數(shù)理方程第講課件

1、數(shù)理方程第講數(shù)理方程第講第二章 分離變量法2.1 有界弦的自由振動(dòng)第二章 分離變量法2.1 有界弦的自由振動(dòng)數(shù)理方程第講課件數(shù)理方程第講課件討論兩端固定的弦自由振動(dòng)的定解問(wèn)題:設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)則討論兩端固定的弦自由振動(dòng)的定解問(wèn)題:設(shè)u(x,t)=X(代入方程(2.1)得X(x)T(t)=a2X(x)T(t)或此式左端僅是x的函數(shù), 右端僅是t的函數(shù), 一般情況不可能相等, 除非它們均為常數(shù), 令此常數(shù)為-l, 則有這樣可以得到兩個(gè)常微分方程:代入方程(2.1)得X(x)T(t)=a2X(x)再利用邊界條件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),X(0)T(t)=0,

2、X(l)T(t)=0.但T(t)0, 如果T(t)=0, 這種解稱為平凡解, 所以X(0)=X(l)=0(2.6)因此, 要求方程(2.1)滿足條件(2.2)的變量分離形式的解, 就先要求解下列常微分方程的邊值問(wèn)題再利用邊界條件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t要確定l取何值時(shí)(2.5)才有滿足條件(2.6)的非零解, 又要求出這個(gè)非零解X(x). 這樣的問(wèn)題稱為常微分方程(2.5)在條件(2.6)下的特征值問(wèn)題, 使問(wèn)題(2.5),(2.6)有非零解的l稱為該問(wèn)題的特征值, 相應(yīng)的非零解X(x)稱為它的特征函數(shù).下面分l0三種情況來(lái)討論, 將得出結(jié)論l0和l=0不能成立.要確定l

3、取何值時(shí)(2.5)才有滿足條件(2.6)的非零解, 數(shù)理方程第講課件而方程X(x)+lX(x)=0的特征方程為r2+l=0當(dāng)l0時(shí), 特征根為方程的通解為而方程X(x)+lX(x)=0的特征方程為r2+1 設(shè)l0, 此時(shí)方程(2.5)的通解為由條件(2.6)得解出A,B得A=B=0即X(x)0, 不符合非零解的要求, 因此l不能小于零.1 設(shè)l0, 并令l=b2, b為非零常數(shù). 此時(shí)方程(2.5)的通解為 X(x) = A cos bx+B sin bx,由條件(2.6)得A = 0B sin bl = 0由于B不能為零, 所以sin bl=0, 即從而設(shè)l0, 并令l=b2, b為非零常數(shù)

4、. 此時(shí)方程(2.5(2.5),(2.6)的一系列特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)為:將上式中的特征值代入到(2.4)得(2.5),(2.6)的一系列特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)為:將上其通解為:因此可分離變量的方程的特解為其中 是任意常數(shù).其通解為:因此可分離變量的方程的特解為其中 為滿足初始條件(2.3), 求出原問(wèn)題的解, 將(2.10)中所有函數(shù)un(x,t)疊加起來(lái):為滿足初始條件(2.3), 求出原問(wèn)題的解, 將(2.10)將初始條件(2.3)代入上式得:將初始條件(2.3)代入上式得:復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中周期為2l的傅立葉級(jí)數(shù):如果周期為2l的周期函數(shù)f(x)為奇函數(shù), 則有其中系數(shù)bn為:復(fù)習(xí)高等數(shù)

5、學(xué)中周期為2l的傅立葉級(jí)數(shù):如果周期為2l的周期數(shù)理方程第講課件數(shù)理方程第講課件 解： 令u(x,t)=X(x)T(t)是齊次方程和齊次邊界條件的非零解,則有 解： 令u(x,t)=X(x)T(t)是齊次方程和齊方程的特解為方程的特解為這時(shí)l=10, 并給定a2=10000. 這個(gè)問(wèn)題的傅里葉級(jí)數(shù)形式解可由(2.11)給出. 其系數(shù)按(2.12)式為Dn=0,這時(shí)l=10, 并給定a2=10000. 這個(gè)問(wèn)題的傅里葉級(jí)因此, 所求的解為因此, 所求的解為解題中常用到的積分表的內(nèi)容:解題中常用到的積分表的內(nèi)容:分析一下級(jí)數(shù)形式解(2.11)的物理意義. 先固定t, 看看任意指定時(shí)刻波是什么形狀;

