2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(上海卷)理

1、上海數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)1.(2012上海,理1)計算:=(i為虛數(shù)單位).1-2i=1-2i.2.(2012上海,理2)若集合A=x|2x+10,B=x|x-1|0=,B=x|x-1|2=x|-1xa時f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xa時,f(x)單調(diào)遞減,又f(x)在1,+)上是增函數(shù),所以a1.8.(2012上海,理8)若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面,則該圓錐的體積為.如圖,由題意知l2=2,l=2.又展開圖為半圓,l=2r,r=1,故圓錐的高為,體積V=r2h=.9.(2012上海,理9)已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=.-1令H(

2、x)=f(x)+x2,則H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,f(-1)=-3,g(-1)=f(-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如圖,在極坐標(biāo)系中,過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角=.若將l的極坐標(biāo)方程寫成=f()的形式,則f()=.如圖所示,根據(jù)正弦定理,有=,=.11.(2012上海,理11)三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽.若每人都選擇其中兩個項目,則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).若每人都選擇兩個項目,共有不同的選法=27種,而有兩人選擇的項目完全相同的選法有=18種,故填.12.(2012上海,理12)在平行四

3、邊形ABCD中,A=,邊AB,AD的長分別為2,1.若M,N分別是邊BC,CD上的點,且滿足=,則的取值范圍是.2,5如圖,設(shè)=,則0,1,=(+)(+)=(+)(+(-1)=+(-1)+(-1)=12+(-1)(-4)+1+(-1)(-1)=1+4-4+-2+=-(+1)2+6.0,1,2,5.13.(2012上海,理13)已知函數(shù)y=f(x)的圖像是折線段ABC,其中A(0,0),B,C(1,0).函數(shù)y=xf(x)(0 x1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為.由題意f(x)=則xf(x)=xf(x)與x軸圍成圖形的面積為10 x2dx+(-10 x2+10 x)dx=x3+=+-=.14.

4、(2012上海,理14)如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a,c為常數(shù),則四面體ABCD的體積的最大值是.如圖:當(dāng)AB=BD=AC=CD=a時,該棱錐的體積最大.作AMBC,連接DM,則BC平面ADM,AM=,DM=.又AD=2c,SADM=c.VD-ABC=VB-ADM+VC-ADM=.15.(2012上海,理15)若1+i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根,則().A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1B由題意知b2-4c0,則該方程的復(fù)數(shù)根為:,故=1+i.

5、b=-2,c=3.16.(2012上海,理16)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,則ABC的形狀是().A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定C由正弦定理可知a2+b2c2,從而cos C=0,C為鈍角,故該三角形為鈍角三角形.17.(2012上海,理17)設(shè)10 x1x2x3D2B.D1=D2C.D10,而a27=sin=-sin=-a2,a27+a20.同理可得a28+a30,a49+a240,而a51到a74均為正項,a75=0,a76到a99均為負項,且|a76|a51,|a77|a52,|a99|a74,a100=0,故Sn中前100項均為正數(shù).19.(

6、2012上海,理19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.解:(1)因為PA底面ABCD,所以PACD.又ADCD,所以CD平面PAD.從而CDPD.因為PD=2,CD=2,所以三角形PCD的面積為22=2.(2)解法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,1).=(1,1),=(0,2,0).設(shè)與的夾角為,則cos =,=.由此知,異面直線BC與AE所成的角的大小是.解法二:取PB中點F,連接EF,AF

7、,則EFBC,從而AEF(或其補角)是異面直線BC與AE所成的角.在AEF中,由EF=,AF=,AE=2,知AEF是等腰直角三角形.所以AEF=.因此,異面直線BC與AE所成的角的大小是.20.(2012上海,理20)已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).(1)若0f(1-2x)-f(x)1,求x的取值范圍;(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0 x1時,有g(shù)(x)=f(x),求函數(shù)y=g(x)(x1,2)的反函數(shù).解:(1)由得-1x1.由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg1,得10,所以x+12-2x10 x+10,-x.由得-x),則直線OM的方程為y=-x.由得所以|ON|2=

8、.同理|OM|2=.設(shè)O到直線MN的距離為d,因為(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,所以=+=3,即d=.綜上,O到直線MN的距離是定值.23.(2012上海,理23)對于數(shù)集X=-1,x1,x2,xn,其中0 x1x22,且-1,1,2,x具有性質(zhì)P,求x的值;(2)若X具有性質(zhì)P,求證:1X,且當(dāng)xn1時,x1=1;(3)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列x1,x2,xn的通項公式.解:(1)選取a1=(x,2),Y中與a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,從而x=4.(2)證明:取a1=(x1,x1)Y.設(shè)a2=(s,t)Y滿足a1a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t異號.因為-1是X中唯一的負數(shù),所以s,t之中一為-1,另一為1,故1X.假設(shè)xk=1,其中1kn,則0 x11tx1,矛盾;若t=-1,則xn=sx1qk-1,所以xk+1=qk.綜上所述,xi=qi-1,i=1,2,n.解法二:設(shè)a1=(s1,t1),a2=(s2,t2),則a1a2=0等價于=-.