浙江省寧波市2025屆高三上學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷 含解析

寧波市2024學(xué)年第一學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上.將條形碼橫貼在答題卷右上角“貼條形碼區(qū)”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)，根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】由，可得，故，故選：D2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念求.【詳解】方法一：因?yàn)椋?故選：C方法二：.故選：C3.向量，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則求解.【詳解】因?yàn)?因?yàn)?，所?故選：C4.研究小組為了解高三學(xué)生自主復(fù)習(xí)情況，隨機(jī)調(diào)查了1000名學(xué)生的每周自主復(fù)習(xí)時(shí)間，按照時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)的估計(jì)值是（）A.7 B.7.5 C.7.8 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由于樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)值是：小時(shí)；故選：B5.圓臺(tái)的高為2，體積為，兩底面圓的半徑比為，則母線和軸的夾角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式求出圓臺(tái)的上下底半徑，再求母線和軸的夾角的正切值.【詳解】設(shè)圓臺(tái)上底半徑為，則下底半徑為，由題意：.所以圓臺(tái)母線和軸的夾角的正切值為：.故選：B6.已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，，過上頂點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn).若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的定義確定中各邊的長(zhǎng)度，再結(jié)合，用余弦定理列式，化簡(jiǎn)可求橢圓的離心率.【詳解】如圖：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，，，所以，.又，所以.所以橢圓的離心率為.故選：C7.不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題意得到是的一個(gè)根，從而得到之間的關(guān)系式為，消元并利用均值不等式求解即可.【詳解】由題意可得，需滿足是的一個(gè)根，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：A.8.設(shè)，函數(shù)若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的零點(diǎn)為，根據(jù)，解得或，即可分三種情況討論求解.【詳解】在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，又最多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，至少有四個(gè)根，，令，即，，，又，，即，令，解得或，①若且，解得，此時(shí)在有2個(gè)零點(diǎn)，只需要在有4個(gè)零點(diǎn)，這4個(gè)零點(diǎn)分別為故且，解得，此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，②當(dāng)且時(shí)，解得，此時(shí)在有1個(gè)零點(diǎn)，只需要在有5個(gè)零點(diǎn)，這5個(gè)零點(diǎn)分別為，故且，解得，此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，③當(dāng)且時(shí)，解得，此時(shí)在有1個(gè)零點(diǎn)，只需要在有5個(gè)零點(diǎn)，這5個(gè)零點(diǎn)分別為，故且，解得不存在，綜上可得或，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：的零點(diǎn)為，根據(jù)，解得或，分三種情況討論求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列，的公比分別為，，且，，且對(duì)任意的正整數(shù)有，成立；對(duì)于A，不妨設(shè)，，滿足，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，此時(shí)，因?yàn)椋?，所以，此時(shí)不是等比數(shù)列，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?shù)列是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，，滿足，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，此時(shí)，，，所以，，所以，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，故D不正確；故選：BC.10.函數(shù)，則（）A.的圖象過定點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，恒成立D.存在，使得與軸相切【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合可判斷A的真假；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷BC的真假；問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值為0是否成立，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：不管取何值，，所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，（），，設(shè)，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所?,+∞上單調(diào)遞增，這一說法不正確，即B錯(cuò)；對(duì)C：由B選項(xiàng)可知，，所以存在，使得，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，f所以函數(shù)的最小值為，且，因?yàn)?，故不能取“?故C正確；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，（），所以（），設(shè)（），則（）.所以在0,+∞上單調(diào)遞增.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以存在，使得，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，f當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，f所以函數(shù)的最小值為，且.由.設(shè)，（），則，所以在0,+∞上單調(diào)遞減.且，，所以必定有解.即D正確.故選：ABD11.已知曲線：，下列說法正確的是（）A.曲線過原點(diǎn)B.曲線關(guān)于對(duì)稱C.曲線上存在一點(diǎn)，使得D.若為曲線上一點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】【分析】代入即可判斷A,根據(jù)Px,y關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為在曲線上，結(jié)合同角關(guān)系即可求解B，根據(jù)得矛盾求解C，根據(jù)，即可結(jié)合不等式求解D.【詳解】將代入可得，故曲線過原點(diǎn)，A正確，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)Px,y，則Px,y關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，故在曲線上，B正確，對(duì)于C，若曲線上存在一點(diǎn)Px,y，根據(jù)：可知均在曲線上，故曲線關(guān)于坐標(biāo)軸以及原點(diǎn)均對(duì)稱，若曲線上存在一點(diǎn)Px,y，使得，則，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，將其代入曲線方程可得，所以，由于，則存在角使得，，，所以，這與矛盾，故不存在一點(diǎn)，使得，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故，故，，故，故D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，得矛盾求解.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的求值問題，其中解答中熟記指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算與求解能力.13.拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式，確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得的面積.【詳解】如圖：不妨設(shè)點(diǎn)Px,y在第一象限，過點(diǎn)作與拋物線的準(zhǔn)線垂直，垂足為.則，又，所以，所以.所以.故答案為：14.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第一輪，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取兩個(gè)球，乙接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的兩個(gè)小球數(shù)字之和大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分；第二輪，甲、乙從盒子中剩余的兩個(gè)球中依次不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，若甲抽取的小球數(shù)字大于乙抽取的小球數(shù)字，則甲得1分，否則甲不得分.則在兩輪游戲中甲共獲得2分的概率為______.【答案】【解析】【分析】列舉第一輪中甲得1分的情況，結(jié)合排列組合以及乘法公式即可求解.【詳解】若第一輪在第一輪中得1分，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，3，則乙抽到的小球只能是2，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，4，則乙抽到的小球可以是2或3，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，3，則乙抽到的小球可以是1或4，若第一輪中甲抽到的小球?yàn)?，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5時(shí)，則乙抽到的小球可以是剩下三個(gè)小球中的任何一個(gè)，故共有，因此第一輪中甲得1分的概率為,在第二輪的過程中，只剩下兩個(gè)球，要使甲在第二輪中得1分，只需要甲在剩下兩個(gè)球中抽到號(hào)碼大的球即可，故概率為，因此甲在兩輪中共得2分的概率為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，通過證明平面，即可解決問題；（2）建系求得平面法向量，代入夾角公式即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，，在直角三角形中，，為中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，即，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知過作的平行線作為軸，分別為軸，則，所以，,設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則.16.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的遞推公式，求得等差數(shù)列的前兩項(xiàng)與公差，結(jié)合通項(xiàng)公式以及求和公式，可得答案；（2）利用公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題目中的方程，利用換元法整理為關(guān)于的一元一次方程，求得等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式，可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以等差數(shù)列an的公差為，即通項(xiàng)公式，所以前項(xiàng)和.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，將代入上式，則，綜上所述，，.，可得，由（1）可知，則，由方程，可得，解得，由，則等差數(shù)列an的公差為，所以，由，，則.17.已知是雙曲線：上一點(diǎn)，的漸近線方程為.（1）求的方程；（2）直線過點(diǎn)，且與的兩支分別交于，兩點(diǎn).若，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)以及漸近線方程即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式以及弦長(zhǎng)公式可求解，即可代入化簡(jiǎn)求解.【小問1詳解】由題意可得，解得，故雙曲線方程為【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，由于，化簡(jiǎn)得，故，,故，故，平方可得，解得或，由于與的兩支分別交于，兩點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，代入不符合，故舍去，將其代入，經(jīng)檢驗(yàn)符合，綜上可得【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)斜率公式以及弦長(zhǎng)公式求解.18.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性；（2）若，求證：；（3）若存在，使得對(duì)任意，均有，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）為偶函數(shù)，（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義即可判斷，（2）將不等式等價(jià)于，平方化簡(jiǎn)只需要證明，構(gòu)造即可求導(dǎo)求解，（3）構(gòu)造，對(duì)進(jìn)行多階求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)分三種情況討論，即可求解.【小問1詳解】,當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為偶函數(shù)，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，要證，只需要證，當(dāng)時(shí)，，只需證明時(shí)，，即證，只需證，即證，令在單調(diào)遞增，故，所以，得證.【小問3詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，故，故，令，則，令，令，①當(dāng)時(shí)，即，存在，使得對(duì)任意，，故在單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，從而在單調(diào)遞增，又，所以在恒成立，從而在單調(diào)遞增，結(jié)合，得對(duì)任意恒成立，符合題意，②當(dāng)時(shí)，，存在，使得對(duì)任意，，故在單調(diào)遞減，又，所以在恒成立，從而在單調(diào)遞減，又，所以在恒成立，從而在單調(diào)遞減，結(jié)合，得對(duì)任意恒成立，不符合題意，③當(dāng)時(shí)，令，，則，類推②同理可得不符合題意，綜上可得【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用步驟：(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．19.開啟某款保險(xiǎn)柜需輸入四位密碼，其中為用戶個(gè)人設(shè)置的三位靜態(tài)密碼（每位數(shù)字都是中的一個(gè)整數(shù)），是根據(jù)開啟時(shí)收到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙（為1~5中的一個(gè)隨機(jī)整數(shù)）計(jì)算得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼.的具體計(jì)算方式：是的個(gè)位數(shù)字.例如：若靜態(tài)密碼為，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙，則，從而動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼，進(jìn)而得到四位開柜密碼為.（1）若用戶最終得到的四位開柜密碼為，求所有可能的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙；（2）若三位靜態(tài)密碼為隨機(jī)數(shù)且等可能，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙，求動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼的概率分布列；（3）若三位靜態(tài)密碼為隨機(jī)數(shù)且等可能，動(dòng)態(tài)校驗(yàn)鑰匙概率為，其中是互不相等的正數(shù).記得到的動(dòng)態(tài)校驗(yàn)碼的概率為，試比較與的大小.【答案】（1）（2）05（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，即可分類討論時(shí)的情況求解，（2）根據(jù)可得只能0或5，結(jié)合，對(duì)分奇偶