課件分講概率統(tǒng)計

1、00:24:511第二章 隨機(jī)變量及其分布 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，為了更深入地研究隨機(jī)試驗(yàn),我們引進(jìn)隨機(jī)變量的概念.00:24:512 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；第一節(jié) 隨機(jī)變量樣本空間S=1,2,3,4,5,6；每天從鄭州下火車的人數(shù)；樣本空間S=0,1,2,3,；一、隨機(jī)變量的引入00:24:513昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；樣本空間S=0,1,2,3,；七月份鄭州的最高溫度；樣本空間S=x | x 0；00:24:5142、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化

2、. 正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系. 00:24:515這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).e.X(e)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)一樣嗎？00:24:516 E1:投擲一枚勻稱的硬幣,觀察它哪一面向上？試驗(yàn)E1的樣本空間是 S1=正面,反面=e;若用則X1是定義在S1上的函數(shù),用函數(shù)X1取值就能描述隨機(jī)試驗(yàn)E1的結(jié)果,由于正面或反面的出現(xiàn)是隨機(jī)的,所以X1=1或X1=0也是隨機(jī)的,因而稱此X1為隨機(jī)變量;00:24:517 E2:甲乙兩人下一盤棋,觀察比賽結(jié)果.試驗(yàn)E2的樣本 空間是S2=甲勝,和局,甲負(fù)=e;定義函數(shù)則X2

3、是定義在S2上的函數(shù),用函數(shù)X2取值就能描述隨機(jī)試驗(yàn)E2的結(jié)果,顯然X2也為隨機(jī)變量;00:24:518類似地,我們可以對第1類情況也寫出隨機(jī)變量.E3:擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；試驗(yàn)E3的樣本 空間是S3=1,2,3,4,5,6=e;定義函數(shù)則X3是定義在S3上的函數(shù),用隨機(jī)變量X3取值就能描述隨機(jī)試驗(yàn)E3的結(jié)果;X3=k, 當(dāng)e=k時,這里k=1,2,3,4,5,6 ；00:24:519E4:每天從鄭州下火車的人數(shù)；試驗(yàn)E4的樣本 空間是S4=0,1,2,3,=e;定義函數(shù)則X4是定義在S4上的函數(shù),用隨機(jī)變量X4取值就能描述隨機(jī)試驗(yàn)E4的結(jié)果;X4=k,當(dāng)e=k時,這里k=0,1,2,

4、；00:24:5110我們從上面幾個例子看到,用數(shù)量來描述試驗(yàn)的全部結(jié)果,對我們研究隨機(jī)試驗(yàn)是方便的.因此,有必要把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果都轉(zhuǎn)化成數(shù)量來表示.這就有必要引入一個重要概念-隨機(jī)變量. 下面我們先總結(jié)這里定義的所謂隨機(jī)變量的特點(diǎn):00:24:5111（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率. 粗略地稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨量機(jī)變00:24:5112定義1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S=e,如果對于每一個樣本點(diǎn)eS，都有確定

5、的實(shí)數(shù)值X(e)與之對應(yīng)，并且對于任意實(shí)數(shù)x，Xx=eS | X(e) x是隨機(jī)事件， 也即X x有確定的概率，則稱這樣的實(shí)值變量X=X(e)為隨機(jī)變量，簡記為X。 隨機(jī)變量X，簡記為r.v.X，有的書上稱為隨機(jī)變數(shù)。通常用大寫英文字母X, Y, Z, X1, X2, 或希臘字母,等表示隨機(jī)變量。而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.00:24:5113 而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,等表示00:24:5114 例如，上述分別定義于樣本空間S1,S2,S3,S4上的函數(shù)X1,X2,X3,X4都是隨機(jī)變量。

6、由此可見，隨機(jī)變量X就是定義在樣本空間S=e上的一個單值實(shí)函數(shù)。由于e在試驗(yàn)E中出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以實(shí)數(shù)X(e)的取值相對于試驗(yàn)E來說也是隨機(jī)的，這就是稱它為隨機(jī)變量的原因。 引入隨機(jī)變量以后，隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量的取值來表示了。00:24:5115例 任給隨機(jī)事件A,定義稱IA(e)為事件A的示性函數(shù).所以對于任意實(shí)數(shù)x, eS | IA(e) x是隨機(jī)事件， 故IA(e) 為隨機(jī)變量，而且P(A)=PeS | IA(e)=1。 這樣,求事件A的概率P(A)就等價于求隨機(jī)變量IA(e)等于1的概率。因此隨機(jī)事件的研究就納入了隨機(jī)變量的研究之中。由于00:24:5116如在試驗(yàn)E3中，令A(yù)=

