考研級(jí)數(shù)典型例題完美講析

1、文檔編碼 : CZ6S10D3K6T3 HE10Z5T5G5B3 ZK8O9H4I5B10常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 內(nèi)容要點(diǎn) 一,概念與性質(zhì) 一 概念 由數(shù)列 u1 ,u 2 , , un , 構(gòu)成的式子 ui 稱為級(jí)數(shù)的部分和 . n 1 un u1 u2 un n稱為無窮級(jí)數(shù),簡稱為級(jí)數(shù) . un 稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng), sn i 1 假如 lim nsn s ,就稱級(jí)數(shù) n1u n 收斂, s 稱為該級(jí)數(shù)的和 .此時(shí)記 un s .否就稱級(jí)數(shù) n 1 發(fā)散 . （二）性質(zhì) 1, 如 un 收斂,就 ku n k un . lim un n0. n1n 1 n 1 2, 如 un , vn 收斂,就 n 1

2、 un vn u n n 1 n 1 vn . n1n 1 3, 級(jí)數(shù)增減或轉(zhuǎn)變有限項(xiàng),不轉(zhuǎn)變其斂散性 . 4, 如級(jí)數(shù)收斂,就任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂 . 5收斂的必要條件 , 如 un 收斂,就 lim un n0. n 1 留意：如 lim nun 0.就 n1un 必發(fā)散 .而如 n1un 發(fā)散 ,就不愿定 三 兩個(gè)常用級(jí)數(shù) 1, 等比級(jí)數(shù) 2, p級(jí)數(shù) n aq , a , 1 q q1n0, q11p1n 1 np, p1二,正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法 一 比較判別法 第 1 頁,共 52 頁設(shè) u n , n 1 vn 均為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 un vn n 1,2, ,就 n1n1vn

3、 收斂 n1un 收斂； n1un 發(fā)散 n1vn 發(fā)散 二 極限判別法 假如 lim nnun l 0 l ,就 un 發(fā)散； un 就收斂 . n1假如對 p 1, lim n pnun l 0 l ,就 n 1 三 比值判別法 設(shè) un 為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如 un 11c n1lim n1bun 1f 二,交叉級(jí)數(shù)收斂性判別法 萊布尼茲判別法：設(shè) n 1 1n1un un 0 為交叉級(jí)數(shù),假如中意： 1, un un 1 n 1,2, 2, lim nun 0就此交叉級(jí)數(shù)收斂 . 三,任意項(xiàng)級(jí)數(shù)與確定收斂 （一） 確定收斂 假如 un 收斂,就稱 un 確定收斂 . un 條件收斂 . n1n

4、 1 （二） 條件收斂 假如 un 收斂,但 un 發(fā)散 ,就稱 n1n1n 1 （三） 定理 如級(jí)數(shù)確定收斂,就該級(jí)數(shù)必收斂 . 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一, 主要內(nèi)容 1,基本概念 函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）的點(diǎn)收斂,一樣收斂,內(nèi)閉一樣收斂,肯 定收斂,和函數(shù) 第 2 頁,共 52 頁冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,收斂區(qū)間,收斂域 2,一樣收斂性 A , 函數(shù)列 fn x 一樣收斂性的判定： （1）定義：用于處理已知極限函數(shù)的簡潔函數(shù)列的一樣收斂性 （2） Cauchy 收斂準(zhǔn)就：用于抽象,半抽象的函數(shù)列的一樣收斂性的判定 （3）確界（最大值方法） ： | f n x f x | 0（4）估量方法： | fn x f

5、x | an 0（5） Dini -定理：條件 1）閉區(qū)間 a,b ； 2）連續(xù)性； 3）關(guān)于 n 的單調(diào)性 注,除 Cauchy 收斂準(zhǔn)就外,都需要知道極限函數(shù),因此,在判定一樣收斂性時(shí),一般應(yīng)先 利用點(diǎn)收斂性運(yùn)算出極限函數(shù)； 注,定義法,確界方法和估量方法的本質(zhì)是相同, 定義方法通常處理抽象的對象, 估量方法 是確界方法的簡化形式, 估量方法處理較為簡潔的詳細(xì)的對象, 確界方法是通過確界的運(yùn)算 得到較為精確的估量, 通常用于處理具有一般結(jié)構(gòu)的詳細(xì)的函數(shù)列, 也可以用于非一樣收斂 性的判定； 注,Dini 定理中, 要驗(yàn)證的關(guān)鍵條件是關(guān)于 n 的單調(diào)性,定理中相應(yīng)的條件為“對任意固定 的 x

6、 a,b , f n x 作為數(shù)列關(guān)于 n 是單調(diào)的”,留意到收斂或一樣收斂與函數(shù)列前面的 有限項(xiàng)沒有關(guān)系,上述條件也可以改為“存在 N,當(dāng) nN 時(shí)”條件成立刻可,但是,要注 意 N 必需是與 x 無關(guān)的, 即當(dāng) nN 時(shí),對全部任意固定的 x a,b , f n x 關(guān)于 n 單調(diào), 因此,此時(shí)的單調(diào)性也稱為對 非一樣收斂性的判定 （1）定義 （2） Cauchy 收斂準(zhǔn)就 n 的單調(diào)性關(guān)于 x 一樣成立； （3）確界法：存在 xn ,使得 | fn xn f xn | 不收斂于 0（4）和函數(shù)連續(xù)性定理 （5）端點(diǎn)發(fā)散性判別法： f n x 在 c 點(diǎn)左連續(xù), fn c 發(fā)散,就 fn

