古典概率模型以及幾何概率模型

1、關(guān)于古典概率模型和幾何概率模型1第1頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四2一、古典概率模型 1 只有有限多個(gè)基本事件，并記它們?yōu)?, 2, ，n ；一類最簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)具有下述特征: 2 每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等，即 這種可等能的概率模型曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象，謂之為古典概率模型，簡(jiǎn)稱為古典概型第2頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四3 古典概型在概率論中有很重要的地位，一方面是因?yàn)樗容^簡(jiǎn)單，許多概念既直觀又容易理解，另一方面是因?yàn)樗爬嗽S多實(shí)際問(wèn)題，有廣泛的應(yīng)用 對(duì)于古典概型下的任何事件A，若A中所包含第3頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5

2、月20日，3點(diǎn)23分，星期四4求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題 .排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m類方式，第一類方式有n1種方法，第二類方式有n2種方法, ,第m類方式有nm種方法.則完成這件事總共有n1 + n2 + + nm 種方法 .特點(diǎn):一步完成第4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四5 例如，某人要從甲地到乙地去, 甲地乙地 可以乘火車 ,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3 + 2 種方法回答是第5頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四6基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同

3、的方法 .2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有n1種方法，第二個(gè)步驟有n2種方法, 第m個(gè)步驟有nm種方法.特點(diǎn)：多步完成 例如, A地到B地有兩種走法, B地到C地有三種走法, C地 到 D地有四種走法, 則 A地到 D 地共有種走法.第6頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四7特別, k = n時(shí)稱全排列排列、組合的定義及計(jì)算公式1. 排列:從n個(gè)元素中取 k個(gè)不同元素的排列數(shù)為：階乘 若允許重復(fù), 則從n個(gè)元素中取 k個(gè)元素的排列數(shù)為：注意第7頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四82. 組合:從n個(gè)元素中取 k個(gè)元素的組合數(shù)為：推廣: n

4、個(gè)元素分為s組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,rs的分法總數(shù)為第8頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四9例7 在盒子里有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)上號(hào)碼1，2，10 。從中任取一球，求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率。 解 設(shè)m表示所取的球的號(hào)碼為m(m=1,2,10)，則試驗(yàn)的樣本空間為S=1,2,10，因此基本事件總數(shù)n=10。又設(shè)A表示“所取的球號(hào)碼為偶數(shù)”這一事件，則A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5個(gè)樣本點(diǎn)，故 第9頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四10古典概型的基本類型舉例古典概率的計(jì)算關(guān)鍵在于計(jì)算基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)。由于樣

5、本空間的設(shè)計(jì)可由各種不同的方法，因此古典概率的計(jì)算就變得五花八門、紛繁多樣。但可歸納為如下幾種基本類型。第10頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四111、抽球問(wèn)題 例8 設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅球一白球的概率。解 設(shè)A取到一紅球一白球答:取到一紅一白的概率為3/5。第11頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四12 一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是第12頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四13例9 某箱中裝有m+n個(gè)球，其中m個(gè)白球， n個(gè)黑球。(

6、1)從中任意抽取r+s個(gè)球，試求所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球的概率； 解 試驗(yàn)E：從m+n球中取出r+s個(gè)，每r+s個(gè)球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為設(shè)事件A：“所取的球中恰好有r個(gè)白球和s個(gè)黑球”，總共有多少個(gè)基本事件呢？所以，事件A發(fā)生的概率為第13頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四14(2)從中任意接連取出k+1(k+1m+n)個(gè)球，如果每一個(gè)球取出后不還原，試求最后取出的球是白球的概率。解 試驗(yàn)E：從m+n球中接連地不放回地取出k+1個(gè)球每k+1個(gè)排好的球構(gòu)成E的一個(gè)基本事件，不同的基本事件總數(shù)為 設(shè)事件B：“第k+1個(gè)取出的球是白球”， 由于第

7、k+1個(gè)球是白球，可先從m個(gè)白球中取一個(gè)留下來(lái)作為第k+1個(gè)球，一共有 其余k個(gè)球可以是余下的m+n-1個(gè)球中任意k個(gè)球的排列，總數(shù)為種保留下來(lái)的取法，事件B所包含的基本事件總數(shù)為第14頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四15所以最后所取的球是白球的概率為注：P(B)與k無(wú)關(guān)，即不論是第幾次抽取，抽到白球的概率均為 第15頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四16 在實(shí)際中，有許多問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式與抽球問(wèn)題相同，把一堆事物分成兩類，從中隨機(jī)地抽取若干個(gè)或不放回地抽若干次，每次抽一個(gè)，求“被抽出的若干個(gè)事物滿足一定要求”的概率。如產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物