6、 再固定x, 看該點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律. (2.11)中的一項(xiàng):其中分析一下級(jí)數(shù)形式解(2.11)的物理意義. 先固定t, 看看數(shù)理方程第講課件數(shù)理方程第講課件數(shù)理方程第講課件某一時(shí)刻n=1,2,3的駐波形狀xOulxOulxOuln=1n=2n=3某一時(shí)刻n=1,2,3的駐波形狀xOulxOulxOuln=綜合上述, 可知u1(x,t),u2(x,t),un(x,t),是一系列駐波, 它們的頻率, 位相與振幅都隨n不同而不同. 因此一維波動(dòng)方程用分離變量法解出的結(jié)果u(x,t)是由一系列駐波疊加而成的, 而每一個(gè)駐波的波形由特征函數(shù)確定, 它的頻率由特征值確定. 這完全符合實(shí)際情況. 因?yàn)槿藗冊(cè)诳疾?/p>

7、弦的振動(dòng)時(shí), 就發(fā)現(xiàn)許多駐波, 它們的疊加又可以構(gòu)成各種各樣的波形, 因此很自然地會(huì)想到用駐波的疊加表示弦振動(dòng)方程的解. 這就是分離變量法的物理背景, 所以分離變量法也稱為駐波法.綜合上述, 可知u1(x,t),u2(x,t),un(x2.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)2.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)設(shè)有一均勻細(xì)桿, 長(zhǎng)為l, 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為x=0與x=l, 桿的側(cè)面是絕熱的, 且在端點(diǎn)x=0處溫度是零攝氏度, 而在另一端x=l處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度地零度的介質(zhì)中去, 已知初始溫度分布為j(x). 求桿上的溫度變化規(guī)律, 也就是要考慮下列定解問(wèn)題:設(shè)有一均勻細(xì)桿, 長(zhǎng)為l, 兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為x=0與x=

8、l, 用分離變量法來(lái)解此問(wèn)題, 設(shè)u(x,t)=X(x)T(t),代入方程(2.13)得上式左端不含有x, 右端不含有t, 只有當(dāng)兩端均為常數(shù)時(shí)才可能相等. 令此常數(shù)為-b2, 則有用分離變量法來(lái)解此問(wèn)題, 設(shè)u(x,t)=X(x)T(從而得到兩個(gè)線性常微分方程解方程(2.16)得X(x)=A cos bx + B sin bx,由邊界條件(2.14)可知X(0)=0, X(l)+hX(l)=0.(2.17)從X(0)=0得A=0, 從X(l)+hX(l)=0得b cos bl + h sin bl=0(2.17)a從而得到兩個(gè)線性常微分方程解方程(2.16)得a數(shù)理方程第講課件ygy=agy

9、=tan gg1g2g3-g1-g2ygy=agy=tan gg1g2g3-g1-g2于是得到無(wú)窮多個(gè)特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)再由(2.16)解得得到的一組滿足邊界條件的特解為其中Cn=AnBn于是得到無(wú)窮多個(gè)特征值及相應(yīng)的特征函數(shù)再由(2.16)解得由于方程(2.13)與邊界條件(2.14)都是齊次的, 所以仍滿足方程與邊界條件. 最后考慮u(x,t)能否滿足初始條件(2.15), 從(2.22)式得現(xiàn)在希望它等于已知函數(shù)j(x), 首先要問(wèn)在0, l上定義的函數(shù)j(x)能否展開成上式的形式, 其次要問(wèn)系數(shù)Cn如何確定. 前者的答案是肯定的(不證). 主要討論后者.由于方程(2.13)與邊界條

