我所認識的應力應變關系講解

1、我所認識的應力應變關系應力應變都是物體受到外界載荷產(chǎn)生的響應。物體由于受到外界載荷后，在 物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生互相之間的力的作用，由于受到力的作用就會產(chǎn)生相 應的變形；或者由于變形引起相應的力的作用。則一定材料的物體其產(chǎn)生的應力 和應變也必然存在一定的關系。一應力-應變關系影響本構關系的因素有很多，例如材料、環(huán)境、加載類型（載荷、溫度） 、 加載速度（動載荷、靜載荷）等，當然，本構關系有很多類型，包括彈性、塑性、 粘彈性、粘塑性、各向同性、各向異性本構關系，那么首先來敘述一下簡單情況 本構關系，所謂簡單情況就是六個應力分量 ox(%)_,稱為Bauschinger效應。從上述分析得出材料彈

2、塑性行為有一定的特殊性，主要表現(xiàn)在：彈性應力 應變關系是線性，且是單值對應關系，而塑性應力應變關系是非線性的非單值對 應。因為通常情況下物體不僅僅處于簡單應力狀態(tài)，那么復雜應力狀態(tài)下應力 應變關系又如何呢？如果我們將材料性質(zhì)理想化即假設材料是連續(xù)的、均勻的、 各向同性的，忽略T、t的影響，忽略凈水壓力對塑性變形的影響，可以將應力 應變關系歸結為不同的類型，包括理想線彈性模型、理想剛塑性模型、線性強化 剛塑性模型、理想彈塑性模型、線性強化彈塑性模型、幕強化模型、等向強化模 型、隨動強化模型。各種材料的應力應變關系圖如下圖所示：理想線彈性模型理想剛塑性模型線性強化剛塑性模型理想彈塑性模型線性強化彈

3、塑性模型幕強化模型一.線性彈性體.線性彈性體本構方程的一般形式在單向應力狀態(tài)下，理想彈性材料的應力和應變之間的關系很簡單，即 %=E%,即胡克定律。如果在三維應力狀態(tài)下，應力應變之間仍然滿足類似的 一一對應的關系，則稱這類彈性體為線彈性體。對線彈性體，把單向應力狀態(tài)下 得胡克定律推廣到三維應力狀態(tài)下。具一般形式為：(J x= C-x .Ci2；y C3C14 xy - C15 yz - C16 zxC21 X - C22 ；y . C23 ；C24 xyC25 yz - C26 zx1 ；x . C32 yC33 ；- C34 xy - C35 yz C36 zxTxy。JC42 ；y C43

4、；C44 xy C45 yz - C46 zxyz = C51 ；x . C52 ；yC53C54 xy - C55 yz - C56 zxfzx=C6 i+C 6聲 y + C 6 3 z+C 6；4xy+C 65yze % zx（2-1）式（2-1）可簡寫為仃 u = Gjki（ 2-2）由于應力張量和應變張量的對稱性，彈性張量具有對稱性：Cijkl =Cijlk、Gjki=Cjiki ,從彈性應變能密度函數(shù)的概念出發(fā)，可以證明上述 36個常數(shù)中， 實際上獨立的彈性常數(shù)只有21個，即Cjki =Ckiij。滿足廣義胡克定律的線彈性體稱為各向異性彈性體，各向異性彈性體是線彈性體的最一般情況。

5、.各向同性彈性體的本構方程各向同性彈性體在彈性狀態(tài)下，主應力方向與主應變方向重合容易證明。 在 主應變空間里，由于應變主軸與應力主軸重合，各向同性彈性體體內(nèi)任意一點的 應力和應變之間滿足：、y = C21 x C22 ； y C23 z(2-3)(2-4)；：z = C31 ；x C32 ；y C33 ；z入對。x的影響與對以及%對。z的影響是相同的，即有C11=C22=C33； %和對。x的影響相同，即C12=C13,同理有C21=C23和C31=C32等，則可統(tǒng)一寫為:C11 =C22=C33 = aC12 =C21 = C13 =C31 =C23 = C32所以在主應變空間里，各向同性彈

6、性體獨立的彈性常數(shù)只有 2個。在任意的坐標系中，同樣可以證明彈性體獨立的彈性參數(shù)只有 2個。.彈性應變能密度函數(shù)彈性體受外力作用后，不可避免地要產(chǎn)生變形，同時外力的勢能也要產(chǎn)生變 化。根據(jù)熱力學的觀點，外力所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為彈性體的動能，一部分 將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；同時，在物體變形過程中，它的溫度也將發(fā)生變化，或者從外界 吸收熱量，或者向外界發(fā)散熱量。分析彈性體內(nèi)任一有限部分工的外力功和內(nèi)能 的變化關系，設彈性體內(nèi)取出部分 2的閉合表面為S,它所包圍的體積為V。以 6 W表示外力由于微小位移增量在取出部分 2上所作的功，6 U表示在該微小變 形過程中取出部分2的內(nèi)能增量，6 K表示動能增量，6