7、x 在 c , c 內(nèi)非一樣收斂 注,在判定非一樣收斂性時(shí),依據(jù)使用時(shí)的難易程度,可以按如下次序使用相應(yīng)的方法進(jìn) 行判定：端點(diǎn)發(fā)散性判別法,和函數(shù)連續(xù)性定理,確界方法,定義法, Cauchy 收斂準(zhǔn)就； B,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) un x 一樣收斂性的判定 （1）定義 （2） Cauchy 收斂準(zhǔn)就 （3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)列（部分和） 第 3 頁,共 52 頁（4）余項(xiàng)方法： rn x 一樣收斂于 0（5）幾個(gè)判別法： W-法, Abel 法, Dirichlet 法, Dini -法 經(jīng)典例題 例 1 判定級(jí)數(shù) 1 1； 2 1 的斂散性 . n 1 n n n 1 n n解： 1 1 = 13 p 3 1

8、 收斂 n 1 nn n 1 n 2 22 由于 lim n n n 1 lim n u n lim n n 1n 1 0, 故 n1n 1n 發(fā)散 . n例 2 判別級(jí)數(shù) .1 1； 2 3n； 3 n1 的斂散性 . n 2 n 1 n 3 n1 n2 n1 n n 2 解： 1 由于 1 12 n 2,3 ,而 12 12 收斂 n 1 n 3 n 3 n 2 n 3 n 5 n故由比較判別法可知級(jí)數(shù) 1 收斂 . n2 n 1 n 3 2 由于 3 n n 1 n 1,2, ,而 1 發(fā)散,由比較判別法可知 n2 n n1 nn級(jí)數(shù) 3n 發(fā)散 . n1 n2 3 由于 n 1 n1

9、1,而 1 1 發(fā)散,由比較判別法可知 nn 2 n 1 n 2 n 2 n 1 n 2 n 3 n級(jí)數(shù) n 1 發(fā)散 . n1 nn 2 n例 3 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性： 1 1； 2 nn 1 n 1. n 1 n. 解：用比值判別法 1 lim nun 1 lim n1lim n101, 故n 1 1收斂； n. 1 un n 1. n n 1. 第 4 頁,共 52 頁2 lim nun 1lim nn 1 n 1 lim n11ne1, 故n 1 nn發(fā)散 . n 1. unnn nn. n. 例 4 判別級(jí)數(shù) 1 n11；（ 2） ln 11的斂散性 . . n n nn2n1解：

10、 1 由于 lim nu nnlim n n n1nlim nn110 , n n故由極限判別法可知級(jí)數(shù) n 1 n1n發(fā)散 . n 2 2 由于 lim n un nlim n ln 1 n1lim ln 1 n1n2 ln e 1n2n2故由極限判別法可知級(jí)數(shù) ln 11收斂 . n2n 1 例 5 問級(jí)數(shù) n 1 n 1 c 2n是收斂仍是發(fā)散？如收斂,是確定收斂仍是條件收斂？ n解：由茉布尼茲判別法可知 n11nc 與 1n1均收斂,從而原級(jí)數(shù)收斂 n2nn 1 另一方面, 1nc 2n c 2nn1,而 n 1 1 發(fā)散,故由比較判別法可知 nnn2nnn 1 1n c 2n發(fā)散,從

11、而原級(jí)數(shù)是條件收斂 . n練習(xí)題 1, 用比較判別法判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 . n12 sin 2n 1 4 1n1 11 2 n ln 2 3 n n 1 2 n2n2n 1 nn n 1 2 2, 用比值判別法判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 . 3 n 2 nn 1 3 1 5 n n 1 n. 2 n 1 1 3 2 n 1 2 5 3n 1 3, 用極限判別法判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 . 第 5 頁,共 52 頁1 1n2 n 1 ln n n 1 2n 3 nn24 判定以下級(jí)數(shù)是否收斂？假如收斂,是確定收斂仍是條件收斂？ 1 11112 n11n1n3,1 發(fā)散 2收斂 234n 1 33 111

12、111114 n 1 1n32322323321 ln n 答案： 1,1收斂 2 收斂 3 收斂 4 發(fā)散 2,1收斂 2 收斂 3 收斂 4,1 條件收斂 2確定收斂 3確定收斂 4條件收斂 5 求冪級(jí)數(shù) 1 x 2 x 3 x n x n23的收斂半徑與收斂域 . 解：由于 lim nan 1lim n1lim nn1 = n1 1an n1n所以 ,收斂半徑 R11收斂區(qū)間為 1,1. n 1 n x , x I 當(dāng) x 1 時(shí) ,原級(jí)數(shù)1n 1 n 1 收斂； n為 當(dāng) x 1 時(shí) ,原級(jí)數(shù)1n 1 1發(fā)散 . 故收斂域?yàn)?1,1. n為 6. 求冪級(jí)數(shù) n 1 n x 的和函數(shù) .

13、 n解：不難求得收斂域?yàn)?I 1,1 設(shè)和函數(shù)為 Sx 即 Sx n/ 逐項(xiàng)求導(dǎo), S x n 1 n1 x 1 1, x x 1. 再積分,便得 S x x 11dx x ln1 x , x I 0第 6 頁,共 52 頁7.求冪級(jí)數(shù) n 2n 1 x 的收斂域及和函數(shù) . n 1 解： lim nan 1lim n2n 1 1R112n1 1an n當(dāng) x 1 時(shí), 原級(jí)數(shù) = 2n 1 1發(fā)散,故收斂域?yàn)?1,1. n1n 2n 1 x = 2 n n 2x 3n x = 2 x n n1 x dx / 3x 3x1 x 1x n1n1n 1 n10= 2 n1 n 1 / x 3x 2

14、2x / 1 x 3x 4x1 x 2 2x . 3x 4x 2 2x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x = x 2 4x . , 1x 1 2 1 x 8. 將函數(shù) f x 11開放成的冪級(jí)數(shù) . x 2 解：由于 1n0 1 n xn , 1x 1, 故 1 x f x 11= n0n2 1 x 4 x 6 x n 2n 1 x 2n 1 x 2 x 練習(xí)題 1, 求以下冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域 . n n nn x n 1 x x 1 nx 2 n 3 1 4 nn 1 n 1 3 n 1 2n 1 n 1 n42, 求以下冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù) . nn n