10、件(2.14)都是齊次的, 所以不難證明令于是在的兩端乘上sin bkx, 然后在0, l上積分得即將(2.24)代入(2.32)式即得原定解問(wèn)題的解.不難證明令于是在的兩端乘上sin bkx, 然后在0, l分離變量法的主要步驟為:一, 首先將偏微分方程的定解問(wèn)題通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)題, 這對(duì)線性齊次偏微分方程是可以做到的.二, 求特征值問(wèn)題，即確定特征值與特征函數(shù)。 當(dāng)邊界條件是齊次時(shí), 求特征函數(shù)就是求一個(gè)常微分方程滿足零邊界條件的非零解.分離變量法的主要步驟為:一, 首先將偏微分方程的定解問(wèn)題通三, 定出特征值、 特征函數(shù)后, 再解其他的常微分方程, 把得到的解與特征函

11、數(shù)乘起來(lái)成為un(x,t), 這時(shí)un(x,t)中還包含著任意常數(shù).四, 最后為了使解滿足其余的定解條件, 需要把所有的un(x,t)疊加起來(lái)成為級(jí)數(shù)形式, 這時(shí)級(jí)數(shù)中的一系列任意常數(shù)就由其余的定解條件確定. 在這最后一步工作中, 需要把已知函數(shù)展開為特征函數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù), 這種展開的合理性將在2.6中論述.三, 定出特征值、 特征函數(shù)后, 再解其他的常微分方程, 把2.3 圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題2.3 圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題 一個(gè)半徑為r0的薄圓盤, 上下兩面絕熱, 圓周邊緣溫度分布為已知, 求達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤內(nèi)的溫度分布. 這時(shí)溫度分布應(yīng)滿足拉普拉斯方程 2u=0因?yàn)?/p>

12、邊界形狀是個(gè)圓周, 它在極坐標(biāo)下的方程為r=r0, 所以在極坐標(biāo)系下的邊界條件可表為既然邊界條件用極坐標(biāo)形式表示出來(lái)很簡(jiǎn)單, 所以就在極坐標(biāo)系下求解這個(gè)定解問(wèn)題. 一個(gè)半徑為r0的薄圓盤, 上下兩面絕熱, 圓因r,q的取值范圍分別是0,r0與0,2p, 而圓內(nèi)包括中心的溫度有限, 且(r,q)與(r,q+2p)實(shí)際上表示同一點(diǎn), 溫度應(yīng)該相同, 即應(yīng)該有|u(0,q)|+(2.27)u(r,q)=u(r,q+2p)(2.28)現(xiàn)在來(lái)求滿足方程(2.25)及條件(2.26),(2.27), (2.28)的解. 先令 u(r,q)=R(r)F(q),因r,q的取值范圍分別是0,r0與0,2p, 而

13、圓內(nèi)代入方程(2.25)得即令比值為常數(shù)l即得兩個(gè)常微分方程F+lF=0,r2R+rR-lR=0.再由條件(2.27)及(2.28)可得|R(0)|+,F(q+2p)=F(q).(2.29)代入方程(2.25)得即令比值為常數(shù)l即得兩個(gè)常微分方程因此得到兩個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題先解哪一個(gè)要看哪一個(gè)可以定出特征值. 由于條件(2.29)滿足可加性(即所有滿足(2.29)的函數(shù)加起來(lái)仍舊滿足(2.29), 所以只能先解問(wèn)題(2.30).因此得到兩個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題先解哪一個(gè)要看哪一個(gè)可以定出采用與2.1中同樣的方法可以得到當(dāng)l0時(shí), 取l=b 2, 這時(shí)(2.30)的解為Fb (q)=abco

14、sbq+bbsin bq,且為使F(q)以2p為周期, b必須是整數(shù)n, n=1,2,3, 則可將上面得到的解表示成Fn(q)=ancos nq + bnsin nq.采用與2.1中同樣的方法可以得到當(dāng)l0)和y=Ct+B=Cln x+D (n=0)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí): 求解歐拉方程x2y+xy-n2y=對(duì)于非齊次的歐拉方程x2y+xy-n2y=axm特解的形式應(yīng)當(dāng)是y*=Cxm, 將之代入上式可確定常數(shù)C.對(duì)于非齊次的歐拉方程x2y+xy-n2y=axm至此, 已經(jīng)定出了特征值問(wèn)題(2.30)的特征值b2n=n2, 特征函數(shù)Fn(q). 接下去是解(2.31). 其中的方程是歐拉(Enler)方程