7、 Q表示熱量的變化(表示 為功的單位)，根據(jù)熱力學第一定律，則有6W=6K + 6U 6Q(2-5)假設彈性體的變形過程是絕熱的，即假設在變形過程中系統(tǒng)沒有熱量的得 失。再假設彈性體在外力作用下的變形過程是一個緩慢的過程，在這個過程中， 荷載施加得足夠慢，彈性體隨時處于平衡狀態(tài)，而且動能變化可以忽略不計(這 樣的加載過程稱為準靜態(tài)加載過程)，則根據(jù)上式表示的熱力學第一定律，外力 在變形過程中所做的功將全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能儲存在彈性體內(nèi)部。這種貯存在彈性體內(nèi)部的能量是因變形而獲得的，稱之為彈性變形能或彈性應變能。由于彈性變形 是一個沒有能量耗散的可逆過程，所以，卸載后，彈性應變能將全部釋放出來。以X,

8、 Y, Z表示單位體積的外力，X , Y , Z表示作用在彈性體內(nèi)取出部 分2表面上單位面積的內(nèi)力。對上述的準靜態(tài)加載過程，認為彈性體在外力作用 下始終處于平衡狀態(tài)。外力所做的功 W包含兩個部分：一部分是體力 X, Y, Z 所做的功皿；另一部分是面力X, Y, Z所做的功W2,它們分別為 TOC o 1-5 h z 皿=川 XjUjdV =用(Xu + Yv + Zw)dV(2-6)VVW2 =口1山小=ff(Xu +Yv+Zw)dS(2-7)S-s則：W =w +W2 = 口(Xu +Yv+Zw)dV +(Xu +Yv + Zw)dS(2-8)VS外力由于微小位移增量在取出部分 2上所做的

9、功6W表示為：W = W W2 : III Xi uV Xi uSVS(2-9)將平衡微分方程和靜力邊界條件代入上式，利用散度定理可得:SUi)dV + |J(oj6ui)ljdSS=用(5,j6Ui)dV +(q6Ui),jdV = m%6Ui,jdV(2-10)VSV1因為。網(wǎng)=2*(5,)=。即，所以內(nèi)能增“U為:(2-11)(2-12)U = W =； ij Ui,jdV =； ij、；ijdV定義函數(shù)U0(qj),使之滿足格林公式:U( %)丁 f把它代入(2-11)有:U !ijijdV 二U. OS二；ijijdV = . UodV =、UdV(2-13)U0(0j)表示單位體積

10、的彈性應變能，稱之為彈性應變能密度函數(shù)(或彈性應 變比能函)，簡稱應變能。對(2-12)取積分，得U0( j)jI dU = I 仃ijd陽=U(qj)-U0(0)(2-14)假如UGj)的具體函數(shù)形式能夠確定的話，彈性體的應力與應變之間的關系 也就完全確定了。這可表明，彈性應變能密度函數(shù)是彈性材料本構關系的另一種 表達形式。假設U0(吊)對君ij有二階以上的連續(xù)偏導數(shù)，有式(2-12)可得(2-15)(2-16)ijI-M；：；kl；： ；ij式（2-15）為廣義格林公式。將式（2-2）代入廣義格林公式得： TOC o 1-5 h z 朝n -：-kin7- Cklij Cijkl二；kl二

11、；ij即各向異性彈性體獨立的彈性常數(shù)只有21個三.屈服條件研究材料的塑性特性時，首先要弄清楚材料什么時候進入塑性變形階段，即什么時候達到屈服。固體在載荷作用下，最初處于彈性狀態(tài)，隨著載荷逐步增加 至一定程度使固體內(nèi)應力較大的部位出現(xiàn)塑性變形，固體由初始彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)的過程就是初始屈服。需要找到確定材料初始彈性狀態(tài)的界限的準則，這 個準則就稱為初始屈服條件，簡稱屈服條件。.屈服函數(shù)與屈服曲面在簡單應力狀態(tài)下，如前面所述的應力應變關系曲線可知，當固體內(nèi)部應力 達到初始屈服極限時將產(chǎn)生初始屈服。在復雜應力狀態(tài)下，一般屈服條件可以表 示為應力分量、應變分量、時間t和溫度T的函數(shù)，它可寫成：fg,