15、x 1 nx 2 n 2 x 3 n 1 n 1 n2 n 13, 將以下函數(shù)展為 x 的冪級(jí)數(shù) x 1 f x ln1 x 2 2 f x e 2 3 f x a x 4 f x sin 2 x 答案： 1,1 R 1, 1,1 2 R 3, 3,3 3 R 1, 1,1 4 R 4, 4,4 x 2 x 2,1 1,1, 2 2 1,1, 2 3 1,1, x ln1 x 1 x x 1 第 7 頁,共 52 頁3, 1 n 1 x 2 n n2 n 0 1nn x 3 1n1ln a nx n n. 2nn. 4 1n2n 1 x n 0 2n 1 2n 1. 2 1,判定函數(shù)列 fn

16、x 在0,1 的一樣收斂性,其中 （ 1）, fn x 1nx x , （2）, fn x n nx1 x ； n解：（ 1）運(yùn)算得, nx x x , x 0,1 ,f x lim fn x nlim n1n因而, | fn x f x | | 1nx x x | 2, x 0,1 , nn故, fn x 在 0,1 一樣收斂； （ 2）運(yùn)算得 f x lim f x lim nx1 x n n n n0 , x 0,1 , 記 x | f n x f x | nx1 x n ,就 n1 x n1 x 1 n 1x , 故, x 在 xn 1 處達(dá)到最大值,因而 n1| f n x f x

17、| xn n1 1 n 1, n1 n1 e故, fn x 在 0,1 非一樣收斂； 注,下述用 Dini -定理求證（ 2）的過程是否合適；驗(yàn)證 Dini 定理的條件： 明顯,對任意的 n,f x nx1 n x C0,1 ,f x 0C0,1 ；當(dāng) x 0 或 x 1 , 0 時(shí),考fn x n nx1 x 關(guān)于 n 的單調(diào)性, fn x 0 ,因而關(guān)于 n 單調(diào)；當(dāng) x 察 為此,將離散變量 n 連續(xù)化,記 a1 x 0,1 ,考查對應(yīng)函數(shù) g y y ya 關(guān)于 y 的單調(diào)性； 明顯, g y ay ya y ln a a y1 y ln a , 第 8 頁,共 52 頁故,當(dāng) y 1

18、0 時(shí), g y 0 ,因而關(guān)于 y 單減； ln 1 a對應(yīng)得到當(dāng) n1 1 ln 1 x 時(shí), f x 關(guān)于 n 單減,故由 Dini -定理, f x 在 0,1 中 一樣收斂； 分析 明顯,這是與最大值解法相沖突的結(jié)論；最大值方法是正確的,那么,上 述 Dini -定理的證明過程錯(cuò)在何處？進(jìn)一步考察 Dini -定理的條件與上述證明過程： 條件 f , fn C0,1 是確定的,有限區(qū)間 0,1 也適合,剩下的條件只有單調(diào)性了； 那么, Dini -定理中對單調(diào)性條件如何要求的？其表達(dá)為：對任意固定的 x , f n x 是 n 的單調(diào)數(shù)列,留意到收斂性與前有限項(xiàng)沒有關(guān)系,因而 fn

19、x 的單 調(diào)性也放寬為 n N 時(shí), fn x 是 n 的單調(diào)數(shù)列,本例中,在驗(yàn)證單調(diào)條件時(shí), 實(shí) 際 證 明 了 ： x 0 , 當(dāng) n 11 N 時(shí) , f n x 關(guān) 于 n 單 調(diào) , 顯 然 , ln 1 x N 1,（ x 0）,因此, fnx 的單調(diào)性關(guān)于 x 并非是一樣的,破 ln 11 x 壞了 Dini -定理的條件,故 Dini -定理不行用； 從上述分析過程看,當(dāng)考慮到數(shù)列的收斂與前面有限項(xiàng)關(guān)系時(shí), Dini -定理可這 樣表述： Dini -定理 在有限閉區(qū)間 a,b 上,設(shè) f n x C a, b , n 且 fn x 點(diǎn)收斂于 f x C a, b ,又 N 0

20、,使得對任意固定的 x a,b , fn x| n N 關(guān)于 n 單調(diào), a,b 就 fn x f x ； 注,上述分析說明： 要考察函數(shù)列的性質(zhì)時(shí), 通常只須考察 n 充分大,即 n N 時(shí) 所中意的性質(zhì)即可,要留意與 如 W-定理： x 關(guān)系的刻畫,對函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要留意同樣的問題, W -定理 設(shè) N0,使得 nN 時(shí),| un x | an , x I ,且 an 收斂,就 un x n 1 n 1 在 I 上一樣收斂； 定理中的條件 | un x | an 也是關(guān)于 x 一樣成立的,因此,條件不能改為“對任意 的 x,存在 Nx,使得 nNx時(shí), | un x | an”； 例 2,證明

21、：如 f x 在 a,b 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f x ,就 f x n f x 1f x 在 a,b n第 9 頁,共 52 頁內(nèi)閉一樣收斂于 f x ； 分析 從題目形式看,由于知道極限函數(shù),只需用定義驗(yàn)證即可,考察 | f x f x | | n f x 1 nf x 1f x | x | 1統(tǒng)一形式 x , | | f f x | , x nn因此,利用一樣連續(xù)性可以完成證明； 證明：任取 , a,b ,就 f x 在 , 一樣連續(xù),因此, 0 , 0 , 使得 x , x , 且 | x x | 時(shí), | f x f x | , 利用微分中值定理,存在 : x x 1,使得 n| fn x f

22、x | | f f x | , 故, n 1時(shí), | x | 1,因而 n| fn x f x | , , 故, f n x f x ； 3,爭論一樣收斂性 （ 1） n x 1 2 x , x 0,1 ； （ 2） 2 x e nx , x 0, ； n 0 n 0 解：（ 1）法一,由于結(jié)構(gòu)簡潔,可以運(yùn)算其部分和,因此,可以轉(zhuǎn)化為函 數(shù)列來處理； 由于 S x 1xk 1 x 2 =1- x 1- xn , x 0,1 k 0 故, S x lim nSn x 1 x , x 0,1 ； 因而, n | Sn x Sx | 1 x x , 對任意的 n,記 g x 1 xx n,就 g x