15、, 它的通解為R0=c0+d0lnr, 當(dāng)l=0;Rn=cnrn+dnr-n, 當(dāng)l=n2(n=1,2,3,)為了保證|R(0)|+, 只有dn=0(n=0,1,2,),即Rn=cnrn(n=0,1,2,).因此利用疊加原理, 方程(2.25)滿足條件(2.27), (2.28)的解可以表示為級(jí)數(shù)至此, 已經(jīng)定出了特征值問(wèn)題(2.30)的特征值b2n=n2數(shù)理方程第講課件將這些系數(shù)代入(2.32)式即得所求的解.為了以后應(yīng)用起來(lái)方便, 還可以將解(2.32)寫成另一種形式. 為此, 將(2.34)式的系數(shù)代入(2.32)式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后可得將這些系數(shù)代入(2.32)式即得所求的解.為了以后應(yīng)用起來(lái)

16、利用下面已知的恒等式利用下面已知的恒等式可將(2.35)中的解u(r,q)表達(dá)為公式(2.36)稱為圓域內(nèi)的泊松公式. 它的作用在于把解寫成了積分形式, 這樣便于作理論上的研究.可將(2.35)中的解u(r,q)表達(dá)為公式(2.36)稱為例 解下列定解問(wèn)題A為常數(shù).解 利用公式(2.34)并注意三角函數(shù)的正交性代入(2.32)即得所求的解為例 解下列定解問(wèn)題A為常數(shù).解 利用公式(2.34)并注意三2.4 非齊次方程的解法2.4 非齊次方程的解法研究一根弦在兩端固定的情況下, 受強(qiáng)迫力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象. 即要考慮下列定解問(wèn)題:因?yàn)榉驱R次方程的解經(jīng)疊加后一般不再是原方程的解，所以不能用分離變

17、量法直接求解非齊次方程的定解問(wèn)題。但是依據(jù)齊次方程(2.11)的解，且它的邊值條件和方程(2.37)的一樣，故先假設(shè)定解問(wèn)題(2.37) (2.39)的解u(x,t)可以展開成如下的傅立葉級(jí)數(shù)形式研究一根弦在兩端固定的情況下, 受強(qiáng)迫力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象并且把定解數(shù)據(jù)f(x,t)， 和 都按固有函數(shù)系 展開并且把定解數(shù)據(jù)f(x,t)， 和 都按固有其中顯然， u(x,t)滿足邊界條件(2.38)，因此只需u(x,t) 再滿足方程(2.37) 和初值條件(2.39)就得到原問(wèn)題的解，把上面的展開式分別代入方程(2.37)和初始條件(2.39)，可得其中顯然， u(x,t)滿足邊界條件(2.38

18、)，因此只需u比較上面三個(gè)展開式的系數(shù)可得由于(2.41)對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為比較上面三個(gè)展開式的系數(shù)可得由于(2.41)對(duì)應(yīng)的齊次方程的由高等數(shù)學(xué)可知：如果Cy1(x)是齊次線性方程的解，那么可以利用變換y=uy1(x)(這變換是把齊次方程的解中的任意常數(shù)C換成未知函數(shù)u(x)而得到的)去解非齊次線性方程。這一方法也適用于高階線性方程。下面就二階情形來(lái)做討論。如果已知齊次方程那么，我們可以用如下的常數(shù)變易法去求非齊次方程通解為由高等數(shù)學(xué)可知：如果Cy1(x)是齊次線性方程的解，那么可令要確定未知函數(shù)v1(x)及v2(x)使(3)式所表示的函數(shù)y滿足非齊次方程(2)。為此，對(duì)(3)式求導(dǎo)，得由