7、擲出偶數(shù)點(diǎn); B=擲出點(diǎn)數(shù)不大于3; C=擲出點(diǎn)數(shù)不小于4;則隨機(jī)事件可分別表示如下：A=X3=2=X3=4 X3=6 ;B= X33 ; C= X34 。這樣一來，我們所關(guān)心的隨機(jī)事件的概率問題就轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取值的概率問題。因此，隨機(jī)變量及其取值的概率是我們今后學(xué)習(xí)研究的主要對象。00:24:5117 例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一學(xué)生，測量他的身高. 我們可以把可能的身高看作隨機(jī)變量X,然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題. 如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?00:24:5118 有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 二、引入隨機(jī)

8、變量的意義 如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機(jī)變量. 事件收到不少于1次呼叫 X 1 沒有收到呼叫 X= 0 00:24:5119 可見，隨機(jī)事件這個概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個更廣的概念內(nèi). 也可以說，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣.00:24:5120 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律00:24:5121第二節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 研究隨

9、機(jī)變量X，不但要知道它取哪些值，更重的是要掌握它在各個范圍內(nèi)取值的概率規(guī)律。為此，引進(jìn)分布函數(shù)的概念。對一般的隨機(jī)變量，如何描述它取值的概率規(guī)律就成為我們下面研究的內(nèi)容。 若X為隨機(jī)變量，則對于任意實(shí)數(shù)x，Xx=eS | -X (e)x是隨機(jī)事件，如果對一切實(shí)數(shù)x，PXx都知道了，那么對X取值于一切有限，無限的開，閉，半開，半閉區(qū)間內(nèi)的概率也能用概率的性質(zhì)計算出來。00:24:5122定義2 設(shè)X為隨機(jī)變量，稱 F(x)=PXx,-xx分布函數(shù)F(x)是定義于實(shí)數(shù)軸上的實(shí)函數(shù).00:24:5123 問： 在上 式中，X, x 皆為變量. 二者有什么區(qū)別？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率

10、？X是隨機(jī)變量, x是參變量.F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.00:24:5124 分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來研究 隨機(jī)變量.00:24:5125分布函數(shù)F(x)具有以下基本性質(zhì)：(1)取值范圍:0F(x)1,且 (2)單調(diào)不減,對于x1x2,有F(x1) F(x2); (由于F(x1)=PXx1 PXx2=F(x2) )反之，若定義在（-，）上的實(shí)函數(shù)F(x)滿足以上條件(1)(2)(3), 則F(x)一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。(3)右連續(xù),對一切實(shí)數(shù)x0 有00:24:5126分布函數(shù)F(x)還具有下列一些性質(zhì): (4)對任意實(shí)數(shù)a,b

11、(ab),PaXb=F(b)-F(a) (2) (5) 對任意實(shí)數(shù)x,有 PX=b=F(b)-F(b-0) (3)由(4)(5)易得 PaXb=F(b-0)-F(a) PaXb=F(b)-F(a-0) PaXa=1-PXa=1-F(x)其中左極限00:24:5127式(2)表明：隨機(jī)點(diǎn)X落在任何一個左開右閉區(qū)間（a,b上的概率等于X的分布函數(shù)F(x)在該區(qū)間上的增量。式(3)表明：隨機(jī)變量X取任何一個特定值的概率可由它的分布函數(shù)F(x)來確定。于是，式(2)(3)表明：隨機(jī)變量X在任何區(qū)間上取值的概率都可用它的分布函數(shù)來確定。在這個意義上，分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的取值規(guī)律，它是我們研究

12、隨機(jī)變量取值規(guī)律的基本工具。00:24:5128當(dāng) x0 時， X x = ， 故 F(x) =0例1，求 F(x).當(dāng) 0 x 1 時， F(x) = P(X x) = P(X=0) =F(x) = P(X x)解:00:24:5129當(dāng) 1 x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =當(dāng) x 2 時， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1故注意右連續(xù)00:24:5130下面我們從圖形上來看一下.00:24:5131概率函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫 分布函數(shù)圖00:24:5132 不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2

