多面體的側(cè)面積和體積易錯(cuò)點(diǎn)淺析

1、摘要：解決立體幾何問(wèn)題，要能抓住問(wèn)題的突破點(diǎn)，善于轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn) 題，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何知識(shí)解決 相關(guān)問(wèn)題，并能靈活應(yīng)用相關(guān)的常見結(jié)論。思路要開闊，方法要多變，使解決問(wèn)題的策略更 趨于合理，從而讓立體幾何的解題輕松自如。關(guān)鍵詞;多面體；側(cè)面積；體積；例題分析中圖分類號(hào)：g633.63文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：e文章編號(hào)：1672-1578 (2011) 01-0250-02承載著考察空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力于一體的立體幾何試題，歷年來(lái)考 察內(nèi)容比較穩(wěn)定，但考生的答題情況卻不能盡如人意，原因主要如下：一是基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)， 概念理解不

2、夠準(zhǔn)確，讀題似是而非，分析難以到位；二是空間想象能力欠缺，難以將立體問(wèn) 題順利地、準(zhǔn)確地平面化；三是考生運(yùn)算不順，綜合能力不足，難以快速地準(zhǔn)確地展開運(yùn)算， 進(jìn)而解決問(wèn)題。下面本文就多面體的側(cè)面積和體積這一環(huán)節(jié)淺析一下考生在解題時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題及如何突 破問(wèn)題。1、基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)例1：如圖，斜棱柱的底面是等腰三角形abc, ab=ac=10, bc=12,棱柱頂點(diǎn)a 1到a、 b、c 等距離，側(cè)棱長(zhǎng)是 13，求它的側(cè)面積。典型誤解：該題中常見的錯(cuò)誤是不能夠充分利用好題中條件分析計(jì)算出平行四邊形 的面 積。正確思維走向：對(duì)于條件a1到a、b、c等距離這一條件除了直接應(yīng)用外，我們還知道 a 1 在底面的

3、射影為 的外心，從而突破思維障礙，使解題得以繼續(xù)。解析:如圖1,取bc中點(diǎn)d,連結(jié)ad,則be丄ad。設(shè)a1o丄底面abc，貝V o在ad上。.bc 丄 aa1,.bc 丄 bb1,側(cè)面b 1c 1cb是矩形，取ab的中點(diǎn)e,連結(jié)a 1e,.*.*aa 1=a 1b,.ab丄a 1e.由 a 1e=12。題后反思：(1)對(duì)立幾中一些常見結(jié)論要做到了然于胸,如：關(guān)于三棱錐中頂點(diǎn)在底面 三角形上的射影問(wèn)題的相關(guān)條件和結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上加以熟記；(2)在思維受阻時(shí),要 養(yǎng)成回頭看條件的習(xí)慣,問(wèn)一問(wèn)自己條件是否都用了呢？例2：正方形abcd的邊長(zhǎng)為1,分別取邊be、cd的中點(diǎn)e、f,連結(jié)ae、ef、

4、af,以ae、 ef、af為折痕折疊這個(gè)正方形，使b、c、d重合于一點(diǎn)p,得到一個(gè)三棱錐如圖2所示，求三 棱錐的體積。典型誤解：這里常見的失誤是不能由翻折前的圖形的性質(zhì)確定翻折后三棱錐的性質(zhì)；其 次是不能靈活地選擇底面。正確思維走向：首先,找出翻折前后的一些不變量是解此類問(wèn)題的關(guān)鍵,不變量主要集 中在如長(zhǎng)度和角度,特別是垂直關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可由平面內(nèi)的線線垂直升級(jí)為空間的線面垂直, 從而使一些問(wèn)題得以解決；其次,在使用等體積法求體積時(shí)底面的選取往往倚重于線面垂直 條件的發(fā)現(xiàn)。解：*.* Zd=Zc=Zb=90A 翻折后 Zape=Zepf=Zapf=90.rtApef可以看做是底面，而ap則可以看做

5、為此三棱錐的高；*.* ap=1, pe=pf=12,2、平面化處理意識(shí)不強(qiáng)例 3 ：如圖 3 ，正四棱臺(tái) ac 的高是 17，兩底面的邊長(zhǎng)分別是 4 和 16，求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱 長(zhǎng)和斜高及全面積。典型誤解：由于棱臺(tái)中涉及的量較多，可以使用的等量關(guān)系也較多，因此這里常見的失 誤是不能恰當(dāng)?shù)剡x取簡(jiǎn)捷的途徑迅速的解決問(wèn)題，而是多走了許多彎路，做了一些無(wú)用功。正確思維走向：在圖中找出相關(guān)量所在位置化立幾問(wèn)題為平面問(wèn)題。解：設(shè)上底面中心為，下底面中心為o,過(guò)o點(diǎn)作om丄be于m,同理在作o m 丄b c 于 m ,由題意得， ,在直角梯形oo b b中，可求得側(cè)棱長(zhǎng)bb =19。同理在直角梯形oo m