8、的選種等問(wèn)題均可化為隨機(jī)抽球問(wèn)題。我們選擇抽球模型的目的在于是問(wèn)題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過(guò)多的交代實(shí)際背景。第16頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四172、分球入盒問(wèn)題解 設(shè)A：每盒恰有一球，B：空一盒例10 將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問(wèn)：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）恰好空一盒的概率是多少？第17頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四18一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：第18頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四19例11 設(shè)有n個(gè)顏色互不相同的球，每個(gè)球都以概率1/N落在

9、N(nN)個(gè)盒子中的每一個(gè)盒子里，且每個(gè)盒子能容納的球數(shù)是沒(méi)有限制的，試求下列事件的概率： A=某指定的一個(gè)盒子中沒(méi)有球B=某指定的n個(gè)盒子中各有一個(gè)球C=恰有n個(gè)盒子中各有一個(gè)球D=某指定的一個(gè)盒子中恰有m個(gè)球(mn)解 把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN),總共有Nn種放法。即基本事件總數(shù)為Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n個(gè)球中的每一個(gè)球可以并且只可以放入其余的N-1個(gè)盒子中?？偣灿?N1)n種放法。因此 第19頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四20事件B：指定的n個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中各放一球，共有n!種放法，因此 事件C：恰有n個(gè)盒子，其中各有一球

10、，即N個(gè)盒子中任選出n個(gè)，選取的種數(shù)為CNn 在這n個(gè)盒子中各分配一個(gè)球，n個(gè)盒中各有1球(同上)，n!種放法；事件C的樣本點(diǎn)總數(shù)為事件D：指定的盒子中，恰好有m個(gè)球，這m個(gè)球可從n個(gè)球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余n-m個(gè)球可以任意分配到其余的N-1個(gè)盒子中去，共有(N-1)n-m種，所以事件D所包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為Cnm(N-1)n-m第20頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四21某班級(jí)有n 個(gè)人(n365)，問(wèn)至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？?分球入盒問(wèn)題，或稱球在盒中的分布問(wèn)題。有些實(shí)際問(wèn)題可以歸結(jié)為分球入盒問(wèn)題，只是須分清問(wèn)題中的“球”與“盒”，不可弄

11、錯(cuò)。(1)生日問(wèn)題：n個(gè)人的生日的可能情況，相當(dāng)于n個(gè)球放入N=365個(gè)盒子中的可能情況(設(shè)一年365天)；(2)旅客下車問(wèn)題(電梯問(wèn)題)：一列火車中有n名旅客，它在N個(gè)站上都停車，旅客下車的各種可能場(chǎng)合，相當(dāng)于n個(gè)球分到N個(gè)盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配問(wèn)題：n個(gè)人被分配到N個(gè)房間中；(4)印刷錯(cuò)誤問(wèn)題：n個(gè)印刷錯(cuò)誤在一本具有N頁(yè)書(shū)的一切可能的分布，錯(cuò)誤球，頁(yè)盒子。 第21頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四223.分組問(wèn)題例12 30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。

12、解 設(shè)A：每組有一名運(yùn)動(dòng)員；B：3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組第22頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四23一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(nm),要求第 i 組恰有ni個(gè)球(i=1,m)，共有分法：第23頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四244. 隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題例13 從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率；(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率；(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率。解 N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分別為：33

13、/200,1/8,1/25第24頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四25例14 全班有50個(gè)學(xué)生，問(wèn)至少有兩人生日相同的概率為多少？（設(shè)一年有365天） 解事件總數(shù):有利場(chǎng)合數(shù): 概率之大有點(diǎn)出乎意料. 從下表中可以看出, 當(dāng)人數(shù)超過(guò)23時(shí)，打賭說(shuō)至少有兩人同生日是有利的.第25頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四26 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994有人同生日的概率人數(shù)第26頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星

14、期四27*二、幾何概率模型幾何概型借助于幾何度量確定事件的概率，習(xí)慣上稱這種概率為幾何概率類似于古典概型的有限性和等可能性，幾何概型滿足下述兩個(gè)特征：其幾何度量度、面積或體積等）大小可用表示； 1隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間充滿某個(gè)區(qū)域，第27頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四28事件A的概率為對(duì)于幾何概型下的任何事件A，若A對(duì)應(yīng)于中的某個(gè)子區(qū)域，其幾何度量可用表示，則2任意一點(diǎn)落在中任何子區(qū)域的概率只與其幾何度量有關(guān)，并與之成正比第28頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四29例1.12 某地鐵車站每隔5分鐘有一列車通過(guò)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，求一位乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率記A=候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘 則 這里和分別表示A和的長(zhǎng)度解 設(shè)x為乘客到達(dá)車站的時(shí)刻，則樣本空間第29頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，3點(diǎn)23分，星期四30例1.1 在區(qū)間（0,1）中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于1/2的概率1