高等代數(shù) 向量到子空間的距離

1、高等代數(shù) 向量到子空間的距離第1頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四 向量間的距離長度 稱為向量 和 的距離，基本性質(zhì)（i） （ii） 并且僅當(dāng) 的等號才成立；（iii）(三角形不等式) 一、向量到子空間的距離 定義記為第2頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四2.向量到子空間的距離(1) 設(shè) 為一固定向量 ，如果 與子空間 中每個(gè)向量垂直， 稱 垂直于子空間 記作如果 則 注: 第3頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四(2) 向量到子空間中的各向量的距離以垂線為最短. 如圖示意，對給定 ，設(shè) 是 中的滿足的向量，則對 有第4頁，

2、共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四因 是子空間，則由勾股定理證明：故所以第5頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四二、最小二乘法 問題提出:實(shí)系數(shù)線性方程組（1） 即任意 都可能使 （2） 不等于零可能無解，第6頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四設(shè)法找實(shí)數(shù)組 使（2）最小, 這樣的 為方程組（1）的最小二乘解， 此問題叫最小二乘法問題.最小二乘法的表示:設(shè) （3） 第7頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四用距離的概念，（2）就是 由（3）, 設(shè)則要找 使（2）最小，等價(jià)于找子空間 中向量 使 到它的距離 比到

3、 中其它向量的距離都短. 第8頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四設(shè)這等價(jià)于 （4） 即 這樣（4）等價(jià)于（5） 為此必或這就是最小二乘解所滿足的代數(shù)方程. 第9頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四已知某種材料在生產(chǎn)過程中的廢品率 與某種化學(xué)成份 有關(guān)下列表中記載了某工廠生產(chǎn)中 與相應(yīng)的 的幾次數(shù)值：找出 對 的一個(gè)近似公式.例題第10頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四把表中數(shù)值畫出圖來看，發(fā)現(xiàn)它的變化趨勢近于一條直線因此我們決定選取 的一次式 來表達(dá)當(dāng)然最好能選到適當(dāng)?shù)氖沟孟旅娴牡仁浇猓憾汲闪?第11頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四實(shí)際上是不可能的任何 代入上面各式都發(fā)生 些誤差.于是想找到 使得上面各式的誤差的平方和最小，即找 使 最小.易知 第12頁，共14頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)11分，星期四最小二乘解 所滿足的方程就是 第13頁，共14頁，2022年，5月20日，21