電磁場與電磁波(第4版)第1章部分習(xí)題參考解答

1、1.1給定三個(gè)矢量2、鳥和C如下：A=e+e2-e3,B=-e4+e.,C=e5-e.2,求：(1)乙；(2)卜一岡；(3)入鳥；(4)漏；(5)A在鳥上的分量；(6)AxC；(7)和(AxB)C；(8)(AxB)xCAx(BxC)oz八、一A乙+2互3_1_2_3解：(1)eR=pry=/匸=ei+c.一e.|a|Jf+才+(-3)25V145(2)A-B=(ex+ey2-互3)一(一耳4+即卜艮+ey6一0：4卜侵(3)人3=（耳+可2_互3）（一可4+即=_11(3)(4)由cos%=a-11(4)由cos%=a-11AbVMxVn&ab=arccos(-=135.5(5)広在直上的分量

2、&=(5)広在直上的分量&=広cos%=AB11(6)AxC=(6)AxC=13JJ2一3=-巳4一0、13-玄100一2(7)因?yàn)锽xC=0(7)因?yàn)锽xC=05-41=乙8+耳5+互20,0-2AxB=12-3=-ex10-ey-eA-41-4=e2-e-4=e2-ev40+e.5-2所以,A(BxC)=(ex+ey2-3).(ex8+ey5+e:20)=-42(AxB)C=(一乙10-一耳4)G5-ez2)=42Jey(8)(AxB)xC=-10-150Seye：Ax(BxC)=12-3=er55-ev44-e:ll85201.2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為(0,1,-2)、2(4,1,-3)和4

3、(6,2,5)。(1)判斷Pff,是否為一宣角三角形；(2)求三角形的面積。解：(1)三個(gè)頂點(diǎn)(0,1,-2)、/(4,1,-3)和4(6,2,5)的位置矢量分別為斤=可_互2,r2=ex4+ey-ez3fr3=ex6+ey2+ez5則氏2=乙一斤=耳4一巳，氏3=人_人=耳2+可+互8,由此可得4-心=4-e:)(ex2+ey+e:S)=0所以，PPR為一直角三角形。矗卜艮卜+奶%屈=17.13(2)矗卜艮卜+奶%屈=17.132213求點(diǎn)円(-3丄4)到點(diǎn)戶(2,-厶3)的距離矢量斤及斤的方向。解：點(diǎn)H(-3丄4)和點(diǎn)P(2,-2,3)的位置矢量分別為忌=_耳3+可+巳4,fp=ex2-e

4、y2+ez3則R=Rp,p=片-和=乙5-耳3-耳且&P與x、y、z軸的夾角分別為0v=aiccos(Rp，p/一eRc0v=aiccos(Rp，p/一eRcv八PP0、=aiccos-r4Rp，p7、eR0=aiccos亠_卩“Rp、p-=aiccos=32.31=120.47=aiccosPCC0S二=99.731.4給定兩矢量人=乙.2+可3互4和=耳4乙.5+互6,求它們之間的夾角和力在B上的分量。解:A=Q+32+(4)，=腹,B=V42+52+62=a/77AB=(ex2+ev3-e.4)(ev4-ey5+e.6)=-31故A與丘之間的夾角為a(入丘)(-31)iaio=aicco

5、s1=aiccos=131制何丿iQx歷丿2在B上的分量為AH=A=L=-3.532b4tj1.5給定兩矢量2=乙2+可.3互4和鳥=一耳6-可.4+0：,求NxP在=乙.一可.+互上的分量。Je、JW：AxB=23-4=-?13+e22+e0-6-41(AxB)C=(一0,13+ey22+eJO)-(ex-ey+ez)=-25C=712+(-l)2+l2=/3所以，AxE在芒上的分量為(辰磯.=(人；)=-岸=-14.431.6證明:A-B=A-ClAxB=AxCfplijB=CO證：由AxB=AxC,Ax(AxB)=Ax(AxC),即(AB)A-(AA)B=(AC)A-(AA)C由于入片=

6、入0,于是得至I(入丙鳥=(不刁疋所以，E=c1.7如果給定一未知欠量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)2為一已知矢量，p=AXWjP=AxX,p和P己知，試求壬。解：由p=AxX,/2,E=0252乂在直角坐標(biāo)系中(-3,4,-5)點(diǎn)處，戸=一耳3+0,4-乙5,所以,亍一2525一一玄3+衣4一瓦5故已丫=0總=二=_巫10220(2)B=柩+(-2尸+F=3在直角坐標(biāo)中(-3,4,-5)點(diǎn)處EB=-乙3+可4_EB=-乙3+可4_互510V22-2+可)19102故，E與鳥構(gòu)成的夾角為19/(102)EB=153.6=aiccos=aiccos3/219/(102

7、)EB=153.6=aiccos=aiccos3/21.11已知標(biāo)量函數(shù)u=x2yz,求“在點(diǎn)(2,3)處沿指定方向L繪+耳青+互爲(wèi)方向?qū)?shù)。解：Vm=v一(x2yz)+e一(x2yz)+N(x27)=ex2xyz+eyx2z+ex1ydx労dz故沿指定方向*扁+耳忌+互島的方向?qū)?shù)為dl16xyz4x2z5x2dl1V50/50V50點(diǎn)(231)點(diǎn)(231)處沿和勺方向?qū)?shù)值為三dld361660112+=V50V50V50V501.12已知標(biāo)量函數(shù)u=F+2才+3才+32y-6z。(1)求Vu；(2)在哪些點(diǎn)上Vw等于0?car解：(1)Vm=ex+ev+e,=ev(2x+3)+ev(4v