19、于兩個(gè)未知函數(shù)v1、v2只需滿足一個(gè)關(guān)系式，所以可規(guī)定它們?cè)贊M足一個(gè)關(guān)系式。從 的上述表示式可看出，為了使 的表示式中不含 和 ，可設(shè)令要確定未知函數(shù)v1(x)及v2(x)使(3)式所表示的函數(shù)從而再求導(dǎo)，得把 、 、 代入方程(2)，得整理得注意到y(tǒng)1及y2是齊次方程(1)的解，故上式即為從而再求導(dǎo)，得把 、 、 代入方程(2)，得整聯(lián)立方程(4)和(5)，在系數(shù)行列式時(shí)，可解得對(duì)上兩式積分(假定f(x)連續(xù))，得于是得非齊次方程(2)的通解為聯(lián)立方程(4)和(5)，在系數(shù)行列式時(shí)，可解得對(duì)上兩式積分(則利用常微分方程中的參數(shù)變易法，即設(shè)為方程(2.41)的解，則待定函數(shù)an(t), bn(

20、t)由下面方程組確定求得則利用常微分方程中的參數(shù)變易法，即設(shè)為方程(2.41)的解，把它們代入(2.43)，就得到方程(2.37)的通解再由初始條件(2.39)，可確定故問(wèn)題(2.41)，(2.42)的解為(2.44)把(2.44)代入(2.40)，可知(2.40)是非齊次問(wèn)題(2.37)(2.39)的解，完整的形式為把它們代入(2.43)，就得到方程(2.37)的通解再由初始(2.45)從解的形式上看，可分為兩部分：等號(hào)右端第一個(gè)級(jí)數(shù)項(xiàng)表示初始位移和初始速度對(duì)弦振動(dòng)的影響；第二個(gè)級(jí)數(shù)項(xiàng)表示外力f(x,t)對(duì)弦振動(dòng)的影響。若弦所受外力為零，則(2.45)式就是齊次問(wèn)題(2.1)(2.3)的解(

21、2.11)。(2.45)從解的形式上看，可分為兩部分：等號(hào)右端第一個(gè)級(jí)數(shù)上述這種解法是把方程的非齊次項(xiàng)以及解按對(duì)應(yīng)的齊次方程的一族固有函數(shù)展開，隨著方程與邊界條件不同，固有函數(shù)族也就不同，但總是把非齊次方程的解按相應(yīng)的固有函數(shù)展開，這種方法又稱固有函數(shù)法。此方法對(duì)其他類型的方程也是適用的。上述這種解法是把方程的非齊次項(xiàng)以及解按對(duì)應(yīng)的齊次方程的一族固2.5 非齊次邊界條件的處理2.5 非齊次邊界條件的處理 前面所討論的定解問(wèn)題的解法, 不論方程是齊次的還是非齊次的, 邊界條件都是齊次的. 如果遇到非齊次邊界條件的情況, 應(yīng)該如何處理? 總的原則是設(shè)法將邊界條件化成齊次的. 現(xiàn)在以下列定解問(wèn)題為例

22、, 說(shuō)明選取代換的方法. 以弦振動(dòng)為例，設(shè)具有非齊次邊界條件的弦振動(dòng)定解問(wèn)題為令 前面所討論的定解問(wèn)題的解法, 不論方程是齊次的其中v(x,t)滿足和u(x,t)相同的邊界條件(2.47)則當(dāng)x=0或x=l時(shí)這樣關(guān)于V(x,t)的定解問(wèn)題的邊值條件就是齊次的，對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)v(x,t)也容易找到，對(duì)于第一邊值問(wèn)題，一般可設(shè)v(x,t)=a(t)x+b(t) ，代入(2.47)可得其中v(x,t)滿足和u(x,t)相同的邊界條件(2.47)即把v(x,t)代入(2.49)，可得再把上式代入(2.46)(2.48)，則定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即把v(x,t)代入(2.49)，可得再把上式代入(2.46重復(fù)2

