統(tǒng)計(jì)量及其分布 課件

1、15.1 總體與樣本5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.4 三大抽樣分布第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 在概率論中，隨機(jī)變量的分布通常只是已知的或假設(shè)是已知的，但實(shí)際中隨機(jī)變量的分布或分布中的參數(shù)往往是未知的，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一是要尋找隨機(jī)變量的分布或分布中的參數(shù). 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ)，研究如何合理地收集數(shù)據(jù)，采用有效的數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)加以整理與分析，從而對(duì)隨機(jī)變量的分布、數(shù)字特征等做出推斷.5.1 總體與樣本 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布隨機(jī) 抽樣總體樣本統(tǒng)計(jì)量描 述作出 推斷統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題參數(shù)估計(jì)問題假設(shè)

2、檢驗(yàn)問題點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì) 例5.1 P1285.1 總體與樣本 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.1.1 總體與個(gè)體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱為總體，總體中的每個(gè)元素稱為個(gè)體. 例如，在考察某批燈泡的質(zhì)量時(shí)，該批燈泡的全體構(gòu)成一個(gè)總體，而其中的每個(gè)燈泡就是個(gè)體. 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，任何一個(gè)總體都可以用一個(gè)隨機(jī)變量來描述，對(duì)總體的研究也就是對(duì)隨機(jī)變量的研究。 例5.1.1- 5.1 總體與樣本 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.1.2 樣本 為了研究總體的分布特征，必須對(duì)總體進(jìn)行抽樣觀察。從總體X中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體x1,x2,xn，稱為來自總體X的容量為n的樣本. 樣本在

3、觀察之前也是隨機(jī)變量。對(duì)樣本進(jìn)行觀察獲得的數(shù)值稱為樣本觀測(cè)值或樣本值。樣本值仍用字母x1,x2,xn表示。 滿足性質(zhì)： （1）隨機(jī)性個(gè)體xi與總體X同分布； （2）獨(dú)立性個(gè)體xi與xj相互獨(dú)立.的樣本x1,x2,xn稱為簡單隨機(jī)樣本，也簡稱樣本.5.1 總體與樣本 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 習(xí)題5.15.1 總體與樣本 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.1 統(tǒng)計(jì)量 樣本是總體的代表和反映，是統(tǒng)計(jì)推斷的基本依據(jù).但是樣本所含的信息不能直接用于解決我們所要研究的問題，而需要把樣本的信息進(jìn)行數(shù)學(xué)上的加工使其濃縮起來，從而解決我們的問題. 這在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中往往通過構(gòu)造一個(gè)合

4、適的依賴于樣本的函數(shù)統(tǒng)計(jì)量來達(dá)到的. 設(shè)x1,x2,xn是來自總體X的樣本. f(x1,x2,xn)是一個(gè)樣本函數(shù)，若f(x1,x2,xn)不含未知參數(shù)，則稱f(x1,x2,xn)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.1 統(tǒng)計(jì)量 例 設(shè)x1,x2是總體XN(m,s2)的一個(gè)樣本，其中m,s2是未知參數(shù). 則x1+x2，x1+x22都是統(tǒng)計(jì)量，而x1+m，x2/s都不是統(tǒng)計(jì)量. 5.2.2 常用統(tǒng)計(jì)量 設(shè)x1,x2,xn是來自總體X的樣本，稱5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布為樣本均值；為樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差。10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 為樣本k階原

5、點(diǎn)矩； （4）樣本均值與樣本方差獨(dú)立。5.2.2 常用統(tǒng)計(jì)量 5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布為樣本峰度。 樣本均值與樣本方差具有以下性質(zhì):為樣本k階中心矩；為樣本偏度； 稱 （證明見P256）10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.2.2 常用統(tǒng)計(jì)量5.2 統(tǒng)計(jì)量及其分布 定理 設(shè)x1,x2,xn是來自某個(gè)總體X的樣本，x 是樣本均值。 (1)若總體XN(m,s2)，則x的精確分布為N(m,s2/n)； (2)若總體分布未知或不是正態(tài)分布，但E(X)=m，Var(X)=s2，則n較大時(shí) x 的漸近分布為N(m,s2/n)，記作 練習(xí)：習(xí)題5.3-1、7、11、12、13、1410/8/2022第五