8、-2)+e,(6z-6)dxdy*dz(2)由V7f=0,(2x+3)+0v(4y-2)+0.(6z-6)=0,得x=3/2,y=l/2,z=i小方程“=手+滬等給出-橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量.解:由于=謬+嗨+謬，網(wǎng)=2舲)+(右)+任|故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為1.14利用直角坐標(biāo)系，證明V(mv)=mVv+vV/證：在直角坐標(biāo)系中,(-內(nèi)一內(nèi)-6*mVv+vvm=u(-內(nèi)一內(nèi)-6*mVv+vvm=uev+ev+匕1/比y勿.炭丿_(少du=eh+vdxdx一d(iiv)一d(iiv)dvduu+v莎勿)_f丿一y_d(uv)=ex+ev+e.rdxydy炭=V(M

9、V)匚du_du_duyI“dx勿dz)內(nèi)du)U+Vdldz)+dz1.15一個(gè)球面S的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算(er3sin0JS的值。解：(乙3sin0)dS=屯3sin0)erdS3sin523sin52sillOdOd(j)=75龍1.16已知矢量E=ex(x2+axz)+ev(xy2+by)+ex(z-Z2+czx-2xyz)9試確定常數(shù)a、b、c,使E為無源場。解：由E=(2x+az)+(2x)?+b)+(1-2z+ex-2xy)=0,得a=2,b=-l,c=-21.17在由=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A=epp2+e:2z驗(yàn)證散度定理。證：在圓柱坐標(biāo)系中，V

10、A=(/y?2)2+(2z)=3p+2pdpdz所以，JJA(/V=J：dzj：(3p+2)pdp=1200乂d)A-dS=fAdS+fA-dS+fA-dSJsS.JSy_2：pdpd+*)=qJpdpdQe5dzd0P=5P=mx4pdpd0+*52x5dzd0=1200才故有AdV=1200=A-dS1.18(1)求矢量A=exx2+eyx2y2+ez24x2y2z3的散度；(2)求對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；(3)求2對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。解：(1)V.A=-2+VV)+(24vV3)=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydz9r刁對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的

11、積分為畀亦=J：J：；f：(2x+2巧，+lydxdydz=舟A對此立方體表面的積分為dydz2e入血廣乍dydz2e入血廣乍T如-r廣JSJ-l/2J-l/2I2丿J-l/2J-1/2124故有fVAV=(bA-dSJv24廠1.19計(jì)算矢量F對一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求對球體積的積分。解:肌Fdf=站八=d0aasinOdd=4兀a乂在球坐標(biāo)系中，VF=-(rr)=3,所以rdrVrdV=J*。3尸sinOdrd6d(j=4;ra1.20在球坐標(biāo)系中，已知矢量入=%+%b+c,其中a、b和c均為常數(shù)。(1)問矢量2是否為常矢量；(2)求W2和VxAo解：(1)A=A=JA

12、-A=/a2+b2+c2,即矢量A=era+e0b+ec的模為常數(shù)。將矢量A=era+eeb+ec用直角坐標(biāo)表示，有A=era+effb+e.c=ex(asinOcos0+bcosCeos。一csin0)+ev(asinOsm0+bcosOsm0+ccos0)+e:(acosO-bsin6)由此可見，矢量刁的方向隨&和0變化，故矢量刁不是常矢量。有JL述結(jié)果可知，一個(gè)常矢量c在球坐標(biāo)系中不能表示為（2）在球坐標(biāo)系中,VA=1d.1d,1de：2abcosOVA=（廠a）+（sinOb）+=+rdrrsin0dOrsin0d（j）rrsin0erre0rsuiVxA-,1_ccosB_c一b匕，

13、+ersm9drd0drrsinX乂VxAev2yz+e,2x所以,VxAf/S=（ev2yz+e.2x）e.dxdy=2xdxdy=所以,故有滬d7=8=VxNd1.22求矢量A=ex+exy2沿圓周x1+y2=a2的線積分,再計(jì)算VxA對此圓面積人的積分。解：解：AdT=罷xdx+xy2dy=”(-6/2cossin0+Kcos0sin20)d0=葺VxA-dS=e：叫VxA-dS=e：叫dAxe.dS=1ydS=JPsin20t?d0dp=牛1.23證明：(1)V.r=3；(2)Vxf=0；(3)V(卩F)=F。其中，r=exx+evy+ezzk為一常矢量。證：(1)迺+dz_3dx耳e

14、.(2)Vxr=ddd=0dx勿dzXZ(3)設(shè)斤=0+哄+e.k：,則k-r=kxx+kxy+k.z,故V(i-r)=e(kxx+kyy+k.z)+e(M+kvy+Z)TOC o 1-5 h zdxdy+e(kx+kv+k,z)dz=%+耳ky+e:kz=k1.24一徑向矢量場用F=erf(r)表示，如果VF=0,那么函數(shù)/會(huì)有什么特點(diǎn)？解：在圓柱坐標(biāo)系中，由戶=丄-P/(P)=O可得/(p)=-,C為任意常數(shù)。pdpP在球坐標(biāo)系中，由VF=44lr7(r)=0可得C為任意常數(shù)。廠dr廠1.25給定矢量函數(shù)E=exy+eyXf試求從點(diǎn)(2,1,-1)到點(diǎn)(8,2,-1)的線積分(1)沿拋物線x=2r；(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)E是保守場嗎？解：(1)E-df=Exdx+Exdy=丄yx+xdy=jyd(2y2)+2y2dy=J6y2dy=14(2)連接點(diǎn)(2,1,-1)到點(diǎn)(8,2,-1)的直線方程為解：解：AdT=罷xdx+xy2dy=”(-6/2cossin0+Kcos0sin20)d0=葺解：解：AdT=罷xdx+xy2dy