23、 nx n 1 n1 x n第 10 頁,共 52 頁因而, g（x ）在 x = n 處達(dá)到最大值,因而 n+1 n 1 n n| Sn x S x | 1 xn xn = 0, n n+1 n+1 0,1 因此, Sn x Sx ,故, x 1 x n 2 在 x 0,1 一樣收斂； n 0 法二,也可利用最大值法,或 W-判別法； 記 u x n x n 1 x 2 ,就 u n x nx n 11 x 22 x n 1 x x n 1 1 x n n 2 x 故, un x 在 xn n處達(dá)到最大值,因而 n 2n n n 2 20 un x un n2 n2 n2 2 2 4 2n2

24、 nn 2由 W-定理可得, x 1 x 在 x 0,1 一樣收斂； n 0 （ 2）法一, 記 un x x e 2 nx ,就 u n x xe nx 2 nx , 故 un x 在 xn 2 處達(dá)到最大值,因而 n2 2 2 2 4 20 un x un e 2 e , n n n故, x e 2 nx 在 x 0, 一樣收斂； n 0 法二, 利用用 Taylor 開放得, enx 1 nx 2 2 n x Rn x, x 0 2因而, 02 x e nx 2 x 1 nx 2 x Rn x 2 x 2,x0 nx e2 2 n x 2 2 n x n222第 11 頁,共 52 頁故

25、, x e 2 nx 在 x 0, 一樣收斂； n 0 4,設(shè) un x 在 a,b 上點(diǎn)收斂, un x 的部分和函數(shù)列在 a,b 上一樣有界, 證 n 0 n 0 明： un x 在a,b 上一樣收斂； n 0 分析 這是一個(gè)抽象的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 從所給的條件看, W定理, Abel 判別法, Dirichlet 判別法,Dini 定理都缺乏相應(yīng)的條件, 因此,考慮用 Cauchy 收斂準(zhǔn)就, 為此,必需建立通項(xiàng)函數(shù) un x 與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,建立其關(guān)系的方法有微分法 （利用微分中值定理）和積分法（利用微積分關(guān)系式） ,其本質(zhì)基本上都是插項(xiàng) 法,如利用積分法估量 Cauchy 片 段 p

26、x p| k=1 un k x | | x0 k=1 un k t dt k=1 p un k x0 | , 相當(dāng)于插入點(diǎn) x0 ,利用一樣有界條件,就 pun k x | M | x x0 | | pun k x0 | , | k=1 k=1 要通過右端把握 Cauchy 片段任意小,從右端形式和剩下的條件看,右端的其 項(xiàng)要用點(diǎn)收斂性來估量, 而第一項(xiàng)需用小區(qū)間的長度來把握, 由于點(diǎn) x 是動(dòng)態(tài)的, 任意的,因此,關(guān)鍵的問題是利用什么技術(shù)將動(dòng)態(tài)點(diǎn)的把握轉(zhuǎn)化為有限個(gè)定點(diǎn)控 制,通過第一項(xiàng)的形式可以確定利用對區(qū)間的分割實(shí)現(xiàn)上述目的； 證明：對任意的 0,對 a,b 作等分割： ax0 x1 xk

27、 b ,使得 , max xi 1xi : i 0,1, , k 1 ba, k 又, n 0 un x 點(diǎn)收斂,因而,存在 N,使得 nN 時(shí), p| un j xi | , p , i=0,1, ,k j=1 nuk x | M,當(dāng) nN 時(shí),對任意的 x a,b ,存在 xi ,使得 | x 0 xi | 0假設(shè) | k=0 故 pun k x | | x pun k t dt pun k xi | | k=1 k=1 xi0 k=1 第 12 頁,共 52 頁因而, 2 M | x xi | 2 M 1 , pun x 在a,b 上一樣收斂； n 0 注,總結(jié)證明過程,步驟為： 1,任

28、給 0 ,分割區(qū)間,確定有限個(gè)分點(diǎn)； 2, 在分點(diǎn)處利用 Cauchy 收斂準(zhǔn)就； 3,利用插項(xiàng)技術(shù)驗(yàn)證一樣收斂性； 留意相互間 的規(guī)律關(guān)系； 注,類似的結(jié)論可以推廣到函數(shù)列的情形：設(shè)逐點(diǎn)收斂的函數(shù)列 Sn x 是a,b 上的可微函數(shù)列,且 Sn x 在a,b 上一樣有界,就 Sn x 在a,b 一樣收斂； 注,上述證明的思想是通過有限分割將任意動(dòng)態(tài)點(diǎn)的估量轉(zhuǎn)化為有限個(gè)點(diǎn)的 靜態(tài)估量,像這種思想在證明一樣收斂性時(shí)比較有用,看下面的例子； 6,給定函數(shù)列 Sn x ,設(shè)對每個(gè)固定的 n, Sn x 都是 a,b 上的單調(diào)函數(shù),又 設(shè) Sn x 在a,b 上收斂于 Sx ,且 S x C a, b

29、 ,證明 Sn x 在a,b 上一樣 收斂于 Sx ； 分析 由于題目中給出了極限函數(shù)且函數(shù)列是抽象的, 因此,可以考慮用定義法 處理；關(guān)鍵是如何利用點(diǎn)收斂和極限函數(shù)的連續(xù)性實(shí)現(xiàn)對 | Sn x S x |的動(dòng)態(tài)估 計(jì),假設(shè)插入的點(diǎn)為某個(gè)固定的點(diǎn) x0 ,就必定涉及到 | Sx S x0 | 的估量,要得 到與 x 無關(guān)的估量, 從所給的極限函數(shù)的條件看, 必需利用連續(xù)性來實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的 估量,但是,僅僅用連續(xù)性仍不夠,由于連續(xù)性是局部性質(zhì),因此,這就使我們 考慮更高級(jí)的整體性質(zhì)一樣連續(xù)性, 由此,借助一樣連續(xù)性實(shí)現(xiàn)對區(qū)間的分 割,將動(dòng)態(tài)估量轉(zhuǎn)化為分點(diǎn)處的靜態(tài)估量；但是,問題并沒有全部解決,由于直

