MNC全等的，在AB邊上截取AP=E

5、C ，易證AMPMNC，把CN轉(zhuǎn)化到PM，這樣可以得到PM=1/2AC，所以CN=1/2AC，和我們的假設(shè)不謀而合，所以CN=NE?！娟P(guān)鍵點(diǎn)】證明AMEECF，PM是ABC的中位線，全等多邊形對(duì)應(yīng)線段相等?！窘馕觥咳B邊的中點(diǎn)P，連接ME,AC.ABCDEFMABCDEFMNPMC=AP BM=BPBPM=450, APE=1350又CE是正方形CDEF的對(duì)角線。MCE=1350又AMN=900, AMB+NMC=900, AMB+BAM=900,BAM=NMCAMPMNVPM=CN點(diǎn)P,M分別是AB,BC的中點(diǎn)，AC=2PM,CE=2CNCN=NE【改造點(diǎn)】將“外角平分線”這一條件呈現(xiàn)的方

6、式改為“正方形的對(duì)角線”。我們還可以進(jìn)行改造三：改變問(wèn)題呈現(xiàn)的背景【例4】（2023烏魯木齊）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)E是OA邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），EFCE,且與正方形外角平分線AG交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（3,0）時(shí)，試證明：CE=EP.如果將上述條件“點(diǎn)E坐標(biāo)（3，0）”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為（t,0)(t0),結(jié)論CE=EP是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由。在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，用t表示M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。提出問(wèn)題1：通過(guò)對(duì)上面幾個(gè)題進(jìn)行探討，第1小題會(huì)嗎？提出問(wèn)題2：“點(diǎn)E坐標(biāo)（3

7、，0）”改為“點(diǎn)E坐標(biāo)為（t,0)(t0)可以換個(gè)說(shuō)法嗎？（回答：可以說(shuō)成點(diǎn)E是OA邊上任意一點(diǎn)，） 這個(gè)小題會(huì)做嗎？有一重要的定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可以過(guò)點(diǎn)B作EF的平行線，交y軸于點(diǎn)M，如果我們能證明BM=EF，你認(rèn)為 四邊形BMEP是平行四邊形嗎？改造四：留其靈魂，換其軀殼【例5】（2023無(wú)錫）（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是DCP的平分線上一點(diǎn)若AMN=90，求證：AM=MN下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME正方形ABCD

8、中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面請(qǐng)你完成余下的證明過(guò)程）圖1圖1圖2（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)AMN=60時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCDX”，請(qǐng)你作出猜想：當(dāng)AMN=時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（直接寫出答案，不需要證明）我們來(lái)認(rèn)真回顧一下前面的題目，四邊形ABCD是正方形時(shí)，AMN=90；當(dāng)三角形ABC是正三角形時(shí)，AMN=60；前面兩種情況AMN的度數(shù)都等于這個(gè)多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，那么我們是可以猜想當(dāng)正五邊形ABCDE，AMN=108時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立？下面我們就一起來(lái)分析一下?！窘馕觥拷猓海?）AE=MC，BE=BM， BEM=EMB=45， AEM=135， CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在邊AB上截取AE=MC，連接MEABC是等邊三角形，AB=BC，B=ACB=60，AC