23、.4節(jié)的做法，就可得到V(x,t) ，進(jìn)而求出u(x,t). 對(duì)方程和邊界條件都是非齊次，且f,u1,u2都與t無(wú)關(guān), 則可取適當(dāng)?shù)膙(x)(也與t無(wú)關(guān)), 使V(x,t)的方程與邊界條件同時(shí)都化為齊次的, 這樣做就可以省掉下面對(duì)V(x,t)要進(jìn)行解非齊次方程的繁重工作. 這種v(x)究竟怎么找, 將在下面的例題中說(shuō)明.重復(fù)2.4節(jié)的做法，就可得到V(x,t) ，進(jìn)而求出u(x,例1 求下列定解問(wèn)題:的形式解, 其中A,B均為常數(shù).例1 求下列定解問(wèn)題:的形式解, 其中A,B均為常數(shù).解 這個(gè)定解問(wèn)題的特點(diǎn)是: 方程及邊界條件都是非齊次的. 根據(jù)上述原則, 首先應(yīng)將邊界條件化成齊次的, 由于方

24、程(2.63)的自由項(xiàng)及邊界條件都與t無(wú)關(guān), 所以我們有可能通過(guò)一次代換將方程與邊界條件都變成齊次的, 具體做法如下: 令 V(x,t) =u(x,t)-W(x),代入方程(2.63)得解 這個(gè)定解問(wèn)題的特點(diǎn)是: 方程及邊界條件都是非齊次的. 根為了使這個(gè)方程及邊界條件同時(shí)化成齊次的, 選W(x)滿足(2.66)是一個(gè)二階常系數(shù)線性非齊次方程的邊值問(wèn)題, 它的解可以通過(guò)兩次積分得為了使這個(gè)方程及邊界條件同時(shí)化成齊次的, 選W(x)滿足(2再由(2.65)可知函數(shù)V(x,t)為下列定解問(wèn)題:的解. 采用分離變量法, 可得(2.67)滿足齊次邊界條件(2.68)的解為再由(2.65)可知函數(shù)V(x

25、,t)為下列定解問(wèn)題:的解. 利用(2.69)中第二個(gè)條件可得Dn=0.于是定解問(wèn)題(2.67),(2.68),(2.69)的解表示為代入(2.69)中第一個(gè)條件得即利用(2.69)中第二個(gè)條件可得Dn=0.于是定解問(wèn)題(2由傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式得由傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式得因此, 原定解問(wèn)題的解為其中Cn由(2.71)確定.因此, 原定解問(wèn)題的解為其中Cn由(2.71)確定.對(duì)邊界條件不全是第一類的, 本節(jié)的方法仍然適用, 不同的只是輔助函數(shù)v(x,t)的形式。對(duì)邊界條件不全是第一類的, 本節(jié)的方法仍然適用, 不同的只是1v(x,t)=u2(t)x+u1(t)2v(x,t)=u1(t) (x-l

26、)+u2(t )3v(x,t)=(1/2l)(u2(t)-u1(t)x2+u1(t)x注意以上v(x,t)的選取不是唯一的。1v(x,t)=u2(t)x+u1(t)以上各節(jié)說(shuō)明了如何用分離變量法來(lái)解定解問(wèn)題, 其主要步驟小結(jié)如下:一, 根據(jù)邊界的形狀選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, 選取的原則是使在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡(jiǎn)單. 圓、圓環(huán)、扇形等域用極坐標(biāo)系較方便.二, 若邊界條件是非齊次的, 則不論方程是否為齊次, 必須先作函數(shù)的代換使其化為具有齊次的邊界條件問(wèn)題, 然后再求解.三, 非齊次方程, 齊次邊界條件的定解問(wèn)題(不論初始條件如何)可以用特征函數(shù)法求解.以上各節(jié)說(shuō)明了如何用分離變量法來(lái)解定解

27、問(wèn)題, 其主要步驟小結(jié)2.6 積分變換法2.6 積分變換法積分變換通過(guò)特定的積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。積分變換法是通過(guò)積分變換，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化定解問(wèn)題的一種求解方法。如通過(guò)積分變換將偏微分方程化為常微分方程，于是求解問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。 特別對(duì)于無(wú)限或半無(wú)限區(qū)域上的定解問(wèn)題，采用積分變換有固定的程序求解，更為方便。積分變換通過(guò)特定的積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變這里函數(shù)f(x)通過(guò)上述積分運(yùn)算變成另一函數(shù)F(s)就稱為一個(gè)積分變換，其中k(x,s)稱為積分變換核，當(dāng)選取不同的積分變換核和積分域時(shí)，就得到不同的積分變換。下面介紹積分變換 (傅里葉變換和拉普拉斯變換)在

