第二類曲線積分典型例題解析

1、高等數(shù)學(xué)(2)第 12 章第二類曲線積分典型例題解析QP例1若對(duì)任意的x,y 有，設(shè)C 是有向閉曲則 PdxQdy=xyC解：由格林公式將 P(x, y)dx Q(x, y)dy ( Q P )dxdyCDxyQ其中D為Cl圍成的平面區(qū)域，及條件P知，應(yīng)該填寫：0 xy例2 ydx xdy ,其中l(wèi) 是延圓周(x 2l(y 1正向一周解因?yàn)閳A周 (x (y 1 所圍圓面積 D 12 ， 由格林公式得： ydx xdy l(1 1)dxdy = 2 ，應(yīng)該填寫: 2例3若P(x, y)及Q(x, y)在單連通域D 內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)則在D 內(nèi)曲線積分PdxQdy 與路徑無關(guān)的充分必要條件是（)

2、lPD 內(nèi)恒有 QQD 內(nèi)恒有 PxyxyD 內(nèi)任一條閉曲線l上，曲線積分 PdxQdy 0lD 內(nèi)任一條閉曲線l上，曲線積分 PdxQdy 0l解 ： 若 P(x, y), Q(x, y) 在 單 連 通 區(qū)域 D內(nèi) 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 則P(xy)dx Q(xy)dy 與路徑無關(guān) Q P x, y D 。lxy所以選擇：B例4設(shè)C 是平面上有向曲下列曲線積分中（）是與路徑無關(guān)的AC3yx2dx x3dyB ydx xdyCC 2xydx x 2dyD 3yx2dx y3dyCCP(3yx2 Q(x3)解：因?yàn)檫x項(xiàng)A 中， y y 3x3x x 3x2 ，由曲線積分與路徑無關(guān)

3、的充分必要條件知道，正確選擇：Ayt)例 5設(shè)積分路徑l :x (t) , t ) ,yt)P(x,y)dxQ(x,y)dy=（lAPt)t)t)Qt)t)t)dtBPt)t)Qt)t)t)dtCPt)t)Qt)t)t)dtDPt)t)Qt)t)dtyt)解：因?yàn)榉e分曲線的路徑由參數(shù)方程l : x (t) , ( yt):Pttt)Qtttdt所以正確選擇：A例6計(jì)算(ex sin y 3y x2 )dx(ex cos y x)dy，其中 l 為由點(diǎn)經(jīng)橢圓lx cost y 2sin的上半弧到點(diǎn) B(3,0) 再沿直線回到 A 的路徑解：由于 l 為封閉曲線，故原式可寫成(ex sin y 3

4、y x2 )dx (ex cos y x)dyl其中P ex sin y 3y x2,Q ex cos y x，由格林公式QP原式= l(ex sin y3yx2)dx(ex cosyx)dy xDydxdy= (ex cos y 1) (ex cos y D= D=21 32=62y21例7計(jì)算 (ex sin y )dx (e x cosy )dy ，其中l(wèi) 是上半圓周x2 y2 2xy21l22( y 0) 和 x 軸圍成平面區(qū)域邊界的正向解:P ex sin y y21,Qex cos y,由格林公式得22y21QP (ex sin y)dx (e x cosy )dy dxdyl22xyD=ex cos y (ex cos y y)dxdy = ydxdyDD2cos8=2 sinr2r=2 sincos3d003 0202=(cos4 )20233例8計(jì)算lxy2dy x2 ydx，其中l(wèi) : xy 1逆時(shí)針方向解：P x2 Q x