6、章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 1、眾數(shù)是樣本值中出現(xiàn)次數(shù)最多的樣本值。眾數(shù)可能不唯一。 2、中位數(shù)是一個(gè)樣本值排序后處于中間位置上的樣本值。中位數(shù)將全部樣本值分為兩部分，每部分包含50%的樣本值。若樣本容量n為奇數(shù)，則中位數(shù)為排序后，中間的那個(gè)樣本值；若樣本容量n為偶數(shù)，則中位數(shù)為排序后處于中間位置上的兩個(gè)樣本值的平均數(shù)。 3、樣本均值：x=xi/n 4、極差是樣本值中的最大值與最小值之差，也稱全距。5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 5.3.1 描述性統(tǒng)計(jì)10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 7、偏態(tài)系數(shù)： 5、樣本方差是樣本值與樣本均值的離差的平方的平均數(shù)，用 s2 表示。 6、樣本方差的正平方根稱為

7、樣本標(biāo)準(zhǔn)差。5.2.1 描述性統(tǒng)計(jì)5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 8、峰態(tài)系數(shù)：5.3.1 描述性統(tǒng)計(jì)5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 注：這里的偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)計(jì)算公式是Excel給出的。與樣本統(tǒng)計(jì)量中有所區(qū)別。 9、Excel描述性統(tǒng)計(jì)的宏命令操作:工具/數(shù)據(jù)分析/描述統(tǒng)計(jì)：10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3.1 描述性統(tǒng)計(jì)5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3.1 描述性統(tǒng)計(jì)5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 例5.3.1 5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示 5.3.1

8、描述性統(tǒng)計(jì)10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 1.數(shù)據(jù)分組 數(shù)據(jù)分組是將全部數(shù)據(jù)依次劃分為若干個(gè)區(qū)間，并將這一區(qū)間的數(shù)據(jù)作為一組。一個(gè)組的最小值稱為下限（Low limit），最大值稱為上限（Upper limit）。 首先確定組數(shù)。一般地，組數(shù)k與數(shù)據(jù)總數(shù)n之間有如下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系： n20,取k=56；n=2060，取k=68；n=60100，取k=810；n=100500，取k=1020. 其次確定各組的組距。組距（Class width）是一個(gè)組的上限與下限之差。5.3.2 頻率分布表與直方圖 5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 等距分組組距(最大值最

9、小值)組數(shù) 第三步是數(shù)據(jù)分組。將數(shù)據(jù)從小到大排序，并按照各組下限和上限進(jìn)行分組，統(tǒng)計(jì)分組時(shí)習(xí)慣上規(guī)定“上組限不在內(nèi)”。 2.計(jì)算組頻數(shù)和組頻率 將各組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)稱為組頻數(shù)。組頻數(shù)占總數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比例稱為組頻率。將組頻數(shù)和組頻率累加可以計(jì)算出累積頻數(shù)或累積頻率。5.3.2 頻率分布表與直方圖5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 3.直方圖 在平面直角坐標(biāo)中，橫軸表示數(shù)據(jù)分組區(qū)間，縱軸表示組頻數(shù)或組頻率，這樣，各組與相應(yīng)的頻數(shù)或頻率就形成了一個(gè)矩形，即直方圖。 例5.3.2 5.3.2 頻率分布表與直方圖5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量

10、及其分布 最小值為141，最大值為237。為了計(jì)算方便，根據(jù)實(shí)際可以將數(shù)據(jù)范圍適當(dāng)擴(kuò)大。本例將數(shù)據(jù)范圍擴(kuò)至140240.分成10各組: 140-150；150-160；160-170；170-180；180-190； 190-200；200-210；210-220；220-230；230-240. 一般地，分組時(shí)規(guī)定上限不在組內(nèi)，而Excel在制作頻數(shù)分布表時(shí)，上限包含在組內(nèi)。因此，Excel制圖時(shí)直方圖的接受域可設(shè)定為：139；149：159：169：179：189：199：219：229：239.5.3.2 頻率分布表與直方圖5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其

11、分布 生成接受域：任選空白單元格，輸入數(shù)值139，從該單元格開始，向下拖出一列，點(diǎn)擊“編輯/填充/序列:步長值為10，確定”. 頻數(shù)表用“工具/數(shù)據(jù)分析/直方圖”；“圖表輸出(C)”，來完成。5.3.2 頻率分布表與直方圖 5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.3 樣本數(shù)據(jù)的整理與顯示5.3.2 頻率分布表與直方圖 練習(xí)：習(xí)題5.2-3、4、510/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的抽樣分布有c2分布、t分布和F分布。 1. c2分布 定義5.4.1 設(shè)x1,x2,xn是來自總體XN(0,1)的一

12、個(gè)樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的c2分布，記作Uc2(n)。 定理 設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且Xc2(n),Yc2(m) ,則X+Yc2(n+m) 。5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 設(shè)Uc2(n)，對(duì)于給定a(0al=a的數(shù)l為c2(n)分布的上分位數(shù)，記作l=ca2(n)。 ca2(n)可查c2(n)分布表而得。ca2(n)oPc2(n)ca2(n)=a 5.4 三大抽樣分布c2(n)f(c2(n)10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 EXCEL中c2(n)分布概率或分位數(shù)的計(jì)算 （1）卡方分布的右尾部概率P(Xx)的計(jì)算

