2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)理

1、浙江理科1.(2012浙江,理1)設(shè)集合A=x|1x4,集合B=x|x2-2x-30,則A(RB)=(). A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)(3,4)B由已知得,B=x|x2-2x-30=x|-1x3,所以RB=x|x3.所以A(RB)=x|3x4.2.(2012浙江,理2)已知i是虛數(shù)單位,則=().A.1-2iB.2-iC.2+iD.1+2iD=1+2i,選D.3.(2012浙江,理3)設(shè)aR,則“a=1”是“直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0平行”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件Al

2、1與l2平行的充要條件為a(a+1)=21且a41(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1l2的充分不必要條件.4.(2012浙江,理4)把函數(shù)y=cos 2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象是().Ay=cos 2x+1圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得y1=cos x+1,再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得y2=cos(x+1)+1,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得y3=cos(x+1),故相應(yīng)的圖象為A.5.(2012浙江,理5)設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,().A.若|a+b|=|a|-|b|,則abB.若ab

3、,則|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,則存在實(shí)數(shù),使得b=aD.若存在實(shí)數(shù),使得b=a,則|a+b|=|a|-|b|C由|a+b|=|a|-|b|兩邊平方可得,|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2|a|b|+|b|2,即ab=-|a|b|,所以cos=-1,即a與b反向,根據(jù)向量共線定理,則存在實(shí)數(shù),使得b=a.6.(2012浙江,理6)若從1,2,3,9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有().A.60種B.63種C.65種D.66種D和為偶數(shù)共有3種情況,取4個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的取法有=1(種),取2奇數(shù)2偶數(shù)的取法有=60(種),取4個(gè)數(shù)均

4、為奇數(shù)的取法有=5(種),故不同的取法共有1+60+5=66(種).7.(2012浙江,理7)設(shè)Sn是公差為d(d0)的無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是().A.若d0,則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B.若數(shù)列Sn有最大項(xiàng),則d0D.若對(duì)任意nN*,均有Sn0,則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列CSn為遞增數(shù)列,當(dāng)n2時(shí),Sn-Sn-1=an0,即n2時(shí),an均為正數(shù),而a1是正數(shù)、負(fù)數(shù)或是零均有可能,故對(duì)任意nN*,不一定Sn始終大于0.8.(2012浙江,理8)如圖,F1,F2分別是雙曲線C:-=1(a,b0)的左、右焦點(diǎn),B是虛軸的端點(diǎn),直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn),線段PQ的垂直平

5、分線與x軸交于點(diǎn)M.若|MF2|=|F1F2|,則C的離心率是().A.B.C.D.B設(shè)雙曲線的半焦距為c,則|OB|=b,|OF1|=c.kPQ=,kMN=-.直線PQ為:y=(x+c),兩條漸近線為:y=x.由得:Q;由得:P.直線MN為:y-=-,令y=0得:xM=.又|MF2|=|F1F2|=2c,3c=xM=,解之得:e2=,即e=.9.(2012浙江,理9)設(shè)a0,b0,().A.若2a+2a=2b+3b,則abB.若2a+2a=2b+3b,則abD.若2a-2a=2b-3b,則ab.10.(2012浙江,理10)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的

6、直線進(jìn)行翻折,在翻折過(guò)程中,().A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直B當(dāng)AC=1時(shí),由DC=1,AD=,得ACD為直角,DCAC,又因?yàn)镈CBC,所以DC面ABC.所以DCAB.11.(2012浙江,理11)已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于 cm3.1由圖可知三棱錐底面積S=13=(cm2),三棱錐的高h(yuǎn)=2 cm,根據(jù)三棱錐體積公式,V=Sh=2=1(cm3).12.(2012浙江,理1

7、2)若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是.當(dāng)i=1時(shí),T=1,當(dāng)i=2時(shí),T=,當(dāng)i=3時(shí),T=,當(dāng)i=4時(shí),T=,當(dāng)i=5時(shí),T=,當(dāng)i=6時(shí),結(jié)束循環(huán),輸出T=.13.(2012浙江,理13)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,則q=.由已知S4-S2=3a4-3a2,即a4+a3=3a4-3a2,即2a4-a3-3a2=0,兩邊同除以a2得,2q2-q-3=0,即q=或q=-1(舍).14.(2012浙江,理14)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a

8、2,a5為實(shí)數(shù),則a3=.10由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5可得,可解得15.(2012浙江,理15)在ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則=.-16=(+)(+)=+=|2+(+)+|cos =9-25=-16.16.(2012浙江,理16)定義:曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實(shí)數(shù)a=.x2+(y+4)2=2到直線y=x的距離為-=,所以y=x2+a到y(tǒng)=x的距離為,而與y=x平行且距離為的直線有兩條,分別