30、 接插項(xiàng),產(chǎn)生的項(xiàng) | Sn x Sn x0 | 無法解決,留意到仍有一個(gè)單調(diào)性條件, 因此, 必需借助這個(gè)條件將 | Sn x Sx | 中的 Sn x 由動(dòng)態(tài)點(diǎn)過渡到靜態(tài)的點(diǎn),這種技 巧并不生疏,在 Dini 定理的證明中曾借助關(guān)于 n 的單調(diào)性將變動(dòng)的下標(biāo) n 轉(zhuǎn)化 為固定的下標(biāo),這里我們利用同樣的技術(shù)解決相應(yīng)的問題； 證明：對任意的 0 ,由于 S x C a,b ,因而一樣連續(xù),故存在 0 ,當(dāng) x, y a,b 且 | x y | 時(shí), , | S x S y | 對 a,b 作等分割： ax0 x1 xk b ,使得 max xi 1xi : i 0,1, ,k 1 ba k ,

31、 第 13 頁,共 52 頁利用點(diǎn)收斂性,存在 N,使得 nN 時(shí), | Sn xi Sxi | , i 0,1, k ； 因此,當(dāng) nN 時(shí),對任意點(diǎn) x a, b ,存在 i0 ,使得 x x i0 1 , x ,利用 Sn x 的 單調(diào)性,就 | Sn x S x | | Sn xi 0Sx | | Sn xi 01 S x | , 事實(shí)上,當(dāng) Sn x 關(guān)于 x 單調(diào)遞增時(shí),或者 | Sn x S x | Sn x S x Sn xi S x | Sn xi Sx |, 或者 | Sn x S x | S x Sn x S x Sn xi 01 | S x Sn xi 01 | , 因

32、而,總有 | Sn x Sx | | Sn xi 0 Sx | | Sn xi 0 1 S x | ； 這樣,關(guān)于 Sn x 由動(dòng)態(tài)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn),對右端進(jìn)行插項(xiàng),進(jìn)一步將 Sx 由動(dòng)態(tài)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)； 因而, | Sn x Sx | | Sn xi 0S x | | Sn xi 01 S x | 4, | Sn xi Sxi | | S xi S x | | S x n i0 1 Sx i0 1 | | S x i0 1 S x | 故, Sn x 在a,b 上一樣收斂于 Sx ； 注,利用各種技術(shù)將動(dòng)態(tài)點(diǎn)處的估量轉(zhuǎn)化為靜態(tài)點(diǎn)處的估量是證明抽象函數(shù) 列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣收斂性經(jīng)常用的技

33、巧, 要把握其處理問題的思想, 特別是單 調(diào)性在這個(gè)過程中的應(yīng)用； 7,設(shè) f C , ,定義函數(shù)列 S x 1n1f x k , n 1, 2, n,證 k 1 n明： Sn x 在 , 內(nèi)閉一樣收斂； f x t dt ,因此,可以利用形式 分析 從函數(shù)列的結(jié)構(gòu)可以運(yùn)算出和函數(shù)為 0統(tǒng)一法證明結(jié)論； 證明：對任意的 x,就 S x n lim Sn x 1f x t dt ； 0第 14 頁,共 52 頁對任意的 a,b , ,就 f Ca 1,b 1 ,因而,一樣連續(xù),故,對任意 的 0 ,存在 0 ,當(dāng) x, y a 1,b 1 且 | x y | 時(shí), | f x f y | ； 取

34、 N： N 1,當(dāng) n N 時(shí), n k | Sn x S x | | k n 1 f x t f x k dt | k 1 n nn1k 1 n 故, Sn x 在 , 內(nèi)閉一樣收斂； x 8,設(shè) f0 C0, a , fn x 0 fn 1 t dt ,證明： f n x 在0, a 一樣收斂于零； 證明：由于 f0 C0, a ,故 M 0 ,使得 | f0 x | M , x 0, a ,因而 | f1 x | Mx , | f 2 x | Mx tdt M 1x 2 , 02歸納可以證明： | fn x | Mn x n Ma n. n. 故, f n x 0 ； 9,在 0,1上定

35、義函數(shù)列 f x 4n2 x, 4n, 0 x 1 2n 4n2 x 1x 1 , n2n 0, 1 nx 1運(yùn)算其極限函數(shù)并爭論其一樣收斂性； 解,法一,明顯, f n 0 0 ,對任意固定的 x 0,1 ,就當(dāng) n 1x 時(shí),總有 fn x 0 ,因此, n lim fn x 0 ,故,其極限函數(shù)為 f x 0 ； 第 15 頁,共 52 頁取 xn 1,就 f xn | fn xn n, 4n | fn xn 因此, f n x 在0,1 上非一樣收斂； 法二,用一樣收斂性的性質(zhì)證明； 極限函數(shù)仍為 f x 0 ,運(yùn)算得, 0 1 fn xdx 0 2n 1 4n xdx 2 1 n 1

36、 4n x 4n dx 1 22 n 因而, 01f xdx lim n1fn xdx 1 , 00故, fn x 在0,1 上非一樣收斂； 注,這里, 我們利用逐項(xiàng)求積定理, 將這種將定性分析的證明轉(zhuǎn)化為定量的 驗(yàn)證,這是特別有效的處理問題的思想方法； 10,給定函數(shù)列 f x xln n ,n 2,3, ,證：當(dāng) 1 時(shí),函數(shù)列 f x nx 在 0, 上一樣收斂； 證明：簡潔運(yùn)算 f x lim nfn x 0 , x 0, , 因而, | fn x f x | fn x xln n , x n對任意固定的 n, fn x nx ln n 1 x ln n , 2 x n因而, | fn