28、求解偏微分方程定解問(wèn)題中的應(yīng)用。一般，含參變量s的積分這里函數(shù)f(x)通過(guò)上述積分運(yùn)算變成另一函數(shù)F(s)就稱為一一、傅里葉變換(Fourier)1.傅里葉變換定義若函數(shù)f(x)在 上滿足：逐段光滑；絕對(duì)可積，即 收斂則稱 為函數(shù)f(x)的傅里葉變換，簡(jiǎn)稱傅氏變換，記為 可以推出 稱為的傅氏逆變換，記為一、傅里葉變換(Fourier)2.傅里葉變換的性質(zhì) 線性性質(zhì) 設(shè) ， ，a,b為任意常數(shù)，則 同樣逆變換也成立，即微分性質(zhì) 類似地，逆變換有2.傅里葉變換的性質(zhì) 積分性質(zhì)卷積定理 卷積定義：若已知函數(shù)f1(x), f2(x)，則積分稱為函數(shù)f1(x)與f2(x)的卷積,記為f1(x)*f2(x

29、),即積分性質(zhì)卷積定理 顯然卷積定理：假定則或顯然卷積定理：假定則或二、拉普拉斯變換 傅氏變換要求進(jìn)行變換的函數(shù)一定要滿足絕對(duì)可積，這樣的條件是比較強(qiáng)的，許多簡(jiǎn)單的函數(shù)如1，xn,ex和sinx等都不滿足在內(nèi)絕對(duì)可積；另外，在工程應(yīng)用中許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)僅在 上有定義。因此，傅氏變換的應(yīng)用范圍受到很大的限制。為了克服傅氏變換的缺點(diǎn)，就需要適當(dāng)?shù)匕迅凳献儞Q加以改造，從而導(dǎo)出拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換。二、拉普拉斯變換 1.拉氏變換的定義 設(shè)函數(shù)f(t)，當(dāng) 時(shí)有定義，且積分在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂，其中 是復(fù)參量，則由此確定的函數(shù)稱為f(t)的拉普拉斯變換式。記作1.拉氏變換的定義 并稱函數(shù)

30、F(s)為f(t)的拉氏變換，稱f(t)為F(s)的拉氏逆變換，記作顯然若F(s)是f(t)的拉氏變換，則可推出2.拉氏變換的性質(zhì) 線性性質(zhì) 若a,b為常數(shù)，則并稱函數(shù)F(s)為f(t)的拉氏變換，稱f(t)為F(s)的且逆變換也有微分性質(zhì) 設(shè)f(t)在 上連續(xù)，則積分性質(zhì)且逆變換也有微分性質(zhì) 推論:卷積定義： 若f1(t)， f2(t)滿足拉氏變換存在的條件，則積分稱為f1(t)，f2(t)的卷積，記為f1(t)* f2(t)，即實(shí)質(zhì)上，拉氏變換的卷積與傅氏變換的卷積定義是一致的，當(dāng) 時(shí)，若f1(t)，f2(t)推論:卷積定義： 滿足條件則從傅氏變換的卷積可得到拉氏變換的卷積，即卷積定理：設(shè)f1(t)，f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件，且滿足條件則從傅氏變換的卷積可得到拉氏變換的卷積，即卷積定理：則或三、用傅氏變換法求解定解問(wèn)題 例：求解一維齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題則或三、用傅氏變換法求解定解問(wèn)題 解：首先對(duì)于未知函數(shù)u(x,t)及初始條件中的函數(shù) 關(guān)于x作傅氏變換，記然后，對(duì)方程兩邊關(guān)于x作傅氏變換，并利用微分性質(zhì)得即解：首先對(duì)于未知函數(shù)u(x,t)及初始條件中的函數(shù) 這是一個(gè)含參數(shù) 的一階常微分方程，對(duì)初始條件也作同樣的變換得解常微分方程初值問(wèn)題，其解兩端關(guān)于 作傅氏逆變換，左端為而右端根據(jù)