12、*j,t,T）=0（3-1）不考慮時間效應和接近常溫的情況下， 時間t和溫度T對塑性狀態(tài)沒什么影響，在初始屈服之前，應力和應變之間具有 對應關系，所以應變分量因可(3-2)以用應力分量仃0表示，因此屈服條件就僅僅是應力分量的函數(shù)了，它可表示為：3)=0以應力張量的六個分量為坐標軸，就建立起一個六維應力空間，屈服函數(shù)f （%） =0表示應力空間中的一個曲面，即屈服曲面（簡稱屈服面）。當應力點仃j 位于該曲面之內(nèi)時（即f（%）0）,材料處于彈性狀態(tài)；當應力點位于此曲面上 時（即f9j）=0）,材料由初始彈性開始屈服；如果應力進一步增加，材料進入 塑性狀態(tài)。假設：1）材料是初始各向同性的。屈服函數(shù)與

13、坐標的選取無關，它可寫成應力張量不變 量的函數(shù) TOC o 1-5 h z f（li，l213）=0（3-3）或?qū)懗芍鲬Φ暮瘮?shù)f（32 尸 3）=0（3-4）2）平均應力（靜水應力）不影響塑性狀態(tài)。屈服函數(shù)只應與應力偏量的不變量有關，即f（J2，J3） = 0（3-5）或者寫成只是應力偏量主值的函數(shù)“） =0（3-6）這個假設對金屬材料成立，但對于一些非金屬材料，如混凝土、巖石等則不 成立。通過第一個假設，屈服面由六維空間中的一個超曲面簡化為三維主應力空間 中的一個曲面；通過第二個假設，屈服面簡化為一條曲線在主應力空間中，固體一點的應力狀態(tài)可以用一個矢量 0P來描述(圖3-5), 矢量0P可

14、寫為：0P=5ij +Jk(3-7)分解成為偏量部分與球量部分有：0P=i +S2j +S3k+(omi +omj +bmk)=0Q+0N(3-8)有上述第二個假定，0N與材料的塑性狀態(tài)無關。從幾何上看0N與2223 軸的夾角相等，且正交于過原點的一個平面，這個平面的方程為：(3-9)這個平面平均應力等于0,習慣稱之為n平面根據(jù)第二個假定，在主應力空間中，屈服面必定是一個垂直與 江平面的等截 面的柱面，它的母線與矢量0N平行。屈服面是一個等截面的柱面，它在任意垂 直與0N的平面上的投影曲線都是一樣的，研究這個柱面的特征，只要研究它在 元平面上的投影曲線即可，這條投影曲線稱為屈服曲線。圖3-5主

15、應力里面的屈服面圖3-6兀平面的上的屈服曲線.常用屈服條件Tresca屈服條件1864年，法國人Tresca做了一系列的金屬擠壓試驗來研究屈服條件。根據(jù) 實驗，他提出假設：當最大剪應力達到某一極限值時，材料發(fā)生屈服。這個條件 稱為Tresca屈服條件，也稱為最大剪應力條件。0ax=k(3-10)k是和屈服有關的材料常數(shù)，可由單向拉伸實驗或純剪切實驗確定。Mises屈服條件Tresca屈服條件在幾平面上的幾何圖形是一個正六邊形，它的六個頂點是由 試驗得到的，但是連接這六個點得直線卻是假設的，而且Tresca正六邊形的角點也給問題的數(shù)學處理帶來了不便。在1913年，Mises提出采用一個圓來連接T

16、resca正六邊形的六個頂點可能更加合理，它可以避免由于屈服曲線不光滑而造 成的數(shù)學困難。Mises提出的屈服條件為：J2=C(3-11)其中，C也是和材料性質(zhì)有關的一個常數(shù)。它可通過實驗確定。若做簡單拉伸實 驗，則材料屈服時有 仃1 =0戶2 =。3 = 0, J =1。2 = C ,所以：312C=3。；(3-12)2若做純剪實驗，則材料屈服時有 3 =-仃2 =飛尸3 =0,J2 =飛=C ,所以一 2，一 一、C=K(3-13)對大多數(shù)材料，實驗證明Mises屈服條件比Tresca服條件更接近實驗結果。四.加載條件加載和卸載準則1.理想塑性材料加載和卸載由于理想塑性材料的加載面和屈服面總是保持一致，所以，加載函數(shù)和屈服函數(shù)可以統(tǒng)一表示為：g k）=0它們均與塑性變形的大小和加載歷史無關。于是，在荷載改變的過程中，如 果應力點保持在屈服面上，即df=0,此時塑性變形可以任意增長，就稱為加載。 當應力點從屈服面上退回屈服面內(nèi)，即 df0,就表示變形狀態(tài)從塑性變?yōu)閺椥裕?此時不產(chǎn)生新