37、 x 1 f x | fn ln n 1 ln n ln n e1故,當(dāng) 1n lim | fn x 1 ln n e時(shí), f x | 0 , 第 16 頁,共 52 頁 f n x 在0, 上一樣收斂； 下面爭論一樣收斂性的應(yīng)用； 11,設(shè) S x n 0 rncosnx,（ | r | 1 ）運(yùn)算 2S xdx； 0分析 題目的本質(zhì)實(shí)際是兩種運(yùn)算的可換序性,只需驗(yàn)證相應(yīng)的條件； 解：由于 | r n cos nx | | r | n ,故 r cosnx在 n 一樣收斂,因而 0,2 2 20 S xdx n 0 0 r n cosnxdx , 2 2又, 0 cosnxdx 0 , n

38、1,2, ,故 0 S xdx 2； nx 212,設(shè) f x n 0 3 n cos n x ,求 lim f x ；x 1 n解：考慮 x n cosn x 在 0,2 的一樣收斂性；由于, 2n 0 3n| x 3 n cosn x | 2 2 3 n , n故, x n cosn x 2 在0,2 一樣收斂,因而 n 0 3n nlim f x x 1 lim x 1 n 0 3 x n cosn x 2n0 1 3 n1 11 34； 3注,關(guān)鍵挑選一個(gè)合適的區(qū)間： 即保證一樣收斂性, 也要保證極限點(diǎn)落在此 區(qū)間 內(nèi)部； 13,運(yùn)算 n lim 1x dx x n n； 01 en

39、分析 兩種運(yùn)算的換序性問題,只需驗(yàn)證一樣收斂性條件； x 證明：先證 en 的一樣收斂性；明顯,對任意的 x 0,1 , x n lim en 1 , 利用微分中值定理,存在 0,1 ,使得 第 17 頁,共 52 頁x 1| | ex 0 e | ex 1, x 0,1 單調(diào)遞增 | e nnnn因而, ex n 在0,1上一樣收斂于 1（也可以用 Dini 定理證明）； 其次,證明 1 x n 的一樣收斂性；對任意的 x 0,1 , 1 x n n n收斂于 e ,由 x Dini 定理, 1 x n 在0,1 上一樣收斂于 e ； x n由此,得 x | x 1 1x | |1 e |

40、|1 x ne x |, e n 1 x n 1e nn故, x 1 在0,1 上一樣收斂于 1x ,因此, e n 1 x n 1 en1 dx 1 dx n lim 0 x x n 0 n lim x x n en 1 en 1 n nx 0 1 1 dx e x 0 1e 1 e x de x 1 ln 2 ln1 e ； 1 n 14,證明： f x x 在 1,1 連續(xù)； n 1 n1 n 解： q 0,1 ,考察 x 在 q, q 上的一樣收斂性；由于 n1 n| x 1n n | q 1n n , x q, q , 1 n 1 n 而 q 收斂,故 q 在 q, q 一樣收斂性,

41、因而 f x C q, q ,由 n nq 的任意性, f x C 1,1； 注,留意總結(jié)這類題目證明的步驟和技巧； 15,證明： n 1 sin nx 在（ 0, 1）內(nèi)非一樣收斂； n分析 由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)都收斂, 通項(xiàng)也是一樣收斂的函數(shù)列, 又不知 其和函數(shù),因此,只有用 Cauchy 收斂準(zhǔn)就證明；為此,需要爭論其 段,找出一個(gè)具有正下界的片段,留意到以前處理的類似問題：用 Cauchy 片 Cauchy 收斂 第 18 頁,共 52 頁準(zhǔn)就證明 1 的發(fā)散性,可以設(shè)想,相應(yīng)的方法是否能處理此題,由此,需要 n 1 n考察：能否存在 xn 0,1 ,使得片段中的每一項(xiàng) sin

42、kxn k 的對應(yīng)因子 sin kxn , kn1, ,2n 有正下界,只需 kxn ,只需 xn ,因此, 4 2 4n 1 4n 只需取 xn ； 4n 證明：取 0 2,就,對任意的 n,取 pn, xn ,就 4 4n | sin n n 1 1xn sin 2nxn 2n | 4 2, 由 Cauchy 收斂準(zhǔn) sin nx 在（ 0, 1）內(nèi)非一樣收斂； 就, n 1 n注,仍可以用下述結(jié)論證明其非一樣收斂性：給定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) un x ,設(shè) n 1 un x C a, b ,如 un x 在a,b內(nèi)一樣收斂, un a 和 un b 都收斂,就 n 1 n 1 n1un x 在a,

43、b上一樣收斂,因而,仍成立 un x Ca, b ； n 1 n 1 在 Fourier 級(jí)數(shù)習(xí)題課中,可以證明, sin nx 正是一個(gè)在 0,1 上的非連續(xù) n 1 n 函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù),且其和函數(shù)在 0,1 上也不連續(xù),因而,依據(jù)上述結(jié)論, sin nx 在（ 0,1）內(nèi)非一樣收斂； n 1 n16,證明： n 0 n an 1 x n1 與 n0 an x n具有相同的收斂半徑； 證明：法一：由于 lim n1lim n| a n1n 1| an | n|n 11n 1 n1n第 19 頁,共 52 頁lim n1lim nn 111| an | nn n lim | an

44、 | , 1n另一方面, n lim | a n1lim n11lim n1, n | an | 1|n n 1n n 1 n1lim n| a |n 11| a |n 1lim nn 1 n 1nn 1 n故,二者有相同的收斂半徑； 法二,可定義證明； 設(shè) n 0 a n x n 的收斂半徑為 R ,要證 n 0 n an 1 x n 1 的收斂半徑也為 R ,只要證 | x | R時(shí), an x n 1收斂, | x 0 | R 時(shí), an x n1 發(fā)散； n0 n 1 n 0 n 1對 x0 ： | x0 | R ,就, an x0 n 收斂,又 an x0 n 1 an x0 n x