13、處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).00:24:5133 例2 X具有離散均勻分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,，n，x(1) x x(2)時，F(xiàn)(x)=P(X x)=1/n, x(2) x x(3)時，F(xiàn)(x)=P(X x)=2/n, 顯然，x x(1)時，F(xiàn)(x)=P(X x)=0,解：將X所取的n個值按從小到大的順序排列為：求X的分布函數(shù).x(1) x(2) x(n)00:24:5134x(k) x x(k+1)時，F(xiàn)(x)=P(X x)=k/n, x x(n)時，F(xiàn)(x)=P(X x)=1于是得這個結(jié)果在數(shù)理統(tǒng)計中有用.00:24

14、:5135例 投擲一顆勻稱的骰子,記錄其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).令則X是一個隨機(jī)變量.求X的分布函數(shù).解 X只可能取0、1兩個值,且根據(jù)題意,00:24:5136當(dāng)x0時,Xx是不可能事件，故F(x)=PXx=0,當(dāng)0 x1 解 (1)由分布函數(shù)的性質(zhì),得所以a=1,b=-1.(2)略00:24:5138試說明F(x)能否是某個r.v 的分布函數(shù).例5 設(shè)有函數(shù) F(x)解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(2)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(1)， 可見F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者00:24:5139 例6 在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以 X 表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).

15、 設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，試求 X 的分布函數(shù). 解： 設(shè) F(x) 為 X 的分布函數(shù)，當(dāng) x a 時，F(xiàn)(x) =100:24:5140當(dāng) 0 x a 時， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) )由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a 這就是在區(qū)間 0，a上服從均勻分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù).00:24:5141例7 某人打靶,圓靶半徑為1m.設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤的概率與該圓靶的面積成正比.以表示彈著點(diǎn)至靶心的距離,試求隨機(jī)變

16、量的分布函數(shù).解 根據(jù)題意,X可能取0,1上的任何實(shí)數(shù). 當(dāng)x0時,Xx是不可能事件，故F(x)=PXx=0,當(dāng)0 x 1時,Xx=X0 0 X x,故 F(x)=PXx=PX1時,Xx是必然事件,故F(x)=PXx=1.00:24:5142所以隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為顯然,F(x)是一個連續(xù)函數(shù). 當(dāng)分布函數(shù)F(x)在點(diǎn)a處連續(xù)時, 即從而有00:24:5143由上面例題的實(shí)際情況,X=a(0a1)是有可能發(fā)生的.這一事實(shí)再一次告訴我們,即使P(A)=0,也未必有.隨機(jī)變量按其取值不同,可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量及其它類隨機(jī)變量.我們只討論離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量.00:24:

17、5144分布函數(shù)的討論 雖然離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量是實(shí)際中最重要的兩類隨機(jī)變量，但是它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有窮盡一切隨機(jī)變量.例 設(shè)顯然F(x)是分布函數(shù)，但它既不是階梯函數(shù)，又不是絕對連續(xù)函數(shù)，故它既不是離散型，也不是連續(xù)型的。11/2OxF(x)00:24:5145利用實(shí)分析中關(guān)于單調(diào)函數(shù)有關(guān)結(jié)果，可推出分布函數(shù)還具有如下性質(zhì)：分布函數(shù)F(x)至多只有可列個不連續(xù)點(diǎn)；分布函數(shù)F(x)對幾乎所有x有導(dǎo)數(shù)；對分布函數(shù)F(x)有如下唯一分解： F(x)=a1F1(x)+a2F2(x)+a3F3(x), 其中，ai0,i=1,2,3,a1+a2+a3=1,F1(x)是跳躍函數(shù)，稱為離散型分布函數(shù)，F(xiàn)2

18、(x)是絕對連續(xù)函數(shù)，稱為連續(xù)型分布函數(shù)，F(xiàn)3(x)是奇異函數(shù)(它是連續(xù)函數(shù)，但其導(dǎo)數(shù)對幾乎所有x都等于0)，稱為奇異型分布函數(shù)。00:24:5146 奇異型分布函數(shù)在理論上很有價值，但是在實(shí)際問題中很少應(yīng)用。因此，我們討論將不涉及奇異型分布函數(shù)。00:24:5147第三節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布 設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率.00:24:5148 這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3 個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1且00:24:5149定義3 若隨機(jī)變量只可能取有限個或可數(shù)個實(shí)數(shù)值：, 則稱X為離散型隨機(jī)變量。()X取各個可能值的概率 , 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布(或分布律,或分布列). 一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義(1)(2) ,用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是概率函數(shù)00:24:5150這里pk滿足(1)(2