概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小. 由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征 ,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義. 本章主要內(nèi)容 數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩 考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機(jī)變量

2、函數(shù)的數(shù)學(xué)期 設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下引例 射擊問(wèn)題試問(wèn):該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù) k命中次數(shù)頻率一、數(shù)學(xué)期望的概念 設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊9解平均射中環(huán)數(shù)解平均射中環(huán)數(shù)1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望射擊問(wèn)題 “平均射中環(huán)數(shù)”即為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望設(shè)射手命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量 X ，射擊問(wèn)題 “平均射中環(huán)數(shù)”即為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 (1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)

3、變量 X 取值的真正的平均值, 也稱均值. (2) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.關(guān)于定義的幾點(diǎn)說(shuō)明 (1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)隨機(jī)變量 X 的算術(shù)平均值為假設(shè)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X 取值的平均程度.隨機(jī)變量 X 的期望為隨機(jī)變量 X 的算術(shù)平均值為假設(shè)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X 試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?實(shí)例1 誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射手試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?實(shí)例1 誰(shuí)的技術(shù)比較好?乙射手甲射解故甲射手的技術(shù)比較好.解故甲射手的技術(shù)比較好.實(shí)例2 發(fā)行彩票的創(chuàng)收

4、利潤(rùn) 某一彩票中心發(fā)行彩票 10萬(wàn)張, 每張2元. 設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè), 獎(jiǎng)金 1萬(wàn)元, 二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各 5 千元;三等獎(jiǎng) 10個(gè), 獎(jiǎng)金各1千元; 四等獎(jiǎng)100個(gè), 獎(jiǎng)金各100元; 五等獎(jiǎng)1000個(gè), 獎(jiǎng)金各10 元.每張彩票的成本費(fèi)為 0.3 元, 請(qǐng)計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤(rùn).解設(shè)每張彩票中獎(jiǎng)的數(shù)額為隨機(jī)變量X, 則實(shí)例2 發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤(rùn) 某一彩票中每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 10 萬(wàn)張彩票的創(chuàng)收利潤(rùn)為每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行 實(shí)例3 如何確定投資決策方向? 某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金，想投資于某項(xiàng)目，預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為 30%

5、，可得利潤(rùn)8萬(wàn)元 ， 失敗的機(jī)會(huì)為70%，將損失 2 萬(wàn)元若存入銀行，同期間的利率為5% ，問(wèn)是否作此項(xiàng)投資?解設(shè) X 為投資利潤(rùn)，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.實(shí)例3 如何確定投資決策方向? 某人有實(shí)例4商店的銷(xiāo)售策略實(shí)例4商店的銷(xiāo)售策略解X 的分布函數(shù)為解X 的分布函數(shù)為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義解因此, 顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).實(shí)例5 顧客平均等待多長(zhǎng)時(shí)間? 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 X(以分鐘計(jì))服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時(shí)間?解因此, 顧客平均等待5

6、分鐘就可得到服務(wù).實(shí)例5 顧客平均1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例6 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為若 Y=g(X), 且則有離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為若 Y=g(X), 且則有2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若 X 是連續(xù)型的,它的概率密度為 f (x) , 則例7 設(shè)隨機(jī)變量 求2. 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若 X 是連續(xù)型的,它的概3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為例8求3. 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y) 的

7、聯(lián)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量,C 是常數(shù), 則有三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3. 設(shè) X, Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量, 則有4. 設(shè) X, Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 則有1. 設(shè) C 是常數(shù), 則有2. 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量解實(shí)例9解實(shí)例9概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件實(shí)例10分組驗(yàn)血實(shí)例10分組驗(yàn)血解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)三、例題講解二、重要概率分布的方差第二節(jié)方差一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)三、例題講解二、重要概率分布的方1.

8、概念的引入 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量取值離散程度的量.實(shí)例 有兩批燈泡,其平均壽命都是 E(X)=1000小時(shí). 一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì) 1. 概念的引入 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量取值離散2. 方差的定義2. 方差的定義 方差體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值的離散程度. 注： 方差是一個(gè)無(wú)量綱的的量3. 方差的意義 如果 D(X) 值小, 則表示X 的取值比較集中, 以 E(X) 作為隨機(jī)變量的代表性好. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值離散程度大, E(X) 的代表性差; 方差體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值的離散程度. 注： 離散型隨機(jī)變量的方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差4. 隨機(jī)變量方差的計(jì)

9、算 (1) 利用定義計(jì)算 離散型隨機(jī)變量的方差 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差4. 隨機(jī)(2) 利用公式計(jì)算(2) 利用公式計(jì)算5. 方差的性質(zhì)(1) 設(shè) C 是常數(shù), 則有(2) 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù), 則有(3) 設(shè) X, Y 相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存在, 則5. 方差的性質(zhì)(1) 設(shè) C 是常數(shù), 則有(2) 設(shè) X1. 兩點(diǎn)分布 已知隨機(jī)變量 X 的分布律為則有二、重要概率分布的方差1. 兩點(diǎn)分布 已知隨機(jī)變量 X 的分布律為則有二、重要2. 二項(xiàng)分布 則有 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布,其分布律為2. 二項(xiàng)分布 則有 設(shè)隨機(jī)變量 X 服3. 泊松分

10、布 則有3. 泊松分布 則有所以所以4. 均勻分布則有4. 均勻分布則有結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).5. 指數(shù)分布 則有5. 指數(shù)分布 則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件6. 正態(tài)分布則有6. 正態(tài)分布則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(4142)課件分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布指數(shù)解三、例題講解例1解三、例題講解例1于是于是 已知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為 1，2，3； 且 E(X)=2.3, D(X)=0.61,例2求 X 的分布律。 已知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為 例2 隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化令則