量子力學(xué)第六章固體的能帶理論

1、量子力學(xué)第六章固體的能帶理論第1頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三3、根據(jù)上述近似所建立的有關(guān)固體中電子狀態(tài)的理論就是能帶理論。4、薛定諤方程：5、由于晶體結(jié)構(gòu)具有周期性，因而晶體中的每個(gè)價(jià)電子都處在一個(gè)完全相同的嚴(yán)格周期性勢(shì)場(chǎng)中。 電子勢(shì)函數(shù)V（r）的周期與晶體結(jié)構(gòu)的周期相同： V（r）= V（r+Rn）。其中Rn=n1a1+n2a2+n3a3是格矢。第2頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三二、布洛赫定理1、布洛赫定理 在周期性勢(shì)場(chǎng)中，薛定諤方程的解（電子波函數(shù)） 其中2、布洛赫波具有 k (r) = Uk (r) eikr形式的波函數(shù)稱為布洛赫

2、波。布洛赫定理表明，布洛赫波是自由電子的平面波eikr被晶格周期函數(shù)Uk(r) 調(diào)幅的平面波。第3頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三三、克龍尼克-潘納模型1、模型克龍尼克-潘納模型是周期性勢(shì)場(chǎng)為一維方勢(shì)阱的特例。勢(shì)場(chǎng)周期為（a+b），勢(shì)壘高度為V0，勢(shì)壘寬度為b。假定V0足夠大，b足夠小，二者的乘積是一個(gè)有限值。第4頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三2、根據(jù)克龍尼克-潘納模型計(jì)算得到Ek關(guān)系曲線在周期性勢(shì)場(chǎng)中，電子有帶狀結(jié)構(gòu)的能譜。能譜由允帶和禁帶 交替排列組成。禁帶出現(xiàn)在k= (/a)h的位置，其中h為整數(shù)。E是k的偶函數(shù)，即E（k）= E（-

3、k）能量較高的允帶較寬，能量較低的允帶較窄對(duì)于任一能帶，能量E是波矢k的周期函數(shù)，周期為倒格矢k h = (2/a)h。第5頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三四、布洛赫定理的一些重要推論1、布洛赫函數(shù)及能量的嚴(yán)格表達(dá)式 對(duì)于每一指定的波矢k，對(duì)應(yīng)著很多波函數(shù)和能量，它們分屬不同的能帶。第n個(gè)能帶的波矢為k的波函數(shù)和能量記為 n,k(r)、 E n (r) ，布洛赫波n,k (r) = Un,k (r) eikr2、周期性K態(tài)與k+kh態(tài)是相同的狀態(tài)。即 n,K(r)=n,K+Kh(r) En(K)=En(K+Kh) 其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3如果將k值

4、限制在第一布里淵區(qū)-/a /a內(nèi)，這些波矢完全能標(biāo)志所有的波函數(shù)和能量，它們稱為簡(jiǎn)約波矢。因此第一布里淵區(qū)也稱為簡(jiǎn)約區(qū)。電子的能量對(duì)稱性與晶體點(diǎn)群對(duì)稱性一致：E n (k)= E n (k)。 其中表示晶體所有的點(diǎn)群對(duì)稱操作。 第6頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三3、布洛赫定理的另一種表示： n,k (r+Rl) = eikRl n,k (r)。 在布洛赫函數(shù)中，將坐標(biāo)平移一個(gè)格矢的效果是乘上一個(gè)相位因子eikRl 。4、周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子是晶體中的公有化電子。 由布洛赫定理得到|n,k (r) |2= | n,k (r+Rl) |2，表明周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子在r處與r

5、+Rl處出現(xiàn)的幾率相等，即電子在各個(gè)元胞的對(duì)應(yīng)點(diǎn)出現(xiàn)的幾率是一樣的。 電子是公有化的，而不是局限在某個(gè)特定的原子附近運(yùn)動(dòng)。5、k不是晶體電子的真實(shí)動(dòng)量對(duì)于自由電子，波函數(shù)是平面波， k是動(dòng)量算符的本征值，P= k是處在狀態(tài)k (r) = A eikr的電子的真實(shí)動(dòng)量。對(duì)于一維周期性勢(shì)場(chǎng)中的電子， 由于右邊第二項(xiàng)一般不為零，因而k (x)不是動(dòng)量算符-id/dx的本征態(tài)，k不是動(dòng)量算符的本征值。 k在晶體中發(fā)生的許多過程中起電子動(dòng)量作用，常被稱為電子的晶體動(dòng)量（或準(zhǔn)動(dòng)量）。第7頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三五、周期性邊界條件與波矢k的取值1、周期性邊界條件晶格的周期性

6、邊界條件用于布洛赫波得將布洛赫函數(shù)代入利用調(diào)幅因子的周期性，得到：2、波矢k的取值 設(shè)k=1b1+ 2b2+ 3b3，其中1、 2、 3是待定的系數(shù)。代入上式，求得 1=l1/N1 2=l2/N2 3=l3/N3 于是k=（l1/N1）b1+ （l2/N2 ）b2+ （l3/N3）b3第8頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三3、波矢k的密度每個(gè)波矢k在倒空間所占體積為在第一布里淵區(qū)內(nèi)，波矢k的數(shù)目為在倒空間內(nèi)波矢k的密度為 在二維情況下，波矢k的密度為 在一維情況下，波矢k的密度為 其中，Vc、Sc、Lc分別為晶體的體積、面積、長(zhǎng)度。4、由于在第一布里淵區(qū)內(nèi)k的數(shù)目為N，

7、因此在每個(gè)能帶內(nèi)有N個(gè)能量狀態(tài)，即一個(gè)能帶內(nèi)有N個(gè)能級(jí)。又由于N是一個(gè)很大的數(shù)，且能帶的寬度僅為數(shù)電子伏特。所以在一個(gè)能帶內(nèi)部能級(jí)十分密集，可以近似地看作是連續(xù)的或者準(zhǔn)連續(xù)的。第9頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三六、狀態(tài)密度1、概念狀態(tài)密度：給定體積的晶體在單位能量間隔內(nèi)所包含的電子狀態(tài)數(shù)。K空間的每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于能帶內(nèi)的一個(gè)能量E，而一個(gè)給定的能量E對(duì)應(yīng)著波矢空間的一系列k點(diǎn)，這些k點(diǎn)在波矢空間形成的曲面稱為等能面。2、公式三維情況 由于在k空間內(nèi)k點(diǎn)的密度是Vc/(2)3，因而能量為E和E+E的兩個(gè)等能面之間的殼層包含的k點(diǎn)數(shù)目為Vc/(2)3Vk。 考慮到能帶的準(zhǔn)連

8、續(xù)性，則在E和E+dE之間的殼層內(nèi)包含的k點(diǎn)數(shù)為 K空間的 體積元dk=dSEn0dk ，其中dSE是等能面上的面元，n0是面元的法向單位矢量。第10頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三考慮電子的自旋，則E和E+dE之間的電子狀態(tài)數(shù)第n個(gè)能帶在能量E處的狀態(tài)密度如果能帶之間有交疊，能量E處的狀態(tài)密度二維情況和一維情況第11頁，共12頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)40分，星期三3、表征方法及應(yīng)用用軟x射線發(fā)射譜可以研究態(tài)密度的特征（1）波長(zhǎng)較長(zhǎng)（100左右）的x射線稱為軟x射線（2）軟x射線發(fā)射譜的強(qiáng)度I（E）與高能帶能量為E處的態(tài)密度D（E）及能量為E電子向低能帶躍遷的幾率（E）成正比：I（E） （E） D（E）