微積分課件：D11-5高斯公式1

1、第五節(jié)Guass 公式與Stokes公式 第十一章 散度與旋度Guass公式Stokes公式場論初步一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 (包括邊界)上有連續(xù)的一階偏導數 ,下面先證:函數 P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側, 則有 (Gauss 公式)證明: 設為XY型區(qū)域 , 則所以若 不是 XY型區(qū)域 ,則可引進輔助面將其分割成若干個 XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：思考：此處封閉曲面若取內側，該如何應用此公式？例1. 用Gauss 公式計算其中 為柱面閉域 的整

2、個邊界曲面的外側. 解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =(用柱坐標)及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考: 若 改為內側, 結果有何變化? 若 為圓柱側面(取外側) , 如何計算? 其中 為錐面解: 作輔助面取上側介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側. 所圍區(qū)域為,則 例2. 利用Gauss 公式計算積分利用重心公式, 注意例3.設 為曲面取上側, 求 解: 作取下側的輔助面用柱坐標例4 求S是橢球面是原點到S的切平面之距離解：記S所圍區(qū)域為V，為S的單位外法矢，則由GUASS公式得在閉區(qū)域 上具有一階和二階連續(xù)偏導數, 證明格林( Green )第一公式例5.

3、 設函數其中 是整個 邊界面的外側. 證:令由高斯公式得移項即得結論其中S由所圍立體的表面,取外側其中S為,取下側,取下側思考與練習所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2) 為設 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點 ( x , y , z ) 的向徑試證證: 設 的單位外法向量為 則的夾角,積為V,1、定義:設有向量場其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導數, 在場中點 M(x, y, z) 處 稱為向量場 F 在點 M 的散度.記作divergence二、散度與旋度稱向量為在點M(x,y,z)處的旋度記為散度是數量，旋度是向量例6.置于原點, 電量為 q 的點電荷產生的場強

4、為解: 2、向量微分算子定義向量微分算子:它又稱為( Nabla )算子, 或哈密頓( Hamilton ) 算子. 則Laplace算子則高斯公式可寫成:梯度散度具有微分運算和矢量運算的特性：線性規(guī)則、積規(guī)則、鏈規(guī)則設則設f二次可微,求三、 斯托克斯( Stokes ) 公式 1、定向曲面的正向邊界設S是有邊界曲線L的定向曲面,當 觀察者立于S的指定一側沿L行進時,S的指定一側總在觀察者的左側，則說S與L的 方向一致，此方向稱為 S的邊界的 正向如：取上側,則S的 正向邊界是xoy面上逆時針走向的 單位圓周（或邊界L的正向與S的法向量符合右手法則）2、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定

5、理2. 設是分片光滑的 定向曲面,它以 分段光滑的(斯托克斯公式)邊界）具有連續(xù)一階偏導數,在(包括則有有向閉曲線為邊界,與S的 定向一致,或則(利用格林公式) 為確定起見, 不妨設 取上側 (如圖).證:情形1 與平行 z 軸的直線只交于 一點, 設其方程為因此同理可證三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個, 則可通過作輔助線面把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域, 則斯托克斯公式

6、就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:或用第一型曲面積分表示:例1. 利用斯托克斯公式計算積分其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標面所截三角形的整個解: 記三角形域為, 取上側,則邊界, 方向如圖所示. 利用對稱性例2. 為柱面與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時針, 計算解: 設為平面 z = y 上被 所圍區(qū)域 ,且取下側,利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦如何選取曲面？從Z軸正向看去為反時針方向例3:求解:L圍成的區(qū)域可看作是平面x+y+z=0上一半徑為a的圓盤S,取S上側的單位法向量由stokes公式得從Z軸正向看去

7、為反時針方向思考：求滿足與平面x+ y + z =1的交線,從 z 軸正向看為順時針, 計算1、 為2、求與平面x+ y =2的交線,從 x 軸正向看為順時針3、求的交線,從 z軸正向看取順時針方向 定理：設V是單連通的 空間區(qū)域,P,Q,R在V內具有空間曲線積分與路徑無關的 條件連續(xù)的一階偏導數,則以下條件相互等價：1）曲線積分在V內與路徑無關2）存在可微函數使3）在V內4)在V內任何分段光滑閉曲線L,有四、場論初步1、數量場與矢量場若對空間或其中某一區(qū)域V中的每一點M都對應一個數量(或向量),則稱在V上構成一個數量場(或向量場)如:空間各點溫度-溫度場,流體各點的速度,引力場,磁場等2、向量線或流線向量場有連續(xù)的偏導數,L為此向量場中一條曲線,若L上每一點M處的切線方向都與 在該點的方向一致,即則稱L為向量場的矢量線或流線3、常見的矢量場1）梯度場（有勢場）2）散度場3）旋度場4）無源場5）無旋場設是矢量場，u是數量場若存在函數v，使，則稱 是梯度場或有勢場若存在矢量，使則稱u為散度場若則稱為旋度場4）環(huán)流量與流量設L是V內的分段光滑閉曲線,S是V內的分片光滑定向曲面,分別稱沿L的環(huán)流量與穿過S的流量（或通量）Guass公式Stokes公式5）空間曲線積分與路徑無關的條件說明：定理：設V使面單連通區(qū)域(任何閉曲面所圍成的區(qū)域在V中),則穿過