概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程設(shè)計(jì)姓名：趙勇學(xué)號(hào)：1123310123班級(jí)：1233101關(guān)于正態(tài)分布的幾點(diǎn)討論經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)，我對(duì)概率論有了更為深刻地理解，高中階段的概率只是簡(jiǎn)單的古典概型和幾何概型，而這個(gè)學(xué)期，我們對(duì)概率論有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，接觸了泊松分布、貝努力分布、超幾何分布、正態(tài)分布等等?？v觀全書，我感覺(jué)到正態(tài)分布在概率論這門課程中有很高的地位，而且正態(tài)分布在我們的日常生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用，進(jìn)而我也對(duì)正態(tài)分布產(chǎn)生了濃厚的興趣。所以在課程設(shè)計(jì)中，我想討論一下正態(tài)分布的有關(guān)問(wèn)題。一、正太分布的由來(lái)、發(fā)展及重要性正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。 正態(tài)分布概念是由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫佛于

2、1733年首次提出的，但由于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。在隨機(jī)變量的各種分布中，正態(tài)分布占有特殊重要的地位，在高斯以后，人們又發(fā)現(xiàn)在實(shí)際問(wèn)題中，許多隨機(jī)變量都近似服從正態(tài)分布。20世紀(jì)前半期，概率論研究的中心課題之一就是尋求獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布式正態(tài)分布的條件。因此，把這一方面的定理統(tǒng)稱為中心極限定理。較一般的中心極限定理表明：若被研究的隨機(jī)變量是大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量近似于正態(tài)分布。這就揭示了正太分布的重要性。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中許多隨機(jī)變量都具有上述性質(zhì)，例如測(cè)量誤差、射擊彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)、人的身高

3、等都是由大量隨機(jī)因素綜合影響的結(jié)果，因而是近似服從正態(tài)分布的。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有常用的三大分布占有極重要的地位，分別是分布，t分布和F分布，這三大分布都與正態(tài)分布有著密切的關(guān)系，由此更能看出正態(tài)分布的重要性。二、正態(tài)分布的含義正態(tài)分布是具有兩個(gè)參數(shù)和2的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，第一參數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的均值，第二個(gè)參數(shù)2是此隨機(jī)變量的方差，所以正態(tài)分布記作N(，2)。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率規(guī)律為：取與鄰近的值的概率大，而取離越遠(yuǎn)的值的概率越??；越小，分布越集中在附近，越大分布越分散。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為，x，并稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布X N(，2)特別的，當(dāng)=0，2=1時(shí)，x此時(shí)的

4、正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它是一種特殊的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算可以查表得到，如果是一般的正態(tài)分布可以化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)計(jì)算。對(duì)于X N(，2)，Y= N(0，1)。利用這個(gè)關(guān)系式，可實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率的互換。三、正態(tài)分布的特點(diǎn)（1）正態(tài)曲線在橫線上方均值處最高。（2）正態(tài)分布均值對(duì)應(yīng)的直線為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱。（3）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，既均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。是位置參數(shù)，決定曲線的中心位置，當(dāng)固定不變時(shí)，越大曲線沿橫軸向右移動(dòng)；越小，曲線沿橫軸越向左移動(dòng)。是形狀參數(shù)，決定曲線的高矮胖瘦，當(dāng)固定不變時(shí)，越大，曲線越平闊（即矮而胖）；越小，曲線越尖峭（即高而瘦）。通常用N(，2)表示

5、均數(shù)為、方差為2的正態(tài)分布，用N(0，12)表示均數(shù)為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。從下圖可以看，正態(tài)分布是一種“中間大，兩頭小”的分布。（4）正態(tài)曲線在2處各有一個(gè)拐點(diǎn)。（5）圖形的漸近線：x軸是它的水平漸近線(如下圖所示)xyxy0四、正態(tài)分布在生活中的應(yīng)用由上文中正態(tài)分布與中心極限定理的關(guān)系知道，正態(tài)分布有著極其廣泛的實(shí)際背景，生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中很多隨機(jī)變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。比如說(shuō)，在生產(chǎn)條件不變的情況下，產(chǎn)品的抗壓強(qiáng)度、口徑、長(zhǎng)度等指標(biāo)；同一種生物體的身長(zhǎng)、體重等指標(biāo)；同一種種子的重量；某個(gè)地區(qū)的年降水量等等。一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)量是由許多微小的獨(dú)立隨機(jī)因素影響的結(jié)果，