45、0 , n 1 n 1由 Abel 法, an x 0 n1 收斂； n 0 n 1對任意的 x0 ：| x0 | R 時(shí),如 an x0 n 1 收斂,取 y0 使得 | x0 | | y0 | R ,因 n0 n 1 為 an x 0 n 1 收斂,因而 an x 0 n 1 收斂,故有界記為 M ,因此, n 0 n 1 n 1| a y | | n an x n 1 y0 n n1 1| Mn 1r n, n 1 x0 x0 | x0 | 其中 r | y0 | 1 ；由于 n 1r n,因而, a y 0 n 收斂,這與 an x n 的收斂半 x0 n 0 n 0 n 0 徑為 R

46、 沖突,故, an x 0 n 1 發(fā)散； n 0 n 1由此得二者的收斂半徑相同； 第 20 頁,共 52 頁注,例子說明,冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)求積后收斂半徑不變,進(jìn)一步可得； 17,設(shè) f x an n 0 x n ,其收斂半徑為 R 0 ,證明： f x C R, R 且 a 0f 0 , ,證 0且 an f n 0 n. ； 解：由冪級(jí)數(shù)求導(dǎo)后收斂半徑不變性的性質(zhì)得, f C R, R 且 f 0 a0 , f x n1na nxn 1 , f 0 a , f x n2n n 1a nxn 2 , f 0 2. a , 歸納可以證明： f n 0 n. a ； 注, 此例說明：任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)都

47、是某個(gè)函數(shù)的 M -級(jí)數(shù)； 18,設(shè) f x C , 且| f k x | M , k , x ,又 f 1n2 0 , n 1,2, 明： f x 0 ； 分析 利用冪級(jí)數(shù)開放論證,證明 f n 0 0 k 證明：由于 | f x | M ,故 | R x | M | x | nn 1. 10 , x , , 因而, f x 在 , 可展成 M -級(jí)數(shù) f x n0f n 0 n x ； n. 下證 f n 0 0 ；明顯, f 0 lim n1 f 2 n 0 ,而 f 0 lim nf 1 n 21f 0 0 , 2 n 又 由 Roller- 定 理 , 1 1 n : 21 11 1

48、1 使 得 f 1 n 1222n 331 n0 ,故 第 21 頁,共 52 頁f 0 lim nf n 1 f 0 0 , 0； 1 n0 ,故 f x 歸納可證： f n 0 19,求收斂半徑和收斂區(qū)間； 1）, ln n x n n； 2）, n1 nn xn ； n14n1n x ； 3）, n 2 x ； ）, 3 n n 1 2nnn=1 ； n1解：記其為 n an x n11）,由于 lim nan 1lim nln n 1 n1 , an n1ln n 故, R1； 當(dāng) x 1n1ln n 發(fā)散；當(dāng) x n1 時(shí), ln n 1 n1 是交叉的 nL- 級(jí)數(shù),因而收斂, 時(shí)

49、, n1故其收斂域?yàn)?R, R ； 2）,由于 1lim1 n1ne , ,記 b n1 1 n n 1 n ,就 e lim an nn故 R 1 ； en1n n1 n 1 n e1 時(shí),考慮 當(dāng) x eln bn nlg 1 1 n n ； e用連續(xù)化方法運(yùn)算其極限,由于 lim x 0 lg1 11lg1 x 1x lim x 0 111, x xlim x 0 x x x lim x 0 lg1 x 2 x 1 x 2x 2第 22 頁,共 52 頁故, ln b n1 , b n2e10 ,因而, n n1 n 1 n e發(fā)散； 1 1 , ； e e 2同樣,當(dāng) x n 1 1

50、時(shí), n11 n n en 1 發(fā)散,故其收斂域?yàn)?en 1 3）,這是一個(gè)隔項(xiàng)級(jí)數(shù),直接用根式法爭論收斂半徑； 由于 lim nn2 | x | 1lim nn | x | , R1,顯 n 2n2故,當(dāng) | x | 1 時(shí),級(jí)數(shù)收斂,當(dāng) | x | 1 時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散,因而,收斂半徑 然, x1 和 x 1 時(shí),級(jí)數(shù)都收斂,因而,收斂域?yàn)?1,1； 4）,由于極限不存在,用上極限公式運(yùn)算收斂半徑；由于 lim a n n n lim 3n 1 1 4 , 1 nnn 故,收斂半徑 R 1 ； 4當(dāng) x 1 時(shí),就 43 1 n n1n 2 n 1n 1, n 1 n 4 n 2k 1 n 4

51、 n 2k n由于右端兩項(xiàng)前者收斂,后者發(fā)散,因而,左端級(jí)數(shù)發(fā)散； 同樣,當(dāng) x 1 時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散,故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 1 , ； 4 4 4 20,設(shè) a n x n 的收斂半徑為 R , b n x n 的收斂半徑為 Q ,爭論以下級(jí)數(shù)的收斂 n0 n0半徑； 1）, a nn b x ； 2）, n a b n n x ； a nbn xn 確定收斂；當(dāng) n0n0Q ,就當(dāng) | x | R 時(shí), 解,1）,當(dāng) RQ 時(shí),不妨設(shè) Rn 0 Q | x | R 時(shí),由于 n 0 a nb x nnn 0 a nxn n 0 b nxn , 第 23 頁,共 52 頁n n n而 a n

52、 x 發(fā)散, b n x 收斂,故, a n b n x 發(fā)散； n 0 n 0 n 0 n當(dāng) Q | x | 時(shí),利用冪級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì), a n b x 必發(fā)散,否就,當(dāng) n 0 Q | x | R 時(shí), a n b n x n 收斂,故, a n b n x n 的收斂半徑為 min R, Q ； n 0 n 0 當(dāng) RQ a n b n x n 的收斂半徑有可能嚴(yán)格大于 R,如取 a n b n 1, 時(shí), n 0 n就 RQ1,而 a n b n x 0,其收斂半徑為 ； n02）,由于 1 1 1 1 1lim | a b n n n |n lim n | a | n | b |n