9、是y=x+2與y=x-2,而拋物線y=x2+a開(kāi)口向上,所以y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=.17.(2012浙江,理17)設(shè)aR,若x0時(shí)均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0,則a=.當(dāng)a1時(shí),(a-1)x-11.所以(a-1)x-1在x上小于0,在x上大于0,要滿足題意,x2-ax-1在x上也小于0,在x上大于0,故x=使x2-ax-1=0,解得a=.18.(2012浙江,理18)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知cos A=,sin B=cos C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求ABC的面積.解:(1)因?yàn)?A,cos A=,得sin A=,又c

10、os C=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=cos C+sin C.所以tan C=.(2)由tan C=,得sin C=,cos C=.于是sin B=cos C=.由a=及正弦定理=,得c=.設(shè)ABC的面積為S,則S=acsin B=.19.(2012浙江,理19)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分.現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).解:(1)由題意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=,P(X=4)

11、=,P(X=5)=,P(X=6)=.所以X的分布列為X3456P(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=.20.(2012浙江,理20)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,BAD=120,且PA平面ABCD,PA=2,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).(1)證明:MN平面ABCD;(2)過(guò)點(diǎn)A作AQPC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.(1)證明:因?yàn)镸,N分別是PB,PD的中點(diǎn),所以MN是PBD的中位線.所以MNBD.又因?yàn)镸N平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)解法一:連結(jié)AC交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn),OC

12、,OD所在直線為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示.在菱形ABCD中,BAD=120,得AC=AB=2,BD=AB=6.又因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAC.在直角PAC中,AC=2,PA=2,AQPC,得QC=2,PQ=4,由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下,A(-,0,0),B(0,-3,0),C(,0,0),D(0,3,0),P(-,0,2),M,N,Q.設(shè)m=(x,y,z)為平面AMN的法向量.由=,=,知取z=-1,得m=(2,0,-1).設(shè)n=(x,y,z)為平面QMN的法向量.由=,=知取z=5,得n=(2,0,5).于是cos=.所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為.解法二:

13、在菱形ABCD中,BAD=120,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAB,PAAC,PAAD.所以PB=PC=PD.所以PBCPDC.而M,N分別是PB,PD的中點(diǎn),所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取線段MN的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,EQ,則AEMN,QEMN,所以AEQ為二面角A-MN-Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角PAC中,AQPC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在PBC中,cosBPC=,得MQ=.在等腰MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE=.在AEQ中,AE=,QE=,

14、AQ=2,得cosAEQ=.所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為.21.(2012浙江,理21)如圖,橢圓C:+=1(ab0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為,不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.(1)求橢圓C的方程;(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.解:(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(-c,0),則由題意得得所以橢圓方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí),直線AB的方程為x=0,與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符,舍去.故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(m0),由消去y,整理得(3+4k2)x2+

15、8kmx+4m2-12=0,則=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,所以線段AB的中點(diǎn)M,因?yàn)镸在直線OP上,所以=,得m=0(舍去)或k=-.此時(shí)方程為3x2-3mx+m2-3=0,則=3(12-m2)0,所以|AB|=|x1-x2|=.設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離為d,則d=.設(shè)ABP的面積為S,則S=|AB|d=,其中m(-2,0)(0,2).令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m-2,2,u(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1-)(m-1+).所以當(dāng)且僅當(dāng)m=1-,u(m)取到最大值.故當(dāng)且僅當(dāng)m=1-,S取到最大值.綜上,所求直線l方程為3x+2

16、y+2-2=0.22.(2012浙江,理22)已知a0,bR,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.(1)證明:當(dāng)0 x1時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a;f(x)+|2a-b|+a0;(2)若-1f(x)1對(duì)x0,1恒成立,求a+b的取值范圍.(1)證明:f(x)=12ax2-2b=12a.當(dāng)b0時(shí),有f(x)0,此時(shí)f(x)在0,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)b0時(shí),f(x)=12a,此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)0 x1時(shí),f(x)max=maxf(0),f(1)=max-a+b,3a-b=|2a-b|+a.由于0 x1,故當(dāng)b2a時(shí),f(x)+|2a-b|+a=f(x)+3a-b=4ax3-2bx+2a4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).當(dāng)b2a時(shí),f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).設(shè)g(x)=2x3-2x+1,0 x1,則g(x)=6x2-2=6,于是x01g(x)-0+g(x