微積分課件第一章

1、微積分A第一章 函數(shù)與極限教學(xué)內(nèi)容和基本要求： 理解函數(shù)概念、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念，掌握基本函數(shù)的性質(zhì)和圖形，會建立簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 理解極限的概念、性質(zhì)，掌握極限四則運算法則，了解兩個極限存在的準則會用兩個重要極限求極限；了解無窮小、無窮大及無窮小的階的概念，并會用無窮小求極限。 理解函數(shù)的連續(xù)性的概念，了解間斷點的概念，并會判斷間斷點類型；了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。理解極限的概念的幾何意義會利用極限定義證明極限存在理解函數(shù)極限的概念學(xué) 習 重 點第三節(jié) 函數(shù)的極限 掌握左右極限的概念通過對數(shù)列極限問題的研究，我們已

2、經(jīng)看到極限是一種思想方法，是從認識有限到把握無限的一個過程，對于特殊的函數(shù)，我們已經(jīng)了它們當n趨于無窮時的各個不同趨向?qū)τ谝粋€函數(shù)，在自變量的某個變化過程中，如果對應(yīng)的函數(shù)值可以無限接近于某個確定的常數(shù)，那么這個確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過程中的極限。各種函數(shù)極限的直觀實例 如果當 x 無限地接近于 x0 時 函數(shù) f (x) 的值無限地接近于常數(shù) A 則常數(shù) A 就叫做函數(shù) f (x)當 xx0時的極限 記作 函數(shù)極限的的通俗定義一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限分析 當 xx0 時 f (x) A 當| x - x0 |0 時 | f(x) A | 0 當 | x - x0 |小于某一正數(shù)

3、 d 后 |f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e 任給e 0 存在d 0 使當|x-x0|d 時 有| f(x)-A|e 設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義 函數(shù)極限的精確定義函數(shù)極限的幾何意義證：關(guān)于函數(shù)極限的例題例1 0, 0, 當0|xx0| 時, 有 | f (x) a |0極限的局部保號性定理 推論: 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi) f(x) 0 (f(x)0) 而且 則 如果 存在，那么極限必是唯一的極限存在的唯一性定理極限存在的局部有界性定理 如果 ,那么必存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)在點x0（可以不包括x0）的某一領(lǐng)域內(nèi)總有 |f(x)|M 唯一性和有界性證明與數(shù)列類似,

4、請同學(xué)們自己證定義定理此定理常用來討論函數(shù)在某點的極限不存在!函數(shù)的左、右極限左極限yxo1-1 考慮符號函數(shù)求 因為 所以 不存在。 右極限解： 例3f (x) = x ,當x0時,sinx,當x0時,由于當x0時, 對應(yīng)的函數(shù)值f (x) =x.由于當x0時, 對應(yīng)的函數(shù)值f (x) = sinx.解：f (x)是一個分段函數(shù)，x=0是這個分段函數(shù)的分段點. 對一個分段函數(shù)來說，其分段點處的極限要分左、右極限討論.例4-11y=x+1y=x-1 判斷函數(shù)當x0時的極限是否存在練習3解答: 因為所以,極限不存在左、右極限存在, 但不相等,解：f (x) = x ,當x0時,cos x,當x0時,練習4xyx0+x0yy 類似地可定義 設(shè) f (x)當|x|大于某一正數(shù)時有定義 如果對于任意給定的正數(shù)e 存在著正數(shù) X 使得當|x|X 時 不等式： | f (x) -A| 0 ”.但是, 數(shù)列極限中n是離散變化的, 而這里x是連續(xù)變化的.極限 的定義的幾何意義 當x時, 函數(shù) f (x) 以A為極限的幾何意義: 對于任意給定的正數(shù)e 存在著正數(shù)X 當x X 時, f (x)落在(A- e，A+ e)這條帶子里A-eA+eX-Xy=f(x) A 例5證：1，自