53、lim | a n n |n lim | b n n |n , n故, a n b n x 的收斂半徑 R RQ ； n 0 有例子說明,存在情形 R RQ ,如取 0, n 2k 1, n 2k an , bn , 1, n 2k 1 0, n 2k 1就 RQ1,而 R .； 21 設(shè) an 的 收 斂 于 A , bn 的 收 斂 于 B , 如 果 Cauchy 乘 積 cn a0bn a1bn 1 anb0 收斂,就確定收斂于 AB ； 解：考慮如下三個(gè)冪級(jí)數(shù) an x n, bn x n, cn x n 由條件： x 1 是其收斂點(diǎn), 故由冪級(jí)數(shù)性質(zhì)：在 | x | 1 內(nèi)三個(gè)冪級(jí)

54、數(shù)都收斂,因而確定三個(gè)函數(shù) f x n an x , gx n bn x , hx n an x ,| x | 1且 f x C 1,1 , g x C 1,1, h x C 1,1,又由確定收斂級(jí)數(shù)的 Cauchy 乘法定理,就 an x nbn x ncn x n, | x | 1 ,即 f x g x h x ,| x | 1 令 x 1 ,就由連續(xù)性： f 1g1 h1,即 cn an bn AB 第 24 頁,共 52 頁 例 5 , 設(shè) n an x , 當(dāng) | x | r收 斂 , 就 當(dāng) an 1 xn 1收 斂 時(shí) 成 立 , nrf xdx an n 1 x 0n1證明：由

55、冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理： x :| x | r, x f t dt x n ant dt x n ant dt an x nn 1 rn an 1 r n 1 000又記 g x an xn ,就 g x C r , r ,故 lim g x x r gr n1又 g x x f t dt , | x | r,因而 lim x r x f t dt 也存在且等于 f xdx 000故 rf x dx lim x r x f tdt lim g x x r gr 00 注：利用定積分的性質(zhì),不管 f r 取值如何,上述條件保證 rf xdx 存在； 0例 6,利用上題證明 1 ln1 t 0 t

56、dt 1 2 n解：由于 ln1 t t t 2 2t 3 3t 4 4t n n , | t | 1故 ln1t t 1 t t 2 3tn 1 , 0 | t | 12n0 x 1,就 如定義 ln1t t |t 0lim t 0 ln1t 1 ,就上式對 | t | 1成立,因 而： t x ln1t dt x n1n t 1dt n1n x 0t 0nn2又 x 1n 1 1收斂,故由定理 7,就 1 ln1 t 0 t dt n11n2n2時(shí), 例 7 求 f x n 1 n sin2 x 的 Maclaurm 級(jí)數(shù),并說明它的 Maclaurm 級(jí)數(shù)并不表示 n. 這個(gè)函數(shù)； 解：

57、由于 k , n k 2 n. 收斂； lim nk 2 0 ,由比值判別法, n k 2 收斂； 事實(shí)上,由于 lim nn 2 1 k 1. n. n n k 2 n 1 n. 第 25 頁,共 52 頁n k n n k n因而, 2 sin2 x , 2 cos2 x 都一樣收斂 R 1 ,因而： n. n. 1f x 有任意階導(dǎo)數(shù),即 f C R 且 f k x sin2 x n k 2 sin2 x n k n k 2 n 1 n. n 1 n. n 2k 1 進(jìn)而 f 2 k 0 0 , f 2 k 1 0 1 k 2 n. 因此, f x 在 x 0 點(diǎn)的 Maclaurm 級(jí)

58、數(shù)為： k 2 k 1 2 k 1 2 k 1f 0 k f 0 2 k 1 x k 2 n x x 1 k 0 k . k 0 2 k 1. k 0 2 k 1. n. 2k 1 2 k 1 n 2 k 1x k 2 x k 2 2 k 1 1 1 e k 0 2 k 1. n. k 0 2k 1. 2k 1下面證明此級(jí)數(shù)對 x 0 都發(fā)散,為此,考慮其確定級(jí)數(shù) | x | e 2 2 k 1 ,就 k 0 2 k 1. 2k 3 2 2 k 3 lim k uk uk 1 lim k 2 k | x | 3. ee 2 2 k 1 2 k 1. | x | 2k 1 lim k 2 k |

59、 x | 22 k 23 e 2 2k 3 2 2 k 1 | x | 2 lim k 2 k e22 k 6 22 k 3 k （ lim e , 0 ） k k 2k 1故由比值判別法, | x | e 2 2 k 1 發(fā)散,故其通項(xiàng)不收斂于零,因而 k 0 2 k 1. x 2 k 1 1 k e 2 2k 1 也發(fā)散,即 Maclaurm 級(jí)數(shù)發(fā)散,因而不能表示 f x ； k 0 2 k 1. 例 8,證明（ 1） 4n x 中意 y4 y （2） n x 中意 xy y y 04 n. 2 n. n 0 解：（ 1） yx n 0 4 n x ,其收斂半徑為 R,故其導(dǎo)級(jí)數(shù)為 4

60、n 1 x 在任 4 n. 4n 1. 第 26 頁,共 52 頁意區(qū)間 a, a 一一樣收斂,因而 y x 4 n 1 x ,類似可證： y C a,a , 4 n 1. 4 且 y y , x , 因 而 y x n1n1 nx , （ 2 ） yx n0n x , 其 收 斂 半 徑 為 R 2 n. 2 n. y x n 2 nn 1xn2n 1 x n x n. y 2 n. 因而 xy y n 2 n2 nn 1x n 1 n 1 nx n12 n 1n x 2 n. 2 n. 2 n. n 1 2 n 1. n0例 9,利用已知開放式求冪級(jí)數(shù)開放 x x （ 1） e e（2）