13、 語法：CHIDIST(x,degrees_freedom)其中，x為右尾部分位數(shù)，Degrees_freedom為自由度。 （2）卡方分布的右尾部分位數(shù)的計(jì)算 語法：CHIINV(probability,degrees_freedom)其中，Probability為右尾部概率，Degrees_freedom為自由度。 例4.2.1 Uc2(15)，c2(15)5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布服從自由度為n的t分布，記作tt(n)。 t分布的密度函數(shù)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，且t分布的峰度比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布小。當(dāng)自由度n充分大時(shí)，t分布接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。5.4.1 抽樣分布

14、2. t分布 定義5.4.2 設(shè)XN(0,1)，Yc2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 設(shè)tt(n) ，對(duì)于給定a(0al=a的數(shù)l為t(n)分布的上分位數(shù),記作l=ta(n) . ta(n)可查t(n)分布表而得。ta(n) t(n)oPt(n)ta(n)=a 5.4 三大抽樣分布f(t(n)10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 EXCEL中t(n)分布概率或分位數(shù)的計(jì)算 （1） t 分布的單側(cè)右尾部概率Pt(n)x的計(jì)算 語法：TDIST(x,degrees_freedom,1)其中

15、x為單側(cè)右尾部分位數(shù)，Degrees_freedom為自由度。 （2） t 分布的雙側(cè)尾部概率P|X|x的計(jì)算 語法：TDIST(x,degrees_freedom,2)其中x為單側(cè)右尾部分位數(shù)，Degrees_freedom為自由度。 5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 （3） t 分布的雙側(cè)右尾部分位數(shù)的計(jì)算 語法：TINV(probability,degrees_freedom)其中，Probability為雙側(cè)右尾部的概率，Degrees_freedom為分布的自由度。 例 Tt(10)，求下式中的l： （1）Pt(10)l=0.025；

16、（2）Pt(10)l=0.055.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 3. F分布 定義5.4.3 設(shè)Xc2(m)，Yc2(n)，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度為m,第二自由度為n的F分布，記作FF(m,n)。 設(shè)FF(m,n) ，對(duì)于給定a(0al=a的數(shù)l為F(m,n)分布的上分位數(shù),記作l=Fa(m,n) .5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 Fa(m,n)可查F(m,n)分布表而得。Fa(m,n)FoPF(m,n)Fa(m,n)=a 5.4 三大抽樣分布f(F)10/8/2022第五章

17、統(tǒng)計(jì)量及其分布 EXCEL中F(m,n)分布概率或分位數(shù)的計(jì)算 （1）F分布的右尾部概率P(Fx)的計(jì)算 語法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2)其中，x為右尾部分位數(shù)，Degrees_freedom1為第一自由度，Degrees_freedom2為第二自由度。 （2）F分布的右側(cè)分位的計(jì)算 FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)其中，Probability為右尾部概率，Degrees_freedom1為第一自由度，Degrees_freedom2為第二自由度。5.4.1 抽樣分布

18、5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.1 抽樣分布 例4.2.3 FF(10,15)，求下式中的l： （1）PF(10,15)l=0.025； （2）PF(10,15)l=0.025； 5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.2 正態(tài)分布下的常用分布 定理 設(shè)x1,x2,xn是來自總體XN(m,s2)的一個(gè)樣本，則 例 從總體XN(8,4)中抽取9個(gè)樣本，求樣本均值大于9的概率。 例 在天平上重復(fù)稱量一質(zhì)量為a的物品，假設(shè)各次稱得結(jié)果相互獨(dú)立，且都服從N(a,0.22)，則為n的最小值應(yīng)取多少？5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.2 正態(tài)分布下的常用分布 定理 設(shè)x1,x2,xn是來自總體XN(m,s2)的一個(gè)樣本，則 例 從正態(tài)總體N(3.4,36)中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間1.4,5.4內(nèi)的概率 0.95，樣本的容量至少應(yīng)取多少？5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.2 正態(tài)分布下的常用分布 定理4.2.4 設(shè)x1,x2,xn是來自總體XN(m,s2)的一個(gè)樣本，則 例 x1,x2,x7是來自總體XN(0,52)的一個(gè)樣本，求5.4 三大抽樣分布10/8/2022第五章 統(tǒng)計(jì)量及其分布5.4.2 正態(tài)分布下的常用分布 定理 設(shè)x1,x