專題16《對角互補(bǔ)模型》

1、專題 16對角互補(bǔ)模型破策1等之90”如圖，AOB90，OC 分，則DC E （1）；（2）2OC；（3） SOCE 2證 方法：圖，過點 C 分別 ，垂足分別為 M 由角平分線的性質(zhì)可得 ，MCN90所以NCE 從而NCE（ASA， 故 CDCE 易證四邊形 MONC 為正形MDC所以 ODOEODON2 2 OCN所以 S正方形MON2OC2方二如圖，過 作 ， OB 于點 易證EFC45，DCOECF 所以ECF（ASA所以 CD，ODFE可得 ODOEOF OC DC所以 SOC2 F【拓】如，當(dāng)DCE 的一邊與 AO 的延長線交于點 時則：CD1（1）；（2）OC；（3） SOCEO

2、CDOC2如圖，證明同上MOD EODF 2等之120”如圖，AOB2120， 平分，則：CDO（1）；（2）；（3）2證方一如圖，過點 C 分別 ，垂足分別為 M，所以O(shè)CDOCE2 SONC 2易證NCE（ASA， 所以 CDCEODOEOCCMADO DO FB方二如圖，以 CO 為邊FCO60，交 OB 點 ， eq oac(,則)OCF 等邊三角形 易證ECFASA）所以 CD，ODOEOC，2 eq oac(,S)OCD eq oac(,S)OCE eq oac(,S)OCFOC【拓展】如圖，當(dāng) 的一邊與 BO 的延長線交于點 E 時則（1）；）；） eq oac(,S) eq o

3、ac(,S)如圖，證明同上AAAOCDDCDCMEOBEO N E F 3、等之任角如圖，AOB ，180 ，OC 分AOB則：（1）；）2 （3 eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OECD E證明：方法一：如圖，過點 C 分作 CMOA，垂足分別為 M，ADB N 易證NCEASA），2ON2OCcos 2 OC sin eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC 方法二：如圖，以 CO 為一邊作2 DC F易證ECFASA），2cos，交 OB 于 sin eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC eq oac(,S)OCF【拓展】如圖，當(dāng) 的一邊與

4、 BO 的延長線交于點 E 時則（1）；）2 （3 eq oac(,S)ODC eq oac(,S)OEC3如圖，證明同上DAA OCE O BCE O B4、似之90”如圖，AOB90，COB ，則 CEtan 方法一：如圖，過點 C 分作 OACNOB垂足分別為 M、N DMCO N易證NCENE CE CN MD ，即 CEtan方法二：如圖，過點 C 作 ， OB 于點 F ADCE F易證ECFBFE CF OD CD CO，即 CECDtan方法三：如圖，連接 AD B易證 D、 點共圓CDECOE ，故 CEtan【拓展】如圖，當(dāng) 的一邊與 AO 的延長線交于點 D 時則 CEt

5、an4D如圖，證明同上AAO EBO EDEBDD例講例 1已 是 內(nèi)接三角形ABAC在 所對弧 BC 上任取一點 D連 AD， ，（1）如圖 1，BAC120，那么 CD 與 AD 間的數(shù)量關(guān)系是什么？（2）如圖 2，BAC ，么 BD 與 AD 之間的數(shù)量關(guān)系是什么？DD C圖1圖2解：（1）D3ADBEOCA F如圖 3，過點 A 分別向BDC 的兩邊作垂線，垂分別為 、 由題意可得ADBADC30易證AFC23AD2AD sin如圖 4，作EADBAC，交 DB 的長線于點 DFO圖 45PM PN AD PM PN AD 則EBA，以 AED作 AF 于點 ，則2所以 BD2DF2A

6、D sin 2例 如 1，將一個直角三角板的角頂點 P 放在正方形 的角線 上滑動，并使其 一條直角邊始終經(jīng)過點 ，一直角邊與 相交于點 F求證：；如圖 ，將中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，?AD，8，求 ： 的； 如圖 ，在的條件下，當(dāng) P 滑到 的延長線上時AP： 的值是否發(fā)生變化？DDDF E圖 1 B 圖 圖 E解如圖 4，過點 P 分別作 ，足分別為 M，則 PM，MPN90，由已知條件可得APE，所以APMEPN，以APM 故 APM PD E N圖 4如圖 ，過點 P 分別 PM，足分別為 ，則 ，D 所以BDABC可得 ，以 AD BD CD CD 4易證EPN所以 PM PN

7、 DM E 圖 5 的不變?nèi)?，理由同MDF圖 6 NE進(jìn)訓(xùn)6 1 1 1如圖，四邊形 ABCD 被角 分等腰 和 RtCBD，中BAD 和 都是 直角，另一條對角線 的度 2，則四邊形 的積為_ D第 題圖答案：四邊形 的面積為 2【提示證 A 四點共圓BCABDAABDACD全等型90的結(jié)論可得 AC22在ABC 中，A， 是 BC 邊中點，EDF，DE 與 AB 邊相于 點 ， 與 邊或 AC 邊的延線）相交于點 D 第 題 F D 第 1 題圖 2F如圖 ， 與 邊交于點 ，求證BECF；如圖 2，將圖 1 中 繞 D 順針旋轉(zhuǎn)定的角度，使 DF 與 AC 邊的延長線交于點 F，作 DN

8、 于 N，若 ，證：CF 3 （）答案：略【提示點 D 作 DG 交 于 DFC BEGF D C第 題答圖 1AB過點 D DG 交 AB 于點 G，同可得 BE DC ，長 至 H，使2 3得 BH 2 2 BECF 7（）GHD 第 題答 2F3在菱形 ABCD 中兩條對角線 AC，BD 交于點 O，MON，MON 繞 旋轉(zhuǎn)，射線 OM BC 于 E射線 ON 交 CD 于 ，連結(jié) EF如圖 ，當(dāng)ABC90時，OEF 的狀_；如圖 ，當(dāng)ABC60時，請判斷OEF 形狀，并說明理由；如圖 3，在的條件下，將 的點移動 的中點 O處，MON 繞點 O旋轉(zhuǎn)，仍 滿足BCD180射線 交線 于 ，射線 ON 交線 于 ，當(dāng) BC