6、 m中，可求得側(cè)棱長(zhǎng)mm =513.全面積 s=20013+272例4:如圖，正三棱錐s-abc的側(cè)棱長(zhǎng)為1, Zasb=45 m和n分別是棱sb和se上的點(diǎn)， 求Aamn的周長(zhǎng)的最小值。典型誤解：過(guò)a點(diǎn)做a點(diǎn)做am丄sb于點(diǎn)m,連結(jié)an.在 rtAsam 中，Zams=90, Zasb=45， as=1,可得 am=22, sm=22 ；同理，在 rtAsam 中，厶nm=90, Znsm=45, sm=22, mn=sn=12,在 rt Asam 中, sa=1, sn=12, Zasn=45,.Aamn 的周長(zhǎng)的最小值為誤解剖析：此法的可取之處在于能保證am、mn為最短，但錯(cuò)誤發(fā)生在an

7、并非垂直于sc, 即不能保證an最短，所以必須另覓它徑。正確思維走向：將側(cè)面展開,化歸空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,從而利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間線 段最短這一知識(shí)解決問(wèn)題。解：將三棱錐沿棱sa剪開，然后將其側(cè)面展開在一個(gè)平面上，如圖（b）所示，連結(jié)aa ，設(shè)aa 與sb交于m,交sc于n點(diǎn)，顯然 Aamn的周長(zhǎng) l 二am+mn+na aa , 也就是說(shuō)當(dāng) am， mn、 na（na ）在一條直線上的時(shí)候?qū)?yīng)的截面三角形周長(zhǎng)最短，則 aa的長(zhǎng)就是截面Aamn周長(zhǎng)的最小值。*.* sa=sa =1,Zasb=Zbsc=Zcsa =45,.Zasa =135,=。.Aamn 周長(zhǎng)的最小值為3、空間想象能力欠缺例

8、5：已知正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為r,試探求在以下三種狀態(tài)下r與a的關(guān)系：（1）球內(nèi)切于正方體；（2）球外接于正方體；（3）球切于正方體的12條棱。典型誤解：由于空間想象能力的欠缺,不能準(zhǔn)確建立起空間幾何圖形。有些學(xué)生可以建 立空間幾何圖形,但不能準(zhǔn)確表達(dá)出幾何圖形中各有關(guān)線段的數(shù)量及相關(guān)關(guān)系。正確思維走向：準(zhǔn)確勾勒出正方體和球的位置關(guān)系,觀察發(fā)現(xiàn)球直徑與正方體棱長(zhǎng)的關(guān) 系。解：（1）當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí),出現(xiàn)了六個(gè)切點(diǎn),分別為正方體六個(gè)面的中心,此時(shí)可 知,球的直徑為正方體的棱長(zhǎng),即： a=2r。（2）當(dāng)球外接于正方體時(shí), 正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)均在球面上,此時(shí)可知,球的直徑為正方 體的體對(duì)角

9、線,即：（3）當(dāng)球切于正方體的12條棱時(shí),出現(xiàn)了12個(gè)切點(diǎn),分別為正方體的12條棱的中點(diǎn), 此時(shí)可知,球的直徑為正方體的面對(duì)角線,即：4、“想圖、畫圖、識(shí)圖、解圖”能力的欠缺例 6 ：一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為 1 的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的 一個(gè)大圓上，則該三棱錐的體積為典型誤解：主要有以下幾個(gè)錯(cuò)誤發(fā)生：（1）難以根據(jù)題意畫出正確的圖形，要注意文字 語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)（ 2）圖形畫出后，讀圖能力不夠強(qiáng)，無(wú)法看出點(diǎn) d 與圓心。之間的線段長(zhǎng)度即為此棱錐的高；（3）計(jì)算出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤，導(dǎo)致答案出錯(cuò)。正確思維走向：先根據(jù)題意畫出圖形，理解正三棱錐的底面特征以及頂點(diǎn)

10、的位置；再由 圖形的具體特征確定正三棱錐的高和底面面積；最后根據(jù)三棱錐的體積公式求出體積。解：如圖，設(shè)正三棱錐為d-abc,則球體的半徑do即為正三棱錐的高，do=l，在正，可求得總之，解決立體幾何問(wèn)題，要能抓住問(wèn)題的突破點(diǎn)，善于轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn) 單問(wèn)題，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，結(jié)合平面幾何知識(shí) 解決相關(guān)問(wèn)題，并能靈活應(yīng)用相關(guān)的常見結(jié)論。思路要開闊，方法要多變，使解決問(wèn)題的策 略更趨于合理，從而讓立體幾何的解題輕松自如。跟蹤練習(xí)：1、在半徑為r的球面上，有a、b、c三點(diǎn)且ab=bc=ca=3, abc所在截面到球心的距離 為半徑的一半，求球的體積。2、長(zhǎng)方體 abcd-a 1b 1c 1d 1 中， ab=