6、那么就可以認(rèn)為這個(gè)量具有正態(tài)分布。從理論上看，正態(tài)分布具有很多良好的性質(zhì)，許多概率分布可以用它來(lái)近似。正因其良好的性質(zhì)，正態(tài)分布有著廣泛的應(yīng)用，主要應(yīng)用有以下幾個(gè)：1.估計(jì)頻數(shù)分布一個(gè)服從正態(tài)分布的變量只要知道其均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差就可根據(jù)公 式即可估計(jì)任意取值范圍內(nèi)頻數(shù)比例。2.質(zhì)量控制為了控制實(shí)驗(yàn)中的測(cè)量（或?qū)嶒?yàn)）誤差，常以作為上、下警戒質(zhì)量作為上、下控制值。其依據(jù)當(dāng)然就是在正常情況下測(cè)量（或?qū)嶒?yàn)）誤差服從正態(tài)分布。3.統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)。 檢驗(yàn)、方差分析、相關(guān)性和回歸分析等多種統(tǒng)計(jì)方法均要求分析的指標(biāo)服從正態(tài)分布。許多統(tǒng)計(jì)方法雖然不要求分析指標(biāo)服從正態(tài)分布，但相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量在大樣本時(shí)近似正態(tài)分布，

7、因而大樣本時(shí)這些統(tǒng)計(jì)推斷方法也是以正態(tài)分布為理論基礎(chǔ)的。4.制定某些醫(yī)學(xué)參考值范圍 有些醫(yī)學(xué)現(xiàn)象，如同質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；有些指標(biāo)（變量）雖可能不服從正態(tài)分布，但經(jīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的新變量又有可能服從正態(tài)或近似正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律處理。其中經(jīng)對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后服從正態(tài)分布的指標(biāo)，被稱為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。醫(yī)學(xué)參考值范圍亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍。它是指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標(biāo)的波動(dòng)范圍。制定正常值范圍時(shí)，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”，所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群；其次

8、需根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰担?0%，90%，95%和99%，常用95%；根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，如白細(xì)胞計(jì)數(shù)過(guò)高過(guò)低皆屬不正常須確定雙側(cè)界值，又如肝功中轉(zhuǎn)氨酶過(guò)高屬不正常須確定單側(cè)上界，肺活量過(guò)低屬不正常須確定單側(cè)下界。5.有關(guān)分布的理論基礎(chǔ)上文中就提到了與正態(tài)分布有關(guān)的分布，例如分布，t分布和F分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，u檢驗(yàn)也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，t 分布、二項(xiàng)分布等分布的極限也是正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來(lái)處理。6.正態(tài)分布在自動(dòng)控制、優(yōu)化設(shè)計(jì)、包裝或加工零件的精度以及在質(zhì)量管理和控制等方面也有著廣泛的應(yīng)用。正態(tài)分布的均值

9、就是自動(dòng)控制的設(shè)定值，方差就是自動(dòng)控制的精度；方差越小，精度越高，系統(tǒng)的性能越好。通過(guò)用正態(tài)分布來(lái)近似我們可以簡(jiǎn)化很多問(wèn)題。如零件規(guī)格的設(shè)計(jì)是根據(jù)最優(yōu)化的思想設(shè)定加工零件的內(nèi)徑；當(dāng)新的包裝機(jī)的精度大大提高的情況下應(yīng)該購(gòu)買新包裝機(jī)；用合理的方法確定可獲得超產(chǎn)獎(jiǎng)的產(chǎn)量，使得超產(chǎn)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)?lì)~能在預(yù)定的計(jì)劃內(nèi)；此外，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)規(guī)律表明，學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實(shí)際動(dòng)手能力等呈正態(tài)分布。因而正常的考試成績(jī)分布應(yīng)基本服從正態(tài)分布。考試分析要求繪制出學(xué)生成績(jī)分布的直方圖，以“中間高、兩頭低”來(lái)衡量成績(jī)符合正態(tài)分布的程度。其評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為：考生成績(jī)分布情況直方圖，基本呈正態(tài)曲線狀，屬于好，如果略呈正（負(fù)）

10、態(tài)狀，屬于中等，如果呈嚴(yán)重偏態(tài)或無(wú)規(guī)律，就是差的。所以說(shuō)，正態(tài)分布是一種應(yīng)用極為廣泛的分布，而且對(duì)人們的生產(chǎn)生活有著深刻的影響。用正態(tài)分布近似的方式來(lái)解決問(wèn)題往往會(huì)使多變的問(wèn)題程式化，抽象的問(wèn)題具體化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，也正因如此，將正態(tài)分布應(yīng)用好是個(gè)有重大意義的事情。五、結(jié)語(yǔ)正態(tài)分布看起來(lái)很簡(jiǎn)單，就是一個(gè)函數(shù)表達(dá)式和一條曲線，但是在這個(gè)式子和這條曲線下面卻有著極高的價(jià)值。正態(tài)分布一直被認(rèn)為是概率分布中最重要的一種，因?yàn)樗c實(shí)際生活中的大多數(shù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題有著很高的契合度，而且利用正態(tài)分布來(lái)控制人們的生產(chǎn)生活已經(jīng)使人們意識(shí)到了這個(gè)看似簡(jiǎn)單的分布的重要性。本文中，我僅從其由來(lái)、定義、曲線特點(diǎn)等方面介紹了正態(tài)分布，并對(duì)正態(tài)分布的應(yīng)用及其價(jià)值等方面作了些初步的探究。然而正態(tài)分布