江蘇專用2022年版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值課件

1、第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)習(xí)要求:1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實(shí)際意義.1.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)的定義:必備知識(shí)整合 增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,且DI,如果對(duì)任意x1,x2D當(dāng)x1x2時(shí),都有f(x1)f(x2),那么就稱y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2),那么就稱y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

2、性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.提醒(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域.(2)一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“”連接.(3)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然NM.2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)對(duì)于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M結(jié)論M為函數(shù)y=f(x)的最大值M為函數(shù)y=f(x)的最小值知識(shí)拓展1.單調(diào)性定義的等價(jià)形式設(shè)任意的x1,x2a,b,x1x2.

3、(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,則f(x)在閉區(qū)間a,b上是增函數(shù).(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k0)與y=-f(x),y=在公共定義域內(nèi)的單調(diào)性相反.(4)函數(shù)y=x+(a0)的增區(qū)間為(-,-和,+),減區(qū)間為(-,0)和(0,).1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-1)f(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).()(2)若函數(shù)y=f(x)在1,+)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,+).()(3)函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+)

4、.()(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()(5)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù),其最值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取到.()2.(新教材人教A版必修第一冊(cè)P79T3改編)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減的是()A.y=-xB.y=x2-xC.y=ln x-xD.y=ex 3.(新教材人教A版必修第一冊(cè)P85T1改編)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=lof(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(-,-3,0,3 B.-3,0,3,+)CC.(-,-5),0,1)D.(-1,0,(5,+)4.(新教材人教A版必修第一冊(cè)P81例5改編)函數(shù)y=在區(qū)間2,3上的最大值是2.5.函數(shù)f(x)=的單調(diào)增區(qū)間為(-,-

5、1).考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)關(guān)鍵能力突破角度一確定不含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)典例1(1)(2020湖北荊州高三期末)設(shè)maxa,b=則函數(shù)f(x)=maxx2-x,1-x2的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.-1,0,B.(-,-1,C.,0,1D.,1,+)D(2)(2020黑龍江大慶高三模擬)函數(shù)f(x)=的單調(diào)增區(qū)間是()A.(-,-3)B.2,+)C.0,2)D.-3,2B解析(1)由x2-x=1-x2得2x2-x-1=0,解得x=1或x=-,當(dāng)x1或x-時(shí),f(x)=maxx2-x,1-x2=x2-x,此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+);當(dāng)-x0,且f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,

6、求a的取值范圍.解析(1)f(x)=a=a,任取x1,x2(-1,1),且x1x2,則f(x1)-f(x2)=a-a=,因?yàn)?1x1x20,x1-10,x2-10時(shí),f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減;當(dāng)a0時(shí),f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增.(2)證明:任取x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增.任取x1,x2(1,+),且x10,x2-x10,所以要使f(x1)-f(x2)0恒成立,只

7、需(x1-a)(x2-a)0恒成立,所以a1.綜上所述,0a1.名師點(diǎn)評(píng)1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),應(yīng)先求函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間,單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示,且圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要用“和”或“,”連接.2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:定義法;圖象法;利用已知函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)法.(2)函數(shù)y=f g(x)的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷,遵循“同增異減”的原則.判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+(其中1a3)在x1,2上的單調(diào)性.解析函數(shù)f(x)在1,2上單調(diào)遞增.證明如下:任取x1,x21,2,且x1x2,則f(x2)-f(x1)=a+-a-=

8、(x2-x1),由1x10,2x1+x24,1x1x24,-1-.因?yàn)?a3,所以2a(x1+x2)0,從而f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),故當(dāng)a(1,3)時(shí),f(x)在1,2上單調(diào)遞增.考點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度一利用單調(diào)性比較大小典例3(2020河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=若a=50.01,b=log32,c=log30.9,則有()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(a)f(b)C.f(a)f(c)f(b)D.f(a)f(b)f(c)D解析當(dāng)x0時(shí),f(x)=ex-e-x單調(diào)遞增,且f(0)=0;當(dāng)x0時(shí),f(x)=-x2單調(diào)遞增,且f(0)=0,所以函數(shù)f

9、(x)在R上單調(diào)遞增,因?yàn)閍=50.011,0b=log321,c=log30.9bc,所以f(a)f(b)f(c).角度二利用單調(diào)性解不等式典例4(2020山東聊城三模)已知函數(shù)f(x)=若f(a2-3)f(-2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,1B.(-,-31,+)C.(-,13,+)D.-3,1D解析當(dāng)x0時(shí),f(x)=3e-x單調(diào)遞減;當(dāng)x0時(shí),f(x)=-4x+3單調(diào)遞減.又3e0=-40+3=3,所以函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù),則函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減.作出函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.由f(a2-3)f(-2a)可得a2-3-2a,即a2+2a-30,解得-3a

10、1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3,1.角度三利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍典例5(2020廣西柳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=滿足對(duì)任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.(1,+)B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)任意x1x2且x1,x2(0,+),都有 0成立,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以所以0 x11時(shí),f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bacD解析由于函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以a=f=f.當(dāng)x2x11時(shí),f(x2)

11、-f(x1)(x2-x1)ac.2.如果函數(shù)f(x)=在區(qū)間(-2,+)上是增函數(shù),那么a的取值范圍是1,+).解析f(x)=a-,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,+)上是增函數(shù),即故a1.考點(diǎn)三求函數(shù)的最值(值域)典例6(1)(2020安徽六安一中高三月考)若函數(shù)f(x)=,則f(x)的值域?yàn)?)A.(-,3B.(2,3)C.(2,3D.3,+)(2)已知函數(shù)f(x)=則ff(-3)=0,f(x)的最小值是2-3.C解析(1)f(x)=2+,且x2+110122+3,f(x)的值域?yàn)?2,3,故選C.(2)f(-3)=lg(-3)2+1=lg 10=1,ff(-3)=f(1)=0.當(dāng)x1時(shí),f(x)=x+-32-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),取等號(hào),此時(shí)f(x)min=2-30;當(dāng)x1時(shí),f(x)=lg(x2+1)lg 1=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),取等號(hào),此時(shí)f(x)min=0.函數(shù)f(x)的最小值為2-3.名師點(diǎn)評(píng)求函數(shù)最值的五種常用方法:(1)單調(diào)性法:先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法:先作出函數(shù)的圖象,再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出最值.(3)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法:先求